x>-Hy,.(y-T)+«',.y-z)r

Les dimensions du corps m' étant supposées peu considérables par rapport à la distance de m à m\ les coordonnées x\, y\^ z\ seront fort petites relativement aux différences x' — T^f jr' — y^ z' — z. Ea conséquence y nous les regarderons comme des quantités très petites du premier ordre, dont on peut, sans erreur sensible, négliger les carrés et les puissances supérieures. La valeur de u se réduira ainsi à

..— ' ^^> (^^ - X) -t- y'Ay' - Y) -f- z\. (/ - z) " — ; -^ .

Si Ton multiplie cette expression par dmdm'^ qu'où l'intègre ensuite par rapport à dni^^ en remarquant quQ les quantités x ^^jr' ^^ z'^, sont les seules qui varient avec dm'f et que par la nature du centre de gravité on a

SnOù^dm! = o, S.f^dnï = o, S.z\dm' = o, on. trouvera, en remettant pour r sa valeur^

C'est la valeur que nous avioiw rapposée à la fÔDC^j

partielles -7— , -7— 9 --r- exprimeront gént^ralemeiit

DU SYSTÈME Dt MOSIME. 20 f

tion V dans le n* 5 ; on voit donc que cette valeur

"t^ exacte aux quantités près du second ordre , par

apport aux dimension de //i'. Les trois différentielles dY dV dV dx^ dY * dz

action totale du corps /w' sur le corps m, décom- >osee parallèlement aux axes des coordonnées, et diigée en sens contraire de leur origine. On voit donc [ue cette action est la même que si la masse entière le m' était réunie à son centre de gravité.

Soient maintenant x,jr,z les trois coordonnées du îentre de gravité de m, eix^f jr^, z^ les coordonnées le la molécule dm relatives à ce centre ; on aura

Si Fôn substitue ces valeurs dans V, et qu après avoir développé la fonction résultante on l'jntègi'e, il sera facile de démontrer par lanalyse précédente quW a y aux quantités près du second ordre ^

\/ix' — xy + (y' — y)' -h (a' — zy

C'est la valetir que nous avons supposée à la fonc-^ tion A dans le n® 7 j cette valeur est donc exacte , aux quantités près du second ordre par rapport aux diïïiensions de l'astre attirant et de l'astre attiré. D'où l'on peut conclure généralement que l'expression de U fonction V, et par conséquent l'action totale de m! «ur TO, seront les noèdles, «ux quantités près du ménae j^rdre, que si les aaises des deux corps m et m! qui

agissent l'un sur l'autre étaient des points massifs placés à leurs centres de gravité respectif.

Il suit de là que j dans la recherche des mouvemeos des centres de gravité d un système quelconque de corps dont les dimensions sont très petites par rapport à leurs distances mutuelles , on peut faire abstraction de leur figure, et que leur action réciproque les uns sur les autres est la même y à très peu près , que si la masse de chacun de ces corps était réunie à son centre de gravité.

Si le système que Ton considère était partagé en plusieurs systèmes partiels y disposés de manière que les dimensions de chacun d'eux fussent très petites par rapport aux distances mutuelles de leurs centres de gravité, on ferait

V— V TU m

\/(x' -xy + (y—yfj^ («'—*)*

m et wl représentant les masses de deux corps appsu^ tenant à des systèmes diflFérens , et x , ^, z , x'jf^i les coordonnées de leurs centres de gravité rapportées à une origine fixe. Les différentielles partielles de la fonction V exprimeraient encore les actions du premier système sur le second, parallèles aux axes coo^ donnés. Or, si l'on désigne par x, y, j» les coordonnées du^centre de gravité du premier système, et par x',^y', z'^les coordonnées du centre de gravité du second , il sera aisé de prouver par l'analyse précédente, et par les propriétés conilues du centre de gravitât qu'on aura y aux quantités près du second ordre ptf rapport aux dimensions re^>^tives de chacun dff deux systèmes,

DU SYSTÈME DU MOlifDE. ao3

V Cx' - nY + Cy - y)* + (z — z)^

d'où il suit que les deux systèmes réagissent l'un sur l'autre, à très peu près comme si les corps qui les composent étaient réunis à leurs centres de gravité respectifs, el que par conséquent ces centres se meu- Tent comme si cette réunion avait lieu en effet.

II. Le Soleil et les planètes forment un système semblable à celui que nous venons de considérer, les distances des satellites à leurs planètes étant toujours peu considérables relativement aux distances de la ]danète au Soleil et aux autres planètes. II en résulte donc que le système d'une planète et de ses satellites agit y à très peu près , sur les autres corps du système solaire , comme, si la planète et ses satellites étaient réunis. à leur centre commun de gravité, et que ce centre est attiré par ces différens corps, comme il le serait dans cette hypothèse. Il s'ensuit encore que Faction du Soleil et des planètes étant à très peu près k même sur la planète et sur les satellites , ceiix-ci se meuvent à très peu près comme s'ils n'obéissaient qu'à l'action de la planète.

Enfin la constitution du système solaire permet encore d'appliquer aux planètes et aux comètes, les •considérations sur lesquelles nous avons établi les -^uartions différentielles (D) et (B), et les actions ré- ^ifnroques de ces corpS' les uns sur les autres sont à très peu près les mêmes que si leurs masses étaient concentrées dans leurs centres de gravité respectifs. Biais cette supposition, que la petitesse desdiit^ensions

2o4 THÉORIE ANALYTIQUE

des corps célestes y comparativement à leurs distances mutuelles, rend déjà fort approchée, acquiert par la sphéricité de leurs figures un nouveau degré d'enzc^ titude. En 'effet , on peut regarder les planètes et les comètes comme étant formées de couches à très pea près sphériques^ de densités variables, et nous avons fait voir, ^"^iQf livre I , que Faction d'une couche spherique homogène, sur un corps qui lui est extérieur, est la même que si toute sa masse était réunie à son centrei*^ d ou Ton peut conclure encore que les quantités aégligées dans la formation des équations (D) et (B) sont du même ordre que l'excès du sphéroïde que Ton ccHir sidère sur la sphère concentrique. Les difTérens coqps du système solaire réagissent donc les unssur les autres à très peu près comme si leurs masses étaient réunies à leur centre de gravité, non-seulement parce que leurs distances mutuelles sont très grandes par rapport à leurs dimensions respectives , mais encore parce que leur figure s'éloigne peu de celle de la sphère»

12. Si les corps célestes n'obéissaient qu'à la seub action du Soleil, et si leur figure était exactement spbérique , les courbes qu'ils décrivent autour de cet astre seraient elliptiques , et leur mouvement de rotation au- ^ tour de leur, centre de gravité serait celui d'un corps * solide qui n'est sollicité par aucune force accélératrice^ ^ et qui à reçu seulement une impulsion primitive quel* conque, cas que nous avons examiné dans le chapitreY du premier livre. Dans cette double hypothèse > les seconds membres des équations (E) et (B) se réduisant à zéro, ces équations deviennent intégrables; et comme

DU SYSTÈME DU MONDE. aqS

«n effet les planètes , les comètes et les satellites se meuvent à très peu près, les premières autour du Soleil , les seconds autour de leurs planètes, comme s'ils n'obéissaient qu'à l'action des forces principales qui les animent, on peut regarder les re'sultats qu'on obtient de cette manière comme une première approximation des mouvemens célestes , et les forces négligées comme des forces perturbatrices dont le seul effet est d'y produire de faibles altérations. Un beau procédé 4'aQaIysc, que l'on doit au génie de Lagrange, offre un moyen fisicile de tenir compte de semblables forces, <{Qel que soit leur mode d'action sur les mobiles., (pourvu seulement qu'elles soient supposées trts petites par rapport aux forces principales) , par de simples variations données aux constantes qui entrent dans les intégrales de la première approximation, c'est-à-dire dans les intégrales trouvées en faisant abstraction des forces perturbatrices. Les deux principaux problèmes <lu système du monde, la détermination du mouvement de translation des corps célestes et de leur mouvement de rotation autour de leur centre de gravité, *«e trouvent ainsi ramenés à une simple question analytique qui les embrasse tous deux dans sa généralité. Ifous consacrerons lé chapitre suivant à exposer cette féconde méthode d'intégration, en appliquant ensuite aux équations différentielles (E) et (B) les formules générales qu'elle nous fournira , nous parviendrons, par des. approximations successives, à déterminer de la ipanière la plus simple le double mouvement des •corps célestes avec un degré de prépision que les observations les plus exactes ne sauraient jamais atteindre.

aofl THÉORIE ANALYTIQUE