CHAPITRE VII
Du Mous^ement des fluides.
40. Les lois des mouvemens des fluides sont faciles à déduire de celles de leur équilibre , au moyen du principe de d^Âlembert, auquel nous ayons déjà ramené toute la Dynamique.
En effet ^ considérons une masse fluide dont toutes les molécules tont sollicitées par des forces accélératrices quelconques. Soient x^ j, z les trois coordonnées d'un des élémens dm à\x fluide^ X^ Y, ZIes forces accélératrices qui agissent sur lui parallèlement aux axes coonlonnés, et f sa densité. Au bootde rinstant^i^y les vitesses dont cet élément est animé
dans la direction des mêmes axes, seront -^, 3^, -r»
et au commencement de l'instant suivant ces vitesses prendront respectivement les accroissemens Hdtfïdtf lidt par l'action des forces accélératrices; les vitesses de l'élément dm parallèlement aux ax^ des coordonnées a: , j-, js , deviennent donc
i^+M,, i + ÏA, ±+Zdt;
mais au commencement de ce même instant^ les vi^ tesses de rélémeut dm sont évidemment
Ut^^'dt' dt^^'dt* dt^^'dT'
DU SYSTÈME DU MONDE: iS-j
11 faudra donc, conformément au principe énonce, qu'il y ait équilibre entre ces six vitesses ou les forces qui les produisent , en supposant les trois dernières appliquées à dm en sens contraire de leur direction. On aura donc , n* 38 ,
Ces équations ne suffisent pas pour déterminer les lois du mouvement des fluides; il reste encore à exprimer que le fluide n'a pas changé de masse pendant qu'il se meut, et cette condition, qui résulte de la continuité du fluide, fournit une nouvelle équation du mouvement. En effet, dm désignant la masse ie l'un quelconque des élémens du fluide et /> sa denùté, on a dm=f.da: dj- dzilsi Condition de la continuité du fluide sera donc exprimée par l'équation •,da: djr dz = const. ou par l'équation différentielle
d.f. {dx djr dz) = o. (2)
)ette équation, jointe aux trois équations (i), seriront à déterminer les quatre inconnues oc,jr, z etp n fonction du temps.
4t • Pour développer l'équation (2), observons que s trois dimensions du petit parallélépipède dm eviennent, au bout de l'instant dt , doc -f- d.dx y Y^ d.djy dz-^d.dz. Mais il faut faire ici une «marque essentielle , c'est que la variation de^jcne povient que de l'accroissement que reçoit la coor-
donnée x^ les variables^ elz restant les mêmes; de même , les variations de djr et de dz ne résultent que des accroîssemens que prennent respectivement ces deux dernières coordonnées. Pour exprimer ces conditions , nous écrirons de cette xxunière les trois nouvelles dimensions de dm z
Si Ton suppose que , dans le second instant , la figure de din soit encore celle d'un parallélépipède rectangulaire, ce qui est exact, aux quantités près du cinquième ordre , comme il est facile de s'en convaincre par la Géométrie, on aura pour le volume de ce parallélépipède
■ Quant k la densité f, si on la regarde comme xai
fonction de or, j*, jz et f , elle deviendra au bout de
l'instant dt
En multipliant donc la densité par le volume , et négligeant les lAfiniment petits du second ordre, on aura »
j ft dz^o ^^p ÙL^p '^''\.
et l'equatioa (2) . deviendra par conséquent
Si le fluide est incompressible, non-seulement sa masse ne doit pas varier, son volume doit encore rester le même pendant toute la durée du mouvement; on aura donc
et relativement à la densité
Ces équations remplaceront dans ce cas Féquation (2), et, jointes aux équations (i), elles sorîront à déterminer les cinq inconnues p, p, ;r ,^, zen fonction de t. hi&n, si le fluide est à la fois inannpressible et homogène, la dernière de ces équations deviendra identique, et les quatre autres sufiiront pour déterminer les inconnues du problème.
42. On peut donner aux équations (i) et (5) une formeplus commode dans quelques circonstances.Pour cela, on prend pmir inconnues, au lieu des coordon-
nées^,^, z, de An, les vitesses ^, ^, ^ qui ani-
ment cet élément dans le sens de ces
et qu'on regarde comme des fonctions de a:,jr, z ett.
Faisons pour abréger
dx dv ds
'=Ti* «=S' "=&•
i6o THÉORIE ANiXTTIQUE
Si Ton différencie ces équations, en snppc^nt que Xfjr^z et t varient à la fois, et qa'à la place des accroissemens dx^ djr^ dzj on substitue leurs ya* leurs sdt^ udty vdt, on aura
ds=^ ^•dt+^.sdt'+'^.udt+^.pdt,
du
dv=s. •j-.dt-\--T-.sdt-\--y-.udt'\'-^9vdt.
En mettant ces valeurs à la place de — ^ . -«^ , -/■ dans les trois équations (i) , on aura les suivantes
dp /-v ds ds de ds \
4> /fF rf^ rf<^ dv dif \
Enfin réquation (5) deviendra, par une transformation semblable
équation qui , pour les fluides homogènes et incom-^ . pressibles> se réduit à celle-ci
ds , du , du r \
Les équations (a) et (i) donneront le» valeurs de
DU SYSTÈME DU MONDE. i6i
s, u, V eix fonction de x^jy z, t, et l'oft aura ensuite les yaleurs de a: ^ ^^ z en fonction du temps t , au moyen des trois ëqDations
dx:=isdt, djr = iidt, dz^=vdt.
43. Toute la difficulté de la théorie du mouvement des fluides se réduit donc à l'intégration des équations aux différences partielles {a) et (6). Mais cette difficulté est telle^ qu'elle a arrêté jusqu'ici^ même dans les questions les plus simples y les efforts des géomètres. n existe cependant un cas fort étendu ^ dans lequel ces épations deviennent susceptibles d'intégration : c'est celai où la quantité sdx^udj^vdzesX une différentielle exacte d'une fonction des trois variables x^ T} z, en sorte qu'en la nommant (p, on a
s dx ^udjr-^vdz^ d^.
tia fonction (p fait connaître les vitesses de chaque
tiiolécule du fluide parallèlement aux axes coordonnés^ car on a
dû dp dû
dx^ dy^ dz*
Si l'on substitue ces valeurs et leurs différentielles dans les trois équations (a), elles deviennent
ip ^^ /^ ds dp ^p dp d^tp dp d*p \
ir'~'*\ dt dx' dx*^ dy'dyds dz^dzdxj*
^ /^ £îf«.f^ -f?!?__éî ^ ^ ^*^ \ l (d\
[jr""^A de dx'dxdy d^'d^' dH ' éHTy) '] ^^
^p /y dç dp^ d^p dp d*p dp d'^s.
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