h^^. ^ —--Si* j- ^-^ a. T
' -^ ' r m dy
mz ^^__^ I dx r^ m* dz'
Mz
On peut le&r donner encore une autre forme. E si pour abréger on fait M'^msss/t et qvLOn s
p /r ' ' »x+yy
Li/(*'— *f+0''— j')'+(*'-a)» '•'
H- etc. , elles deviennent
d^x , fcx rfR
DU SYSTÈME, OU MOlfDS. . 193
Lagrange est le premier qai ait présenté de cette manière les équations du mouvement des centres de gravité des corps célestes. Ce qui contribue surtout à les simplifier^ c'est la considération de la fonction R, qui a la propriété de représenter par ses différences partielles les actions perturbatrices qu'exercent les planètes 7?/, /n", etc., sur nu L'emploi de cette espèce de fonctions est également utile dans la tliéorie des mouvemens de rotation des corps célestes, dans celle des attractions des sphéroïdes d'où dépend la déler- \\\ mination de leurs figures , dans la théorie du flux et du reflux des mers, dans toutes les questions enfin où Ion a à considérer un grand nombre de f^ces de méxim nature et agissant d'une manière analogue. En réunissant sous un même point de yue des expressions qui seraient sans cela très compliquées, il rend leurs rapports plus faciles à saisir, et cette notation fort simple introduite par Lagrange dans la mécanique céleste, en contribuant aux rapides progrès qu^elle a ™ts dans ces derniers temps, a eu pour la théorie ^ système du monde tous les avantages d'une vérî- '-We découverte, -f j j ^^^'ïgreant successivement dans les équations(D) f m\ ^^^^^\ ^^ ,0Cyjr,z,r Qxx celles-ci, m\ x\f, z\ /, trois ^-^ ^ -^^^ ^% ^*^-* ^* réciproquement, on aura m' 9, * ^^^ions semblables pour chacun des corps î"atîo ' ^*^* ' ^^ ^^ forme un système d'autant d'écoord y^^Herentielles du second ordre qu'il y a de fonctîo ^^® "^^yj^ ^f ^^fy ^y etc. , à déterminer en gpep ç ^ *^iiips. Il ne s'agit donc plus que d'inté- ^qui.a.tions, pour être en état de déterminer
194 THÉORIE ANALYfiQlE
à chaque instant la position des corps m , WLy etc. » danâ l'espace; malhenreusement cette intégration n'esl pas possible en général , dans Tétat actuel de Tanalyse : le système des équations (D) et des équation: semblables relatives à m\ m'y etc. , fournit seulemei^ un petit nombre dmtégrales finies ^ dépendantes d(^ lois générales qui s'observent dans toute espèce d mouvement. Comme ces intégrales sont de la plu.^ grande utilité dans la théorie des perturbations planétaires y nous allons les développer ici.
9. Si Ton multiplie l'équation différentielle en f par M-f*2/?i, et les équations en jc, x\ x' y etc., la première par m^ la seconde par rriy et ainsi du reste, qu'on les ajoute ensuite, en observant que, par la nature de la fonction A, on a
dx , dx dx
on aura
d'où l'on tire, en intégrant,
"Z.mx
^z^za-^bt —
u eXb étant deux constantes arbitraires. On aurait de même
AJ+S.m*
DU SYSTÈME DU MONDE. igS
II', h\ a' y i", étant des constantes arbitraires- Ces équations serviront à de'termîner le mouvement absolu de M dans lespace^ lorsque l'on connaîtra les mouvemens relatifs de w, m', m'^ etc. , autour de ce corps. Si Ton multiplie Téquation en x par
lequation en^ par
mx •+- w.
l'équation en a/ par
'»>-'»• M + iT^' l'équation en j^' par
fit » 2.I7WP
quW ajoute ensuite les différens produits ^ en obser-*vant que y par la nature de la fonction A,
dx f d\ , ^ dx , dx .
dx , dx , ^ dx . dx .
on aura
d'où Ton tire , en intégrant ,
/xdy''ydx\ , S.my ^ ^dx J:.mx ^ ^dy .^^^ . .
ij)6 THÉORIE AWALTTIQUK
équation qui peut s'écrire ainsi :
+ X.mm. L 5- J =
On trouverait d'une manière semblable les deux au intégrales suivantes :
(«d« — xdz)
de
, r(% — z).(d^x^dx)'-ix—x)Jdz—dz)'l
dt + i.mm [^ ^ J
c f c', c"f étant des constantes arbitraires.
Ces trois intégrales s'accordent avec les équations ( n** 38 et 26, livre I; elles renferment, comme n l'avons vu, le principe delà conservation dçs ai Si l'on multiplie les équations difiërentielles ( la première par
J 2 . mdx
2max — 2m . ,. . ^ — :
la seconde par
i f 2 . mdy
^may — 2/71 . ztjtt -^r- ;
la troisième par
/ 2 . tndz
^maz — 2/72 . -^-T-;, — ;
DU STSTftME DU MONDE. 197
qu'oo multiplie semblablement les équations différentielles en a^fjr'f z' par les mêmes facteurs^ après y avoir changé les lettres m^ Xfjf z hors du signe 2, en m', a:\y,. zf, et ainsi du reste j qu'on ajouta ensuite toutes les équations résultantes , en observant oue Ton a
dh ^ dx ^ ^ d)< , dx . ^ dx. ■ dx
on trouvera
{dxd^x + »yd^y + dsu^a), 2. X. mdx wtd'^ .:
de^
et; en intégrant ^^
— aM.X. 2A3scoii8t.^
équation qui peut s ecnre ainsi i
dx" + c?y' 4- r/g*
^ étant une constanfe arbitraire» Cette éqnatîob ^Worde avec lequatidn {p):4xi tP 26^ liv. I; elfe
rejaferine le principe de. la conservation des forces
!Ile]ilç$:sont.les seules intégrales premières qu'on ait .pu. tirer jusqu'ici du système des équations (D) réui>ies ^aux équaliaos semblahle9:relatives aux corps M^ m', m% etc. Elles indiquent des relations qui doivent tpO}Our&. exister entre les ..coordonnée de ces différens corps , et qui résultent des principes généraiix du mouvement: mais elles sont loin de suffire à leur détermination^ et Ion est réduit^ pour achever l'intégrtièîCta dëh éqtÉatîons (D) , de recourir aux méthodes d'appi^oxlmâtion. Comme ces méthodes sont principalement ibcidées sur ce que les distances dés planètes ci: des comètes au Soleil^ et leurs distances mutuelleSy sont extrêmement grandes relativement aux dimen— sîons de ces corps et à celles des systèmes partiels que forpçiçptJes planètes ; avec leui^ satelliteç,^ il est inf— portant de faire voir quels sont les avantages que présente à cet égard la constitution du système se — laire. Ces considérations Serviront d'ailleurs à mon — ^ Irer que les quantités que nous avons négligées dans^ la formation des équations différentielles ' (D) sont ers effet toujours insensibles.
10. Ne considérons, pour simplifier, que raction réciproque dedéùxJcorps m et /?/,. et..repi}ésentons généralement par Via fonction qui'ëxprime la somme des produits ^yxà.deux! d^s.élémens ^1. et dm' dont ces corps se composent, divisée par leur distance mu^ UffilU. Soiifpt %,. Vr :^. ll^i^oQ^xw^ de^dm xappor- ,(ées à ^ae origine. |^^ ^ pti^î^y'^iî l^cooiidona^^
de dirJ rapportées à la même origine, on aura
VQ Qf dm . dm
V (x'— x)* -t- (y' — y)* + (z' — zy
Le double signe intégral S se rapportant à deux intégrations indépendantes Tune de l'autre , la première relative à la masse du corps attiré ^ et la seconde à celle
du corps attirant. Les trois difTérentielles partielles dV dW dV , ^ ,,
rr 9 'T' 7 "T exprimeront, comme nous layons vu ,
les attractions qu'exerce parallèlement à chacun des axes coordonnés le corps ni sur le corps m.
Cela posé , soient x'y f , z' les trois coordonnées du centre dé gravité de m^ rapportées aux mêmes axes et à la même origine que x', y', z', et soient x'^^jr'^^ z\ les coordonnées de dm' relatives à ce centre, en sorte qu on ait
x'= .r' + x', , y' = / +jr\ , z' = z' -h z\.
Sopposons
Si Ton substitue dans cette fonction, à la place de i', y', z', leurs valeurs, qu'on développe ensidte la fonction résultante par rapport aux puissances ascendantes de x'j, y^f 2'/^ en faisant, pour abréger,
on aura
tives aux principes généraux du mouTement^ conformément à ce que nous avons dît n** aa et suiyans ; c'est ce qu'il est facile de vérifier. Mais^ pour intégrer complètement ces équations^ et déterminer^ par leur moyen, les valeurs des coordonnées x, jr^z, etc. , en fonction du temps , on est forcé de recourir aux méthodes d'approxi mation.
8. Pour pouvoir employer avec avantage les équations (c) dans la théoi'ie du système du monde, il est nécessaire de leur donner une forme plus appropriée aux usages astronomiques. En effet, dans l'impossibilité où nous sommes de juger de leurs mouvemens absolus dans l'espace, c'est au centre du Soleil que nous rapportons les mouvemens des planètes et des comètes; il faut donc, pour pouvoir comparer la théorie aux observations, déterminer les mouvemens d'un système de corps m, m! y m'', etc., autour de l'un d'entre eux regardé comme le centre de leurs mouvemens.
Soit M la masse de ce dernier corps , m, /w', rnl'y etc., celles des autres corps dont on veut déterminer les mouvemens relatifs autour de M; 0, n, ^, les coordonnées rectangles de M rapportées à une origine fixe; ^+x, y\+j, K+^9 celles de /w; ^+Xy uH^', Ç+a', celles de m'y et ainsi de suite ; en sorte que oCy jfy z seront les coordonnées de m par rapport à M; a:', y\ 2! y les coordonnées de /w'par rapport au même corps, et ainsi de suite ; faisons de plus , pour abréger,
r" = \/a;"*H./'»H.F% etc. ,
et supposons A
TJint
•*)*+ cy -7 j')* + («'-*)•
mm
L'action de m sur M sera exprimée par —, et cette
action décomposée parallèlement aux axes coordonnés^ et dirigée en sens contraire de cette origine, donnera , suivant chacun de ces axes , les trois forces
mx m,y mz
En marquant successivement d^un accent, de deux accens, etc., les lettres m, a:, y,' z et r, on aura, poor les actions de m% de m", etc., sur M, des expressions semblables; le mouvement de M sera donc déterminé par les équations différentielles
rf*Ç mx d*ti my d^K, mm
Cela posé. Faction de M sur m, parallèlement aux axes de ses coordonnées, et dirigée yers leur prigine,
Mx M y Mz 1 X • r X- i dx i dx
sera —0- , — ^ , — t- : les trois fonction^ — . tt- , — . j- •
-, -T- exprimeront la somme des actions qu'exercent
sur m les autres corps m', ni\ etc. , décomposées parallèlement aux mêmes axes et tendant à augmenter
iga THÉ(»II£ ANALYTIQUE
les coordonnées de m ; on aura donc , en verta des actions réunies de M , ni ^ ni' y etc. ,
flft. (| + J^) . JVIjg i^ dh
de^ ^ T^ ~ m'dy^
Si l'on substitue pour ^, 5?^ 3^> leurs valeurs ^ 2.^, 2.^, 2.-p^, ces équations deviendront
Mx
fllX
dx 'dx'
dt^^
my
dt^^
Mz
On peut leftr donner encore une autre forme. Eb effet, si pour abréger on fait M H- m s=: ;«. et qu'on suppoM
+ etc. ,
elles deviennent
de^ f^^ dy' ^ ^^
DU SYSTÈME . OU MOIf OÊ. . 193
Lagrange est le premier qui ait présenlé de cette manière les équations du mouvement des centres de gravité des corps célestes. Ce qui contribue surtout i les simplifier, c'est la considération de la fonction R, quia la propriété de représenter par ses di£Béreuces partielles les actions perturbatrices qu'exercent les planètes /7i', /n", etc., sur /7i. L'emploi de cette espèce de fonctions est également utile dans la tliéorie des mouvemens de rotation des corps célestes, dans celle des attractions des sphéroïdes d'où dépend la détermination de leurs figures , dans la théorie du flux et du reflux des mers, dans toutes les questions enfin où Ion a à considérer un grand nombre de f^ces de méma nature et agissant d'une manière analogue. En réunissant sous un même point de vue des expressions qui seraient sans cela très compliquées, il rend leurs rapports plus faciles à saisir, et cette notation fort simple introduite par Lagrai^ge dans la mécanique céleste, en contribuant aux rapides progrès qu^elle a £uts dans ces derniers temps, a eu pour la théorie L du système du monde tous les avantages d'une véritable découverte.
En changeant successivement dans les équations (D) les lettres m^ x^jr^Zy r en celles-ci, m\ x\j\ z'y /, ^'f ^^'fj'f ^ f ^9 Q\x:,.y et réciproquement, on aura trois équations semblables pour chacun des corps *«', m\ etc. , ce qui forme un système d'autant d'équations difierentielles du second ordre qu'il y a de coordonnées Xyyy z, x',y, z', etc., à déterminer en fonction du temps. Il ne s'agit donc plus que d'intégrer ces équations, pour être en état de déterminer
194 THÉORIE ANALYtiQlE
à chaque instant la position des corps m , m% danâ l'espace ;malheareusement cette intégration pas possible en général , dans Fétat actuel de 1 lyse : le système des équations (D) et des équa semblables relatives à n/, m", etc. , fournit seule un petit nombre dmtégrales finies , dépendante lois générales qui s'observent dans toute espè( mouvement. Comme ces intégrales sont de la grande utilité dans la théorie des perturbations nétaires , nous allons les développer ici.
9. Si Ton multiplie l'équation différentielle par M-f*2/?i, et les équations en jc, ar', x', eh première par m, la seconde par m% et ainsi du i qu'on les ajoute ensuite^ en observant que^ p nature de la fonction A^ on a
on aura
(M + S.m). ^. + 2.m. ^ = oj
d'où Ton tire, en intégrant,
>* , » - 2 . mx
u eXb étant deux constantes arbitraires. On aur
même
Ai-f.S.m'
u', h\ Jy Wy étant des constantes arbitraires. Cesk eçaations serviront à déterminer le mouvement absolade M dans Fespace^ lorsque l'on connaîtra les mouvemens relatife de /w, /w', /?i% etc. , autour de ce corps. Si l'on multiplie Téquation en x par
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l'équation en j^' par
ju^on ajoute ensuite les différens produits ^ en obser^ rant que y par la nature de la fonction A,
dx f dx , ^ dx / dx
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où Ton tire , en intégrant ,
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tp6 THÉORIE AlfALTTIQUC
équation qui peut s'écrire ainsi :
, dt
On trouverait d'une manière semblable les deux aut intégrales suivantes :
(«Af — xdz)
de
c f c', c'', étant des constantes arbitraires.
Ces trois intégrales s'accordent avec les équations (1 n** 38 et 26, livre I; elles renferment, comme m l'avons vu , le principe de la conservation dçs aii Si l'on multiplie les équations difiërentielles (1 la première par
, 2 . mdx
la seconde par
t f 2 . mdy
2mar — 2/71 . ^r^rr -^r^ >
la troisième par
/ 2 . mdz
amaz — 2/w . ,. :
Tu'ûD multiplie semblablement les équations différen-
lielles en 3c! ,f j z' par les mêmes facteurs, après y avoir
cbangé les lettres m^ oc^j^ z hors du signe S, en m',
x^y^ ^ j et ainsi du reste; qu'on ajoute ensuite toutes
les équations résultantes , en observant que Toii a
on trouvera
(dxd*x + dyd^y + dsui^à), 2.X..mdx ^ wutm .d^ M+S.in d^
et, en intégrant jt
— 2M.X.^ — 2AsssC0II8t.>^
Ajuation qui peut s'écrire ainsi i
dl^
- étant une constanlie arbitraire. (>étte équation i^«Me avttc l'équatîto (;») Ax «• a6, liv. 1; elle
renferme le principe de la cooserratioii des ibrce^
VÎTCS.
TdleS'soot les seules intégrales prenmres qu'on ait pn tirer jnsqo'ki dn système des ëqiutîoiis (D) réanies aox egnations semUaUes.relatÎYes aux corps M; njl^ m% etc. Elles indiquent des rdatlons qui doiyeiit tCMyonn. exister entre les coordonné^ ife ces diffé rens corps, et qm résultent des principes généraux du mouYcment; mais elles sont loin de suffire à leor détermination, et Ion est réduit, pour achever FiiH tégràiStfn déÀ équations (D) , de recourir aux médiodes d^approximâtion. Comme ces méthodes sont principalement ibodées sur ce que les distances des jJanètes et des comités au Soleil, et leurs distances mutneUes, sont extrêmement grandes relativement aux dimeo' sîons de ces corps et à celles des systèmes partiels que forment les planètes avec leurs satellites, il est infpoitant de faire voir quels sont les avantages que présente à cet égard la constitution du système solaire. Ces considérations ^rviront d'ailleurs à montrer que les quantités que nous avons négligées dans la formation des équations différentielles (Dj sont en effet toujours insensibles.
lo. Ne considérons, pour simplifier^ que Factif rédprôqne de'deùx-coips m et ni^ et.repi^enl généralement par Via fonction qui'ëxprime la somi des produits d^vx à.deubé di^a élémens dpi. et dni dot ces corps se composent , divisée par leur distance miM ta^U«. §oi^fi|: 5x,. w ^, ))if (goiM^Qm^ à^^dm .rappc*- 4ms \ H^je ,origifie.|ipcé^>tif9ur;TV s^t 1m xx)Qiiâm«S^
i&dm! rapportées à la même origine, on aura
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' grations indépendantes l'une de l'autre , la première
* relative à la masse du corps attiré , et la seconde à celle
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' dV dV dV . ^ „
•r- , ^ , -^ exprimeront, comme nous layons vu ,
les attractions qu'exerce parallèlement à chacun des I axes coordoanés le corps rn sur le corps m.
Cela posé , soient x', y, z' les trois coordonnées du
centre de gravité de m' rapportées aux mêmes axes et
à la même origine que x', y', 2', et soient x'^^y^, z\ [ les coordonnées de dm' relatives à ce centre , en sorte
qu'on ait
Supposons
Si l'on substitue dans cette fonction, à la place dfe ^' x% y', z', leurs valeurs, qu'on développe enstiite la T fonction résultante par rapport aux puissances ascenr dantes de ^s,yff ^ ^ en faisant, pour abréger.
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