TOMB I. II
i6a THÉORIE ANALYTIQUE
Si Ton multiplie ces équations, la première par dx^ la seconde par if^/fo tmisième*|>ar^d!s^'^W')a ajoute ensuite , et que l'on suppose la^ fiîncboii X dx'\^\djr'\^Tà dz une différence exacte, ce qui est le cas de la nature , et le seul , par conséquent, qu'il convienne d'examiner ici , en &isant , pour abréger . • * i . ,. : , ^.
on aura
({p , £b , du ^ dp .
>• rt *
d OÙ y en intégrant et observant que Ton a
on tire rdp d^l /^ . ^ . ^'N (f\ 1
Cette intégrale devrait contenir en outre une arbi- j traire fonction de t; mais on peut la supposer corn- J prise dans la fonction ^. m
Si Ton substitue de même pour s, u, (^ leurs valears>l| dans Féquation (b) , on aura
j d^ .dp j dp
i + -x^ + -^ + -ir = *»• (s)
C'est Féquation relative à la continuité du fluide.
if
on a,
DO SYSTÈME DU MONDE. i63
Ainsi donc , les équations du mouyement du fluide e féduiseiit > dans le cais que nous examinons ', aiii: \eax équations ( / ) et (g). Si le fluide est homogène^
dans la première de ces équations^ / -^ = -, et la seconde se réduit à
Il ne s'agit donc que d'intégrer cette équation ; elle donnera la valeur de ^ ^ et en la substituant dans l'é^ quation (J^), on aura par de simples différenciations celle de/?.. , . ... ;
U n'y a aucun moyen de reconnaître à priori tous les cas où la fonction sdx -^udjr^uds ddit êtrô Une différence exSacte; mais on peut démontrer qu'elle le sera pendant toute la durée du mouvement^ si elle l'est pour un instant donné. En effet, supposons que> pour un instant quelconque, elle soit intégrable et égale k d(p; dans l'instant suivant, elle deviendra
t31e sera donc encore une différence exacte pendant <:et instant, si la fonction ^•<^-H;7-'^Hf-^-^ en «stune. Or, l'équation {e) donne
<U ^ dt "^^dt f 2 Kdx'' ^ dy^ dz"" J
SiVon suppose la densité p constante ou fonction de p, le second membre de cette équation est tme différente exacte ; le premier l'est donc pareillement, et la fonc-
i64 THÉORIE ANALYTIQUE
lion sdX'jr^T''^^^ ^^^ ^^^ différentielle complèfe dans le second instant, si elle Test dans lé premier^ et elle demeure telle, par conséquent, pendant toul le temps où le fluide se meut.
Si le fluide part de Tétat du repos , et sans qu'il lui soit imprimé de vitesses initiales, on aura sz=o, M= 0,(^=0 pour le premier instant : sdûC'+'udjr'^ udz sera donc une différence exacte pour cet instant, et elle le sera aussi, par conséquent, pendant toute la durée du mouvement.
La fonction sdx + udjr -{- udz est encore intégrabfe lorsque la masse fluide que Ton considère ne fait que de très petites oscillations , ce qui permet de négliger les carrés et les produits des vitesses s, u, p de ses molécules. Les équations (à) donnent alors simplement
^ — ^ = è-^ + :77^4r + i^dz.
dt * di -^ * de
La fonction -j-.dx'^ -j-.dy + ^"•^> ®* P^^r conséquent la fonction sdx -{^ udjr ^ vdz ^ sera donc une différentielle exacte , si l'on suppose , comme nous le faisons , f fonction de ^. En nommant comme précédemment d^ cette dernière différence, on aura .
n — rdp ^d(p
J f dt
Cette équation, jointe à l'équation (g^) relatives la continuité du fluide^ renferme toute la théorie des ondulations très petites des fluides.
44* Nous avons considéré dans le n* 59 une masse
Dn SYSTÈME DU MONDE. i65
fluide douée d'un mouvement uniforme de rotation
autour de Taxe des js; on a, dans ce cas^
t et des équations (à) on tire
Cette équation est identique avec celle à laquelle nous sommes déjà parvenus dans le numéro cité ; les deux membres sont des différentielles complètes , et en supposant la densité. p constante , on a, en Tiu"^ tégrant,
I L'équation (c) relative à la continuité du fluide l sera également satisfaite , puisque les valeurs s, u, i^, \ donnent
f ds du ^___ dtf
dx ^ dy "^ ' dz
Les équations du mouvement des fluides sont donc . possibles dans le cas que nous considérons , et par L conséquent ce mouvement petit avoir lieu.
Il est à remarquer cependant que ce cas très simple est du nombre de ceux où la fonction sdx'\'udf^vd:i n est pas une difierentielle exacte : en efiet on a
* ctr + udjr + i^dz z=z ciu.(xdjr — ^ dx) y ^pression qni n'est pas inlégrable^
i66 THÉORIE ANALYTIQTJE
U suit de Ui que dans la théorie des osciUatio la mer, résultant de l'action qu'exercent sur i Lune et le Soleil , on ne doit pas regarder la foi sdx + udjr -h vdz comme une différence ex puisqu'elle ne l'est pas dans le cas même où h ne serait agitée que par le mouvement de ro' qui lui est commun avec la Terre.
