CHAPITRE PREMIER

Des Forces qui produisent les Mouvemens des Corps célestes, ou Principe de la Pesanteur universelle.

I. Nous voyons chaque jour tous les corps du système solaire, transportes par un mouvement propre d'occident en orient, changer de position dans les cieux et parcourir d'immenses espaces avec d'incroyables vi'* tesses« n en faut conclure , en vertu de ce principe général de la nature que nous avons nommé l'inertie delà matière, que ces corps sont sollicités par des forces qui sont invisibles à nos yeox , mais dont Taction est permanente. Sans elles, ces corps resteraient immobiles; ils ne varieraient pas par rapport aux étoiles, et nous les verrions toujours reparahre dans les mêmes lieux du ciel où nous les aurions aperçus d'abord. Telle est donc la première idée que présentent à l'esprit de l'observateur les mouvemens d^ corps célestes, et la théorie du système du monde se rattache par conséquent à un grand problème de Mécanique, qui consiste à déterminer les mouvemens dan^ l'espace d'un système de corps soumis à des forces q;aelconques« Les élëmens des mouvemens des astres, leur figure. et leurs masses sont les arbitraires de ce problème, et des données indispensables que la

^^o THÉORIE ANALYTIQUE

mécanique céleste doit emprunter à l'Astronomie. Mais pour déduire de la solution de cette question générale des résultats comparables aux observations ^ il faut nécessairement connaître la nature des forces que l'op considère, il faut savoir quelle est la puissance invisible qui anime ces grands corps isolés dans l'espace, qui &it mouvoir ces masses immenses, sans jamais laisser après elle d'autres traces de son action que les effets qu^elle a produits. Pour nous guider dans cette recherche ^ et pour éviter de nous égarer dans de vains systèmes , c*est à cea effets mêmes qu'il feiut 'avoir recx>urs; c'est en. interprétant convenablement les faits qu'elle nous présente , qu'on peut deviner la nature ; c'est en examinant avec soin les phénomènes observés que l'on peut espérer de s'élever jusqu'à leur cause. Si «les résultats de cet exarmen nous ont révélé les véritable lois de la nature, il faudra qu'en les : combinant ffvec les principes généraux du mouvement, nous voyions se reproduire, non-seulement les phénomènes particuliers d'où* nous* les aurons déduites , mais encore tous les autres phénomènes du système du monde que l'observation nous a fait connaître.* Cette découverte aura, cessé alors d'être une simple bypothèse, et elle aura atteint le plus haut degré de certitude dont les vérité» physiques soient susceptibles. i

De tous les phénomènes que tious offrent les deux, le mouvement de révolution des planètes* eï des comètes autour du Soleil est* celui qui paraît 'le plttt propre à nous découvrir Ja loi'des fbnces qui les pit)duisent, La* similitude des orbttes des fartanètesF et des comètes, l'identité de leurs figurés semblent nous in-

diqoec ^d'ayance , que ces forces dériyeat toutes d'uii principe r général^ et. qu'elles ne se modifient qu'à raison de circonstances particulières au:^ corps auxquels elles sont appliquées, (considérons donc le mouvement d'une planète ou d'une comète circulant autour du Soleil 9 et déterminons la force qui doit l'animer pour produire ce mouvement.

Une observation attentive du cours des planètes a établi d'une manière positive les faits suivans, qu^en mémoire de l'astronome qui les découvrit , on a nommé les lois de Kepler.

I®. Les aires décrites par les rayons vecteurs des planètes et des comètes dans leur mouvement autour du Soleil, sont proportionnelles aux temps.

2*. Les orbes des planètes et des comètes sont des sectUfns coniques dont le centre du Soleil occupe un des foyers.

3®. Les carrés des temps de révolutions des planètes sont proportionnel àiÉt cubes des grands axes deleiirs orbites, ou, ce qpf revient au ^ même ^ et qui peut s'appliquer^ également aux planètes et aux comètes, les aires décrites en temps égal, dans différentes orbites, sont proportionnelles aux racines carrées de kurs paramètres.

.»a« Gela.ppséy formousil^. équations du mpuvement èe^k4|jbxiète qm de U comète que pou$ .qoq$i4prpns 4e iQuûi^ à s^tiislaiçe au^ ix^pditiçus précédent^. RapfQttfHi^ in 4)0Siiitioi|,- de l'astre au. f\an, niémç ,^e sofi oxblte ; soient x etjr les coordonnées de son centre de

17a THÉORIE ANALYTIQUE *

grayîté relatives à deux axes rectangulaires mènes le centre du Soleil ; X et Y les forces accélératrices le sollicitent parallèlement aux mêmes axes, les éf\ tions différentielles du mouvement seront , n* livre I,

Si l'on retranche ces deux équations l'une de l'ai] après avoir multiplié la première par^, et la secc par or , on aura

U est aisé de s'assurer que xdy^^ydx est le do de l'aire que décrit autour du Soleil le rayon vec de la planète pendant l'instant dt. Cette aire, d'apr première loi de Kepler, est proportionnelle à l'éléi du temps; on aura donc

xdj ^^jrdx :^ cdtf (b)

c étant une constante arbitraire.

La différentielle du premier membre de cette é tion est nulle , et l'équation (i) donne par conséq

Yo:— Xr=:o.

Il suit de là que les composantes X et Y sont k elles comme les coordonnées x etjr, ce qui inc que leur résultante passe par l'origine des coon nées, ou par le centre du Soleil. D'ailleurs la co que décrit la planète ou la comète étant concave

le Soleil , la force qui l'anime est évidemment diiîgée vers cet astre.

Déterminons maintenant les intensités de cette force à différentes distances du Soleil. Reprenons pour cela les deux équations (a). Si on les ajoute après, avoir multiplié la première par 2da:, la seconde par 2djr, et qu'on intègre leur somme , on trouvera

é étant une nouvelle constante arbitraire.

Transformons les coordonnées x eljr en d'autres variables plus commodes pour comparer cette équation aux résultats des observations. Soie r le rayon Tecteur de la planète dans son t>rbite^ v l'angle que forme ce rayon avec l'axe de «r ; on aura

xz=. r cos p, j<- = r sin s^y r^=z y/o:* -f-j^*,

d^où l'on tire

cb* -|- djr^ s=s rfr* -H r^ds^y xdy — ydx = j^dv.

Désignons de plus par R la force totale qui agit sur k planète , cette force étant dirigée suivant 'le rayon vecteur r, et tendant à diminuer les coordonnées x '■ et j, on aura

X=— R.cos.p/ Y=— R.sin.t', R=\/X.*-f-Y%

et par conséquent

Si Fon substitue ces valeurs dans réquatiou (2 qu'on élimine dt au moyen de réquation (jk) j aura

Cette équation donnera en l'intégrant la rela qui doit exister entre le rayon vecteur r et la loi tude Vy c'est-à-dire l'équation polaire de l'orb lorsque R sera donné 7 dans le cas contraire j e comparant à l'équation différentielle de l'orbite ^ s (>osée connue , elle servira à déterminer cette for

Les planètes et les comètes se meuvent dans sections coniques , dont le Soleil occupe le foyer, près la seconde loi de Kepler; l'équation général ceâ courbes rapportées aux coordonnées polaires, ] être mise sous cette forme :

a désignant le demi grand axe, ou ce que les as nomes appellent la distance moyenne; e VexcentrU ou le rapport de la distance focale au demi gi axe. Le point de Torbite le plus rapproché du S< ^'nomMe te périhélie y' et le point qui en est lé ] éloigné F aphélie; û> est Tanglé compris entre' lé gr axe, ou la ligne des apsides j et la ligne fixe d'où compte l'angle Vy ou, ce qui revient au même longitude du périhélie.

L'équation précédente est celle d'une eUipse lors a est positif, et que e est plus petit que l'unité; devient celle d'une parabole quand a est infini et qi

V ^e l'anîtë; enfin elle représente une hjperbole i loncnie *a^eét négatif et que e statuasse i'nnhë.

longue *a^eét négatif et que e stn^asse Elle donne, en la différenciant^ ■'^ -'

I dr «.sii].(i^ — 0) ^

f OÙ, en élevant les deux membres au carré , et éli- ! minant e* sin*.(<^ — a>) au moyen de Téquation (c),

OQ tire

i dr* 2 II

?'dir^~ a.ii—e^y r r* a* . (i — e^)* W

L'équation (5) devient ainsi

3f' .1— -7I - = c' — 2. /Rrfr.

€ette équation donne, en la différenciant ,

Ainsi donc, de ce que les orbes que lefs planètes et le» comètes décrivent 'autour du Soleil somt des Sections^ coniques, il s'ensuit que la force qui les sollicite est réciproque au carré des distances du centre de êes t astres au centre du Soleil. C'est ^n vertu d^une force [* accélératrice dirigée vers le Soleil, et variable suivant cette loi, combinée avec une impulsion primitive,, (piê'ch^cuû de ces eofps** est misl*'en mouvement dans-

'^'Kédfjproiquement , si la force R est supposée e» Taison inverse du carré des distances , ou égale à — ^

i^ THÉORIE ANALYTIQUE

A étant nue constante, la courbe décrite est nnessction conique : en effet, si Ton remplaoe R par sa valeur, l'équation (5) devient

Cette équation est identique avec réquation(<f}, lorsqu'on suppose

Ces équations de condition détermineront les deux arbitraires a et e; Féquation (c) des sections coniques ne contiendra donc plus que la sefde constante arbn traire o) , et comme l'équation (4) n'est que du pr»* mier ordre, elle sera l'intégrale complète de cetH équation. W

Ainsi donc, ce n'est qu'en vertu d'une force attractive réciproque au carré des distances qu'un corps projeté dans ('espace peut décrire autour du SoleS une section conique ; et la plus légère variation daos cette loi produirait des orbites d'une nature toute différente.

L'intensité de la force R dépend du coefficient k '

ou de sa valeur — f-zrp^* ^^ *^^ quantités a,e,c

qui entrent dans cette fonction ont, relativement à chaque planète et à chaque comète , des valeurs paï-* ticulières, en sorte qu'on ne saurait décider d'avance si cette intensité varie d'une planète aAine autre, oa si elle est la même pour tous les corps célestes; mais la troisième loi de Kepler, dont nous n'avons poiitf

encore fait usage , ya nous fournir le moyen de ré-< sondre cette question# En effets soit T le temps, de la révolution d'une planète, cT sera le double de Faire décrite pendant, cet intervalle par son rayon vecteur, puisque les aires sont proportionnelles au temps , et que c exprime , comme nous l'avons vu , le double de l'aire décrite pendant l'unité de temps. Mais l'aire que le raycm vecteur r décrit pendant le temps T, est la surface même de l'ellipse planétaire;

elle sera donc égale à Tra* .\/i — e*, en nommant tt le rapport de la circonférence au diamètre , et l'on aura ainsi "

cT = 2^a* . V/i— e*;

tfoù Ton tire

De même, relativement à une. autre planète quel-^ conque , en nommant a', e', c% T% ce que deviennent, par rapport à cette planète , les quantités que nous

iroDs désignées par a, e,c,T, on aurait

Or^ la troisième loi de Kepler donne cette proportion

T» : T'» :: a» : a'»; pur conséquent

La troisième loi de Kepler s'observe, relativement W: comètes^ dans la partie.de leur cours que nous Tome I. 12

pouvons observer; mais, comme les grands axes de leurs orbites et la durée de leur révolution sont gé^ néralement inconnus , on «calcule leurs mouvemeos dans des orbes paraboliques. £n nommant S M àih tance du foyer au sommet de la parabole , le pantmètre qui , dans l'ellipse^ est exiHÎmé par [sià « (i -*^)y est, par ra{^rt à cette nouvelle courbe, égid k Jp; on a donc , relativement ài une comité quelconque,

h = -g. D'ailleurs les aires décrites pendant le même

intervalle de temps dans différentes orbites , sont entre elles comme les racines carrées de leurs paramètres; ce qui donne la proportion

et par suite

Le coefficient h est donc le même pour tous les corps de système solaire. Il suit de là que l'intensité de la force R est, relativement aux planètes et aux comètes , réciproque au carré de leurs distances au Soleil, et ne varie de l'une à l'autre qu'à raison de ces distances.

Deux planètes supposées également éloignées da Soleil seraient donc attirées vers cet astre par des . forces égales , et , abandonnées à leur pesanteur, ellél i s'y précipiteraient avec la même vitesse : la force qui t les sollicite est donc encore proportionnelle à leur i tuasse^ i k

Les satellites , dans leur mouvement autottr 'de fa

leurs planètes, observent ^ à quelques inégalités près, les lois de Kepler ; ils circulent d'ailleurs autour du Soleil à très peu près comme leurs planètes ellesmêmes, de sorte qu'en même temps que les satellites se meuvent autour de leur planète , le système entier de la planète et de ses satellites est emporté d'un mouvement commun dans l'espace , et retenu par la même force autour du Soleil. Il en faut conclure que les satellites sont attirés vers le centre de leur planète^ ït vers le centre du Soleil , par des forces réciproques aux carrés des distances. Le mouvement elliptique de la Lune autour de la Ter^e étant , il est vrai , sensiblement altéré par l'action des forces perturbatrices, la loi de diminution de la force attractive de cette planète ne saurait s'en déduire d'une manière aussi évidente; mais, en comparant la. pesanteur que la Terre exerce sur les corps qui l'environnent à la puissance qui retient les planètes dans leur orbite, on voit que ces forces s'exercent suivant les mêmes lois, et qu'elles ont entre elles la plus grande analogie* La pesanteur terrestre se manifeste sur le sommet des montagnes les plus élevées; il est donc naturel de supposer qu'elle s'étend jusqu'à la Lune : et, en effet, si Ton compare son mouvement avec celui d'un projectile transporté à son centre, et sollicité vers la Terre par sa pesanteur , la différence qu'on remarque dans les résultats est tellement petite , qu'on ne peut l'attiibuer qu'aux imperfections des observations et des données employées dans le calcul. La pesanteur ter- Jtstre n'est donc qu'un cas particulier d'une propriété attractive dont sont douées les autres planètes.

i«o THÉORIE ANALYTIQUE

5. La seule comparaison des observations aux lois du mouvement nous conduit donc , sans aucune hypothèse étrangère , à regarder le Soleil et les planètes qui ont des satellites comme lo centre de forces attractives qui s'exercent sur tous les corps qu'embrasse leur sphère d'activité , en raison directe des tnasses et inverse du carré des distances. U est naturel de supposer ^ par analogie y que la même propriété s'étend aux comètes et aux planètes qui n'ont pas de satel-^ lites; mais d'ailleurs c'est un principe de la natore généralement ^admis y que la réaction est toujours égale et contraire à l'action : les planètes et les comètes attirent donc le Soleil de la même manière qu'elles sont attirées par lui , les satellites réagissent pareille* ment et suivant la même loi , sur leurs planètes et i sur le Soleil , et la gravitation de tous les corps ce- t| lestes les uns vers les autres doit être regardée par conséquent comme une suite incontestable des lésultats que l'observation de leurs mouvemens nous présente.

Cette force d'attraction dont sont doués tous les corps du système solaire n'est pas une propriété qui leur appartienne en masse ; elle pénètre également leurs dernières molécules. En eflFet, les expériences faites à l'aide du pendule prouvent que tous les corps que nous connaissons pèsent vers le centre de la Terre en raison directe de leur niasse : chacun d'eux ,; réagit donc sur elle , et l'attire suivant la même loi. La pesanteur terrestre est d'ailleurs^ comme nous ? lavons vu , une force identiquement de même na- > ture que cette tendance générale qui pousse les corps r

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DU SYSTÈME DU MONDE. i8i

célestes les uns vers les autres ; il faut donc reconnaître comme une vérité démontrée pçir l'accord du calcul avec tous les faits observés , cette grande loi de\ là nature , savoir : que toutes les molécules de la ma^ tière s^ attirent en raison directe des masses, et. inverse du carré des distances..

4^ Le mouvement elliptique que nous avons supposé aux planètes . n'est ^ il est vrai^ qu'approximatif^ et les (XMTps célestes ne se meuvent pas rigoureusement dans les sections coniques; mais il faut considérer (p'to vertu de leurs actions mutuelles les unes sur les autres^ les planètes dbivent s'écarter des orbites elliptiqiies qu^elles décriraient si elles n'étaient sou* iDÎses qu'à la seule action du Soleil ^ comme cela ar^ rive ea effet dans la nature. Ces perturbations ne sont donc qu'une nouvelle conséquence du principe de là gravitation universelle; et ce qui caractérise éminemment cette grande loi^ dont nous devons à NeYrten ritnmortelle découverte^ c^est que toutes les anomalies qui se sont présentées dans les mouvemens des coips célestes ^ et qui ont semblé d'abord devoir en Êdre contester l'existence, ont été expliquées par elle ^mesure que l'analyse a fait de nouveaux progrès, et tfont; servi qu'à la faire ressortir avec un nouveau iegrc-d'évidence.

Une fois ce grand principe admis> on voit tous lès phénomènes célestes s'en déduire sans peine. Les perturbations des planètes, des comètes et des satellites en sont, comme nous l'avons dit, la première conséquence , et la détermination de leurs inégalités ne

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dépend plus que de causes qui nous sont connues, et dont nous pouvons par conséquent calculer les effets. Réunies par leurs attractions mutuelles, les molécules dont les corps célestes se composent ont dû former d'abord une masse à peu près sphérique; mais leur mouvement de rotation a bientôt altéré cette figure , et , en vertu de la force centrifuge , il a dû aplatir leuis pôles et élever leur équateur. La figure des. corps célestes n'étant pas sphérique , la résultaQte de leurs actions mutuelles n'a plus pas^ exactement par leur centre de gravité, et il a dû eu résulter dés mouvemens qui déplacent insensiblement leurs axes de rotation : c'est ce que l'observation confirme. Enfin l'action inégale du Soleil et de la Lune sur les eaux de l'Océan doit y faire naître des mouvemens d'oscil- lation analogues à ceux que nous présente le phénomène du flux et du reflux de la mer. Mais c'est à l'analyse qu'il appartient de développer ces grands effets de la loi de la pesanteur universelle; c'est à elle de donner à de sip^ples inductions toute l'évidence de vérités rigoureuses. ,

Nous examinerons successivement ces principaux points de la théorie du système du monde , avec tout le soin que leur importance exige. Les grands progrès qu'aiaits l'analyse dans ces derniers temps , nous mettront à même de présenter ce tableau avec un ensemble et une clarté qui peut-être lui avaient manqué jusqu'ici. Newton, par la force de son génki avait découvert le secret de la nature ; mais l'état d'imperfection où était encore de son temps le calcul algébrique^ ne lui permit pas d'en faire ressortir toutes

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les conséquences avec ce degré d'évidence qui peut seul arrêter l'envie et imposer silence à Terreur. Les géomèlres des siècles suivans consacrèrent leurs travaux à achever louvrage qu'avait si heureusement commencé le géomètre anglais. En poussant succès* sivemeat plus loin le^ approximations, ils démontrèrent l'admirable concordance qui exista entre les calculs résultans de la loi de l'attraction universelle et les phénomènes observes, et ils parvinrent à établir enfin sur des bases inébranlables le {>lus beau monument que Fesprit humain ait élevé à sa gloire.

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