CHAPITRE II

Lquations différentielles du Màuuemeni tCun système de coi*ps soumis à lei&s attractions mutuelles.

5. Poar embrasser dans toate sa généralité la théôrk des moiivemens des corps célestes , noxis commencerons par former (les équations différeiiliellcB du mouvement d'un système de corps soumis à leurs attractions mutuelles, en supposant, conformément aux résultats trouvés dans le chapitre précédent^ qae ces attractions s'exercent en raison directe des masses

et en raison inverse du carré des distances. Nous restreindrons seulement l'étendue de cette question par l'hypothèse que les parties du système sont assez éloignées entre elles pour que l'on puisse faire abstraction de la figure des corps attirans , et les regarder comme des masses concentrées dans leur centre cle gravité. Cette hypothèse est conforme , comme nous . le ferons voir, à ce qui a lieu dans notre système ^ planétaire.

Soient donc m la masse de l'un quelconque des cCHrps ^ du système que nousconsidérons;x,T, z, les coordonnées de son centre de gravité relatives à trois axes rec^ tangulaires passant par une origine fixe quelconque; Xfj^fZfles coordonnées d'un des élémens dm de sa masse rapportées aux mêmes axes; nommons m'^ m% etc. , les masses des différens corps attirans que

DU SYSTÈME DU MONDE. i85

jQoas regardons comme des points^ et soient ^'^^'^ z' les coordonnées de m'^ od'^y^y ^\ les coordonnées de rri\ et ainsi de suite.

Désignons par r }a distance de l'élément dm au corps rrJy en sorte qu'on ait

L'action qu'^n vertu de la loi de la pesanteur univer-^ sdle ce corps exerce sur dm sera égale à — • Cette action étant dirigée suivant la droite r^ pour la décomposer parallèlement aux axes des coordonnées ^ il faudra multiplier l'expression précédente par le cosinus de l'angle que forme le rayon r avec chacun de ces axes; on aura ainsi

pubien

jn •d " m * a — m • d —

dx ' d^ ^ dz

En marquant successivement d'un accent les lettres m^ et x', j'y z' qui entrent dans la valeur de r, on trou- Tera des expressions semblables pour les actions que les corps i»'', m'^, etc., exercent sur dm^ parallèlement aux axes des x ^ des^ et des z. Soit donc

y (*' - *y + (/ -yr + (/-zy

ï/C*" -*)* + (/ -yf + («• - «)•

i86 THÉORIE ANALYTIQUE

Lia foDCtioa II désignant la somme des masses vnly ni\ etc.> divisées respectivement par leurs distances à la molécule dm^ les trois différentielles partielles T' y "T 9 'T' exprimeront les forces accélératrices dont cet élément est animé ^ en yertu des ac-^ ] tions réunies de tous les corps du système , décomposées parallèlement aux axes coordonnés , et dirigées en sens contraire de leur origine. Ces forces sont celles que nous avons désignées par X , Y^ Z dans le n"* 27 du premier livre. Si Ton fait donc^ pour abréger^ V s= S . Il dm , le signe intégral S se rapportant à rélénient dm^ et aux quantités qui varient avec lui et devant être étendu à la masse entière du corps ?n^ on aura

— ; — = O . -7— • CLlîh • —5 — S=; d • -f— . CUn 5 -"m " SS= O . ■ ^ '■ '■ • U/lr».

dx dx dy dy dz os.

et les trois équations (^) du n® 27 deviendront

d*x I dV #T i rfV d-« 1 dV ... rf? rn dx ^ dF m'^dy' àt m\dz' ^

Ces équations serviront à déterminer les mouvemeq* du centre de gravité du corps m dans l'espace.

Supposons maintenant que l'on désigne par jr^/;f les coordonnées de l'élément dm rapportées aux ti^u axes principaux qui se croisent en ce points et ptf ot^^ff z'^ x^\ f\ i\ etc., les coordonnées des corps -^ m', m", etc., relatives aux mêmes axes; on aura» , comme précédemmen'c ,

et les trois forces qui ' agissent sur rélément dm , plicallèlement aux axes des x, des y et des Zy et

» .en, oppose . lear or:g,ne, seront j;. aj' *•

En désignant donc^ comme dans le n^ 3o^ par N^ H', N'' la somme des momens de ces forces rapportés Tespectiyement aux mêmes axes^ on aura

Kl c / dn dp\ j dV dV [ /^v

et les trois équations différentielles (C) n* 3o deviendront par la substitution de ces valeurs

6dq+(k-.q.rp.dts=(^z.^—x.^).de,\ (B)

Ces équations serviront à déterminer les mouvemens le m autour de son centre de gravité.

i88 THÉORIE ANALYTIQUE

6. Les équations (Â) et (B) sont indépendantes du nombre des corps agissans du système; elles con* serreraient encore la même force dans le cas où Toa voudrait avoir égard aux dimensions et à la figure de l'un de ces corps. En effets il suffirait pour cela de supposer que m', m", etc. , dans la fonction n , représentent les élémens infiniment petits de la masse de ce corps; la valeur de V serait donnée alors |pr deux intégrations indépendantes l'une de rautrCi % s première relative à la masse du corps attiré, la seconde s à celle du corps attirant, c'est-à-dire que l'on aurait

-yr __^ Q çtf dm » dm -S

dm étant un élément de la masse de m'; \r ', y, i^ les ^ coordonnées de cet élément rapportées aux mêmes axes et à la même origine que les coordonnées Xyj^is enfin, le signe, intégral &' s<e ^rapportant à cet élément " et devant s'étendre à la msÉte entière de w! .

Les six équations précédentes déterminent conw plètement les mouvemens du corps m dan& L'espace ; les trois premières donneront à chaque instant la position de son centre de gravité par rapport à trok axes fixes pris à volonté , et les trois autres détermineront son mouvement de rotation autour db ce point supposé immobile. Nous pourrons donc, conformé' ment à ce que nous avons dit dans le n"* 27 du .premîef livre, simplifier la question dont nous nous occuponSi ^ en la divisant en deux parties. Dans la première , notf examinerons les mouvemens des centres de gravité des

corps célestes dans l'espace^ et dans la seconde^ leui^s moavemens de rotation autour de ces points.

7. Lorsqu'on ne considère que les mouvemens de translation d'un système de corps m, m', m", etc. , et <[u'on suppose les distances mutuelles de ces corps très considérables relativement à leurs dimensions respectiyes, on peut^ sans erreur sensible, faire abstraction totale de leur figure^ et regarder à la fois les corps attîrans et les corps attirés comme des points concentrés dans leur centre de gravité. Les équations (A) prennent dans ce cas une forme plus simple; en effets les coordonnées x^ jr^ z de l'élément dm sont alors identiques avec les coordonnées x, y, z du centre de gravité du corps m j si l'on fait donc^ pour abréger,