CHAPITRE VI

De V Équilibre des fluides.

5j. Un fluide est un amas de molécules matérielles qui cèdent sans résistance au moindre effort que l'on fait pour les séparer. Cette extrême mobilité qui caractérise les fluides et les distingue des corps solides, exige de nouvelles considérations pour découvrir les lois de leur équilibre , et fait de cette partie de la Mécanique une science à part. En effet, il ne suffit plus ici que les forces appliquées au corps qui leur sert d'intermédiaire se fassent équilibre , il faut encore que chaque particule du fluide soit elle-même en équilibre, en vertu des forces qui l'animent et des résistances qu'elle éprouve de la part des molécules environnantes. Exprimons analytiquement ces conditions.

Parmi les propriétés particulières aux fluides, celle qui paraît la plus propre à s'adapter au calcul et à guider dans cette rechercbe , est la faculté qu'ils ont de transmettre également et dans tous les sens bt pression qu'on exerce à leur surface. En effet, on peut regarder la pression que supporte chaque élément de la masse fluide comme une forte qui agH sur lui ; cette force varie pour «chaque point de 1* masse, et peut s'exprimer par conséquent en fonction

des coordonnées qui déterminent sa position. La différeuce des pressions qui s'exercent sur deux faces opposées et parallèles de cet élément^ est la force qui tend à le mouvoir dans une direction perpendiculaire à ces faces, et dont lefiet doit être détruit par les forces accélératrices qui Taniment; d'où il suit que si Ton considère la masse fluide comme une infinité de petits parallélépipèdes rectangulaires, dont les trois dimensions sont les élémens infiniment petits des coordonnées qui fixent leur position; qu'on suppose tontes les forces accélératrices qui agissent sur elle décomposées parallèlement à ces axes, on aura immédiatement trois équations aux différences partielles entre ces forces et la pression qui en résulte, d'où Ton pourra déduire , au moyen du calcul intégral , la mesure de cette force, et les relations qui doivent exister entre les forces accélératrices données pour que l'équilibre soit possible.

Toute la théorie de l'équilibre des fluides est ren^ fermée dans ces trois équations générales , auxquelles Clairaut est parvenu le premier, mais qu'il avait déduites d'une manière moins directe et moins simple du principe de l'égalité de pression en tout^ns. Nous allons développer ces équations , qui nous serorit de la plus grande utilité dans la théorie de la figure des corps célestes*

On divise ordinairement les fluides en deux espèces : les uns incompressibles, comme l'eau et les autres liquides; ils peuvent changer de forme , mais sans changer de volume ; les autres , tels que l'air, les gaz , les vapeurs, peuvent changer à la fois de figure et de

i5o THÉORIE ANALYTIQUE

volume ; ils tendent toujours à se dilater et à occupei un plus grand espace, et rexpërience a prouvé qui l'effort qu'en vertu de cette propriété ils exercent contn les parois des vases qui les renferment est ^ pour m même fluide pris à la même température , proportion nel à la depsité; en sorte que si Ton nomme ;^ ce effort, qu'on appelle aussi \^ force élastique du fluide et p sa densité, on sl p = k.p; k étant une constant! qui dépend de la nature du fluide et de la tempéra tilre. Le principe de l'égalité de pression en tous sen s'applique également à ces deux espèces de fluides ainsi que les conséquences que nous en allons déduire

38* Considérons une masse fluide sollicitée par de forces accélératrices quelconques. Soient dm un de élémens de cette masse, que nous regarderons comm un petit parallélépipède rectangulaire ; x, jr, z, le coordonnées de l'angle solide le plus rapproché de leu origine j le volume de cet élément pourra être repré sente par dxdjdz , et en nommant p sa densité , oi aura dm^=:f. dxdjdz. Désignons par X, Y, Z, le trois forces accélératrices qui agissent sur d^n parallèlement aux axes des coordoniiées. ILdm, Yd/n^ Zà seront les forces motrices qui sollicitent ùet élémen dans la direction des mêmes axes.

Nommons p la pression* qui s'exerce sur là fac supérieure dz dy de ^élément dm , et p' la pressio qui s'exerce sur la fate opposée ; ces pressions étai rapportées à l'unité de surface, (^' — p).dzdjr sc la force qui agit sur dm parallèlement à l'axe des en vertu de la liaison des parties du fluide. Les d^

DU SYSTÈME DU MONDE. i5i

forces p et p' sont dirigées en sens contraire ; œpendant, comme la pression qu'éprouve chaque élément da fluide est la même dans tous les sens, on peut supposer que ces forces agissent dans la même direction, et alors p' est ce que devient p lorsque x varie ^

jet J3 restant les mêmes. On a donc /?' — P'^^'d '^^ et la force totale qui sollicite dm suivant l'axe des x sera par conséquent rXp — -^j . dxdjdz. On aurait

de même ^Yp — ^ j . dxdjrdz , et ÇZp — -£) . dxdjdz ,

pour les forces qui sollicitent cet élément parallèlement aux axes des jr et des z. Pour qu'il y ait équilibre dans la masse fluide, il faut donc que tes ti^ois quantités précédentes soient égales à zéro, ce qui

donne

Telles sont les équations générales de l'équilibre dune masse fluide homogène ou hétérogène^ com-^ pressible ou incompressible, sollicitée par des forces accélératrices quelconques. Les considérations très simples par lesquelles nous, y sommes parvenus ap- ; parliennent à Euler.

Si Von multiplie ces équations, la première par dx, , «seconde par dy^ la troisième par dz\ qu'on les ajoute ^'Kuite , et qu'on intègre leur somme , on aura

dp = p .ÇLdx J^\dj + Zdz). (2) \' *^^ premier membre de cette équation est une diflfé-

rentielle exacte; il faut donc que le second le » aussi, pour que cette équation soit possible. Ce condition renferme seule les lois de l'équilibre ( fluides. Si Ton élimine par la difierentiation p ( trois équations (i), on a

d.fJi d.fï d.fX. c/.fZ djT d.pZ

dy """" dx ' dz """ dx ' dz """" dy '

Ce sont les équations de condition nécessaires pc que le second membre de l'équation (2) soit une dil rence exacte, et par conséquent intégrable. On en 1

XdY Y* û?X mrw dX. v dZi I -^ dZt „ dY

dz dz ' dy dy dx dx

équation qui exprime la relation qui doit exiis entre les forces X, Y, Z, pour que l'équilibre pni subsister.

Si les équations précédentes sont satisfaites, Féq libre est toujours possible, et il ne reste plus à dél miner que la figure extérieure de la masse fluide l'on suppose le fluide libre à sa surface , la pressio sera nulle pour tous les points de cette surface; aura donc, pour chacun d'eux, ^=0, et l'équation deviendra

p.(X/ir + Y^ + Zdz) =0;

d'où il est aisé de conclure , n"* 4 ^ T^^ 1^ résuit des forces X, Y et Z doit être perpendiculaire surface libre du fluide; il faut d'ailleurs que c ibrce soit dirigée du dehors en dedans ; et l'on en effet h priori ^ que, sans ces deux conditions, qnilibre est impossible.

DU SYSTÈME DU MONDE. i53

Si le fluide est homogène, la densité p est constante , et en la prenant ^ur unité , l'équation ( a ) donne flioplemeut

dp = X^ -4- \djr -f. Tidz ;

c est-à-dire que, dans ce cas, il faut, pour Téquilibre, que la fonction ILdx^^Xdjr-^Tàdz soit une différence exacte. On a alors, pour 1 équation de la surface libre du fluide ,

fÇUx + Y Jr 4- Zrfz) = const.

Mais cette équation est non-seulement celle de la surface extérieure du fluide, elle convient encore à tous les points pour lesquels la valeur de la fonction /(Xdlr + Y^ -f- Z^fe) est la même. Les surfaces que forment ces points ont la propriété de couper à angles droits la résultante des forces X, Y, Z, et c'est par cette raison qu'on les a nommées surfaces de niveau.

Supposons le fluide Iiétérogène, et la fonction ^dx'\'\djr'^Xdz une différence exacte, ce qui a lieu toutes les fois que les forces X , Y, Z résultent des attractions des différentes parties d'un système de corps , et que leurs intensités sont des fonctions des distances mutuelles de ces corps. Faisons, pour abréger,

(p =ifÇUx + Yc^ -I- Zdz) ;

.1 pétant une fonction des trois variables x,f, z, le- Çiation (2) deviendra

dp i=: p.f/<p. (5)

i54 THÉORIE ANALYTIQUE

Pour que le second membre de cette équation soit^ comme le premier^ une diâerentielle exacte^ il Ëiut que la densité p soit une fonction de ^. La pression p sera donc également fonction de ^^ et l'équation de la surface libre du fluide sera fonct. ^ = const. , ou simplement ^ = const., comme dans le cas de rhomogénéité. La pression et la densité sont donc les mêmes pour tous. les points d'une même couche de niveau. La loi de la variation de la densité, en passant d'une couche à une autre ^ dépend de la fonction de ^ qui l'exprime , et lorsque cette fonction est donnée, on en conclut la pression en intégrant Téquation (3),

Il suit de ce qui précède que , pour arriver à Tétat d'équilibre, une masse fluide dont la surface extérieure est supposée libre doit se disposer de manière, i**. que la densité soit constante pour toutes les couches de niveau comprises entre deux surfaces de niveau infiniment voisines ; 2*". que la résultante des forces accélératrices qui agissent sur la surface extérieure lui soit perpendiculaire,

Sg. Il convient d'exam^iner ici un cas particulier qui a, dans la théorie du système du monde, une application très importante, et qui se déduit d'une manière fort simple des principes précédens , c'est celui où 1* masse fluide que nous considérons est douée d'titi mouvement uniforme de rotation autour d'un a:^^ fixe. Prenons, pour plus de simplicité, cet axe po"»^^ celui des z; soit co la vitesse de rotation commune * tous les points du fluide, et r la distance de Yé

DU SYSTÈME DU MONDE. i55

ment dm qui répond aux coordonnées x^ j e\ z^ a l'axe de rotation. La vitesse de ce point sera œr, et la force centrifuge qui en résulte , n* i6, cdV. Il faudra donc comprendre cette force parmi les forces accélératrices qui sollicitent cet élément. La fonction que nous ayons désignée par ^ , n"" 58 ^ deviendra ainsi

d(p = \.dx + Xdj -f- Zdz -f- ûd*. rdr^

et Ton aura

^dx + Xdj -f- Zdz + û»* . rdr = o ,

poui* l'équation difierentielle des couches de niveau et de la surface libre du fluide.

L'introduction de la force centrifuge n empêchera pas, par conséquent^ que la fonction d(p ne soit une différence exacte ; l'équilibre sera donc encore possible, pourvu que les conditions que nous avons éuon^ oées dans le numéro précédent soient remplies.

Telles sont donc les lois qui ont dû présider à la formation de la Terre, et^^ei plane tes, en supposant qu'elles étaient originairement fluides, et que leurs molécules ont conservé , en se durcissant , la disposition qu'elles avaient prise en vertu de leurs actions mutuelles et de la force centrifuge due au mouvement de rotation de ces corps.

i56 THÉORIE ANALYTIQUE

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