CHAPITRE III

Intégration des Equations différentielles du Mornement dun système de corps soumis à leurs attraolions mutuelles.

1 3. Nous avons donné dans le chapîtrç précédent les équations différentielles du mouvement d'un système de corps soumis à leurs actions mutuelles, et nous avons fait connaître les seules intégrales finies qu'on soit parvenu jusqu'à présent à tirer de ces équations. Nous allons développer dans celui-ci la méthode d'approximation la plus lumineuse que l'on ait encore imaginée pour suppléer à cette imperfection de l'analjse.

Pour traiter cette question d'une manière générale, considérons un système de corps m , m', m", etc. , agissant les uns sur les autres d'une manière quelconque, et sollicités de plus par des forces accélératrices dirigées vers des centres fixes ou mobiles. Les résultats que nous obtiendrons auront ainsi toute Tétendue dont la question est susceptible, et il sera facile ensuite d'en faire l'ap plication aux équations différentielles du double mouvement de révolution et de rotation des corps célestes*

Nous avons montré, dans le chapitre IV du livre Ii que la détermination des mouvemens d'un pareil système pouvait toujours être ramenée à un non^ \ d'équations différentielles du second ordre égal à celui î des variablesindépendantes que chaque question cotnr

porte. Une intégrale qui résulte dans tous les cas de ces équations , est celle qui est fournie par le principe des forces vives. Si l'on désigne par x^jyZ les coordonnées de m , par x' yy\ z\ les coordonnées de m', etc. , rapportées à trois axes rectangulaires , et que , pour ' abréger, on représente par T, la moitié de la somme des forces vives du système , en sorte qu'on ait

2 A dt^ / ^A d? ^ + etc.;

^'on nomme de plus V l'intégrale de la somme des forces dont le système est animé, multipliées respectivement par rélément de leur direction, c'est-à-dire ^'on fasse

V=/;w. ÇS.dx+Ydy'\'7dz)'\'fm\ ÇK!dx'^Ydy-\'Z'dz') + etc..

Cette intégrale devient, n* 24^ livre I^

Les coordonnées o:,^, z, x\ y\ etc. déterminent à chaque instant ]a position des corps agissans du sys- ' teme. Ces variables sont en général liées entre elles par des équations de condition qui dépendent de la nature du Système, en sorte qu'il ne reste finalement ^'un nombre de variables indépendantes égal à trois Sois le nombre des corps , moins le nombre des équations de conditions. Nous supposerons, comme cela a lieu ordinairement, le nombre de ces variables indépendantes réduit à'^trois, (p, 4> ^> ^* "^^^ désignerons, pour abréger, par ^', 4% ^y ^^^ différences de

3io« THÉORIE ANALYTIQUE

ces variables prises par rapport au temps t, ei divisées par 1 élément du temps, en sorte quon ait

n sera toujours possible, en ayant égard aux équa« lions de condition, d'exprimer les coordonnées or, j, z, a:% etc., et leurs différentielles, en fonction des nouvelles variables ^, >[/, 6, ^', 4'^ ®^ ^* ^^ suffira de substituer à leur place ces valeurs pour convertir dans une fonction semblable une fonction quelconque àeXf^ j', Zy Jc^y, etc. Ain'si donc, nous pourrons regarder désormais la quantité que nous avons désignée parT, comme une fonction de ^, 4, 6, ^', 4', fl', donna dans chaque cas particulier.

De même, si Ton suppose, comme cela a lieu dam la nature, que les forces dont le système est animé sont dirigées vers des centres fixes ou mobiles , et représentées en intensités par des fonctions de la distance des différens corps du système à ces centres, la valeur précédente de V sera une formule toujours intégrale, et sa valeur finie sera une fonction des coordonnées Xfj", z, x\ y\ 2', etc., et par conséquent des variables (p, 4 > ^> fonction qui sera donnée dans chaque cas particulier. Quand des centres d actions étrangers au système seront mobiles, la fonction V renfermera, en raison de leurs mouvemens, le temps tj indépendamment des variables ^, 4* ^î rx\2À% elle ne. pourra contenir, dans aucun cas, les différentielles de Cjss variables.

Cela posé, différencions , par rapport aux variables.

DU SYSTÈME DU MONDE. aog

4; 6, (ff', \' , Q', l'ëquation (a); on aura

dV , dV ,, dV ,

1 peut donner à cette équation une autre forme. En *et, puisqu'on a généralement