IF ; "+" T- V
est clair que ^ quelles que soient les valeurs qu'on sbtitue pour x^y^Zy x' y etc. y dans cette quantité , deviendra une fonction homogène de deux dimen- )as par rapport aux différences des nouvelles vaibles qu'on aura choisies. On aura donc^ par la projeté connue de ces sortes de fonctions y
du d(p ^,dT d4^^,dn M m
d(p' ' dù'^d^' • di'^db" di~^^*
ibstituons la valeur résultante de T dans l'équam (a) y et différencions ensuite; nous aurons
j djy d(p , /, dT\ d^^,/j dT\ dd
Ji de cette équation on retranche l'équation (b)y et tju'on observe que les variations d(p , ^4 9 ^f étant indépendantes entre elles, on peut égaler séparément Tome Ï. i4
dT dy
dT dV d4 d^'
SI dV
iio THÉORIE ANALYTIQUE
a zéro leui^ coefliciens^ on aura les trois équations différentielles suivantes
• dt dt ""
Ces équations serviront à déterminer les VariaUcI ^^'\f9^ en fonction du temps. C'est soiis <Mte forme que Lagrange présente dans sa Mécanique amxfyii^ les équations générales du mouvement d\in sjr^lènfii de corps.
On peut leur donner une forme plus simple , en supposant
ce qui donne , en observant que la fonction V ne conr tient pas les variables ^', 4^ ^^
^~c/^'~W ^~^'~5?' ^~W^W ^^^ Les équations (c) deviennent ainsi
dt^ dip ^ dt — d'^^ di — "S"' W Et les équations du mouvement d'un sjstème de
DU SYSTÈME DU MONDE. iii
corps m, m', etc.^ sont ramenées à la forme là plus iimple qu'elles puissent prendre.
i4* Les trois quantités^, u, v, sont dotinées par les quations (p) en fonction de (p,*^, 6, ^', >(/', fl' ; réci^ »roquement^ on peut conclure de ces éqoatioiis les aleurs de (p\ 4^9'^ ^n fonction de(Py '^f &, s,Uf i^, t transformer par conséqueot ttne fonctiob quelonque des six premières variables en fonction des ix autres; mais on doit observer que les différences partielles de cette fonction prises relativement . à ^ ^ 1*9 0y ne seront pas les mêmes dans les deux cas. linsiy lorsqu'on regardera 13 comme fonction de ^^ 4 ^ ), s, u, Vf ses différences partielles relatives à ces trois variables ne seront pas les mêmes que les différences partielles de cette même quantité^ regardée comme fonction de ^, 4^ ^^ ^^ 4'> ^* ^^^^ l^s diâtinguer^
j ^ . d\l du dU 1 j»/¥»^
îous désignerons par -i-- , --rj , -^ y les différences
^ses dans la première hypotbèse , et .par les mêmes ^pressions entourées de parénttièses ,'lés différences elatives à la seconde. Ces dernières différences paridites forment les seconds membres des équations (d) ; *n aura dotic, conformément à cette notation^
di~\d^)' de ^\d^J' dt ~\r/8/ W
OrTéqualion U = foUct. (^^ 4> ^> ^^ 4'> ®') lionne, eu y regardant ^', 4'^ S'> comme fonctions des variables ip, 4> ^f ^> ^9 ^f
ai2 THÉORIE ANALYTIQUE
«rtI/dU\ dO ^ , du rf£ rfU «y J^-'Kd^J'^d^ ' d^"*" dy'd^ ■*■<£«' "Ji'
dV /dV\ dO dp' dl3 d^' du dt' If ~\'3r)'^ dp' ' W*" J^f ' W "*" W~dï-
Si l'on tire de ces équations les valeurs de (-y-) (-fr)f (~jf)f ^^ qu'on les substitue dan» les cqna
tions ({P),en mettant s^u, v^k la place de ^,«p
dV
-dF > °° '"''^
d» dXS dp' cm d)f
dt dp dç dp dp
du dU dp' dAf ^ \ ( \
dt ^d^'^'\d4. ~'''d:^~'''df' ^ ^'^
di^ ^ dp^ ' d^/ d¥
dt ~ de *• dd ~'^"df~''"dr'
Telle est donc la forme que prendront les éqm tions différentielles du mouvement lorsqu'on choisi pour variables s, u, t^, au lieu de (p', '^\ fl'*
Si Ton différencie la première de ces équations p rapport à 4 ^ la seconde par rapport à 9 , en rega dant^; Uy Vf comme constans; qu'on les retranc ensuite Tune de l'autre^ on trouve
d^.dt dp,dt *
Nous avons sunnonté d'un trait ces différences p tielles et les suivantes, pour rappeler que dans différenciations ^'elles indiquent ?^4, 6 et ^^ «
DU SYSTÈME DU MONDE. ai 3
sont regardées comme six variables iadépendantes Tuiie de l'autre.
On aurait d'une manière semblable
d^.dt d6,dt ' dê.dt d-^.dt
Si Ion différencie par rapport à ^ la première équa- [ tioD (e ) sans, faire varier ^,4^ ^> ^^ trouvera
i^l ^ jy d'^' d*? d<^
ds,de ds.dç ' ds.d^ ' ds.dç ' ds.d^ d^ *
Mais si Ton prend la différence partielle de U par rapport à la variable s qui n'entre dans U qu'autant qu'elle est contenue dans les valeurs de ^', 4^ ^'^ ^* qu'on
mette à la place de ^ , grr, -jtt 9 leurs valeurs y, « VjOQ trouve
rfU dp' ^^ ^
dis * ds ' da * ds*
Cette équation est identique lorsqu'on y considère U, (p^, 4', fl' comme fonctions de ^, 4, ^,s,u, v; on peut la différencier par conséquent par rapport à lune quelconque de ces six variables. En différenciant par rapport à ^ , on a
dJ-iï rfy d^^ d^?
ds.dp ' ds.df as7dç> * ds.dp'
La valeur de ' , \ , en vertu de cette équation , se
réduit à
d^ dp'
dsM df *
3i4 THÉO&IE ANALYTIQUE
En différenciant sendilablenient la même équation par rapport k u et k u, et en considérant les yaleurs
des différences partielles , ,, ,, on aurait
dl d^' dÇ d6r , .
du. dû dç ' dif.dt d^
Les deux dernières équations (e) donnaaient, p» des considérations analogues y
d^u û5p' d^u û?4^' ûP»ir dS
ds.dt d^^ du.dt d'^ '^ dp.dt d^\
da.dt €h* du.dt ûM* d^'.A lÂ*
Enfin si Ion différencie Téquation (7^) par rapport ' SiUy et la première des équations (o) par rapport à 5, qu'on retranche ensuite les deux résultats l'un de l'autre^ on trouvera
d^,du dp.ds ^
et par conséquent
On aurait d'une manière semblable
dy """ A ' di> ""^ ûfe«* ^"^
Ces diverses relations nous seront utiles dans ce qui va suivre.
DU SYSTÈME DU MONDE. %iS
1 5. Révélions maintenant k la qy^istion principale qui doit nous occuper ici. Supposons qu'étant parvenu à intégrer complètement les équations (c) dans Fétat oà elles se présentent , de nouvelles forces accéléra^' triées dirigées vers des centres fixes ou mobiles , et - dont les intensités sont représentées par des ^Kietion^ des distances de ces centres à leurs points d^applica^ tions respectifs , viennent à agir sur les différekis corps rn, m', etc., du système^ et qu'on se propose d'avoir égard ^ dans la solution du même problème^ à l'interventîon de ces forces. Si l'on désigne par il l'intégrale de la somme de ces nouvelles forces multipliées chacune par l'élément de sa direction (quantité que, pour abréger, nous nommerons à l'avenir la fonction perturbatrice) j comme ces forces sont absolument de même nature que celles d'où dépend la fonction V^ il suffira, pour y avoir égard, de substituer V + fl à la place de Y dans les équations (c). Les équatÎQns ^ du mouvement du système altéré par les forces per-f turbatrices , seront ainsi
dT dV da
dt
rfr dw da
dt
tJL
dT dv da
dt
de dQ '^ d9*
__^ dy da > (/)
^uations qu'on peut ramener d'ailleurs à une forme itialogue à celle des équations ,(^'). En effet, il est
Î3ti6 THÉORIE ANALYTIQUE
aisé de yoir qu il suffira pour cela de substituer U — Q h la place de U ^ dans les équations
■Kf)""""- "'-(M)-"""- ■"-©•■"=■" "1
les valeurs des quantités représentées par s,u,v(pi ne dépendent que de la fonction T ne seront pas changées , et les équations précédentes se trouveront seulement augmentées d un nouveau terme , c'est-àdire que l'on aura
n est inutile d'entourer de parenthèses les diffé- ^ rences partielles de la fonction £1, comme on le fait à l'égard de celles de la fonction U (d'après la remarque du n* i4) , parce que fl ne contenant pas les variables ^\ -]/, 6', ses différences ne changent pas quand on regarde (p', •>}/', 6' comme fonctions des variables ^, 4, fl, 5, w, i^.
U s'agit donc d'intégrer les équations (2), en sup- ' posant qu^on ait complètement intégré les équations (î), c'est-à-dire ces mêmes équations (2), dans le cas où Ton fait abstraction de leurs seconds membres.
La méthode d'intégration que nous nous proposons de développer consiste à satisfaire aux équations (2) par les mêmes intégrales fournies parles équations (i),
en faisant seulement varier les constantes arbitraires qu'elles renferment, de manière à remplir cette condition.
Les équations (i) étant du second ordre par rapport aux variables ^, 4> ^f leurs intégrales finies contiendront six constantes arbitraires aï , i, ^ffyë* ^9 cl Ton pourra par leur moyen exprimer les valeurs des variables ^,4^ ^9 ^^ fonctions du temps t et de ces constantes , de sorte qu'on aura généralement
<^=fonct.(a,i,c,yîg', A, t)i '^^=iionct.{a,byCyfygy h,t),
6= fonct.(a, b, c,f, gf h, t)..
Pour satisfaire aux équations (2) par les mêmes expressions finies de ^, 4, 0, nous différencierons deux fois de suite les valeurs de ^ , 4 > ^ ^ ^^ 7 faisant varier à la fois le temps*^ et les constantes a, b, c,f, g, h ; 110US substituerons ensuite dans ces équations les valeurs résultantes, et nous aurons ainsi trois équations qui serviront à déterminer les variations que A)ivent prendre les quantités a,b, c, etc.; mais comme ces variations inconnues sont en nombre double de celui des équations auxquelles elles doivent satisfaire, nous pourrons les assujettir encore aux trois équations de condition qu'il nous plaira de leur fixer.
Ce qu'il y a de plus simple à cet égard est de. supposer que les difierentielles premières des variables P, 4* fi conservent la même forme dans le cas où Ion fait varier les arbitraires a,b,c,J,g, h y et dans te cas où elles sont regardées comme constantes ; c'esti-dire qu'on égalera à zéro la partie de chaque dif-
a 18 THÉORIE ANALYTIQUE
féreatielle d(Py d'^, d& qui résultera ide la yariatioa èû ces arbitraires. On aura de cette manière trois nou* velles équations de condition, qui ne renfermeront ^ ainsi que les trois autres , que les différentielles premières des six quantités (^f b^ c^ fj g^ h. Cest là le grand avantage de ce procédé.
Nous désignerons désormais par lacaractéristique eT, placée devant une fonction quelconque du temps / et des constantes a, by etc. , la différentielle de cette fonction prise en y faisant varier ces dernières quanri tités seulement , de sorte qu'on aura, par exemple/
Cela posé, en vertu des trois équations de conditioii
que nous nous sommes données , nous aurons d'abord
cTipsso, <r4 = o, J'Gso. (A)
Si l'on différencie une seconde fois les expressicoi de ^ , 4* ^^ ^^ y f^^i^t varier le temps t, et les tantes arbitraires qu'elles ren^HTment^ et qu on si titue leurs valeurs dans les équations ( 3 ) , les rentielles ds^ du, dv seront augmentées en vertu la variation des constantes de JV, ^u, «Tp. lies fonoif tions n et U, ainsi que leurs di^'renees partielksjii ne changeront pas, parce qu'elles ne renfeimenit, fa|i première , que les variables ^, «nI^^ 6, la seconde, qiriii ces mêmes variables et leurs différentielles premièrdM et que ces quantités' restent les mêmes, soit queTlMi traite les arbitraires^, b^e,f,g,k, comme variable
DU SYSTÈME DU MONDE. a 19^
a cpmme constantes. On aura donc ainsi
, , . /dU\ , da ,
leSi valeurs de ^ » '^ » 0^ sont supposées satisfaire à ces luations dans le cas où la fonction £1 est nulle , et Q'on les différencie seulement par rapport à ^ ; on a onc identiquement
t les équations précédentes donnent simplement
^a^^.di, i^^j^M, ^v = ^.d8. (B)
Il sont trois nouvelles équations de condition auxfaits devront satisfaire les variations différentielles ll& arbitraires a^ h, €,f,g, h. Jointes aux trois équa- Hêês (A), elles suffiront pour déterminer ces varîafbng. En effet , en les développant^ on aurait six équas du premier ordre et linéaires par rapport aux 'érentielles da, db, de, df, dg, dh ; on pourrait c obtenir par les procédés Ordinaires de 1 elimiion, les valeurs de ces différentielles; mais on arit par cette voie à des formules très compli- ^^•^n parvient à exprimer directement ces valeur*
îiao THÉORIE ANALYTIQUE
d'une oianicre très simple ^ par les considérations suivantes.
i6. Supposons que l'une quelconque des intégrales premières auxquelles auront conduit les équations di^ férentielles du mouvement (i) ne contienne qnune seule arbitraire a, cette équation intégrale, résolue par rapport à cette constante , sera de cette forme :
«= fonct. (ç, 4 9 fl> ?'> 4'^ ^'> 0 f
ou bien en regardant , comme nous l'avons fait pré^; ccdemment, ^^, 4', 6' comme des fonctions de f , 4^ 6^ s, u, i^, données par les équations (p)
a = fonct. (^, 4, 6, Sp u, u, t).
Cette équation étant une des intégrales premières des i équations (i), il s'ensuit que sa différentielle com-l pléte, prise en y regardant a comme constante ^dditi se réduire à zéro quand on y substitue, pour ds, ^J dtf, leurs valeurs données par ces équations. Si rofll différencie donc l'expression de a en y faisant vaiiên à la fois les constantes et les variables , et qaou substitue pour J's, J'u, Su,' leurs valeurs données] par les équations (B), en observant que cf<p=o>1 J^4^=o, cTâszso, on aura simplement
7 /da dci , da dCl , da dsi\ j^ ,,.
CettiiL. formule détermine directement la valeur de Is variation différentielle da ; 'mais on peut lui donnei
DU SYSTÈME DU MONDE. aai
r autre forme qui a de grands avantages , comme is le verrons, en employant, aif lieu des diSérences tielles de la fonction il prises par rapport aux vables (p, '^f 9, ses différences relatives aux constes a, b, c, y, g, hf introduites par la substîion des valeurs connues de (p, '^, ^, en fonction temps et de ces arbitraires. En effet, si Ton regarde •nJ,, 6 comme fonctions de a, b, Cy fjgy h y on
ra
dClda ^^ dci dh dQ de dCl df ^^dci dg da dh
da'd^ dô'dç dc'dç df'd^ dg'dp dà 'dp*
'''d^'dÂ^'^lb'd^'^ dc'd^^^df'd^'^dj^'d^'^
dada dadb dadc , dO, df dCi dg dCl dh " 5â'dô ''' db'di "*" d^'dê'^df'dQ "^ d^'dd'^ dh'dè'
S valeurs substituées dans Texpression de da donront
, /da da ^^ da da ^^ da da\ dQ ,
, /da db j^ da db da db\ dO, ,
^ W • 3^ *^ Ai ' 54 ^" 5;; • 5i"; • 56 -^^
/da de j^ da de j^ da dc\ d£l , . '^\4^'di'^7ûi'd^'^Tv^dQ)' 5?*^^
/da ^f i^da àf da df\ da ,
"+* V35 • 3^ "*" Si • 34; "** 3;: • 5ô y • 5/^ • ^^
'^Kds ' dp^du'dl^du' dùj'd^'^^ , /da dh ^^ da dh ^^ da dh\ dCï -
^ V3« • 3^ "^S; 'd^^d^'lij'dh'^*
saa THÉORIE ANALYTIQUE
On peut faire disparaître de eette expression 1
multiplié par j-, en ôbiservant que la fonctîc
. contenant pas les yariables <f>\ 4^ ^f ^^ P^^^ mer non plus les quantités ^^ 21, ^; on aura c
Hq da da dQ db dd <^g . <^ 4f » ^^ ^ 1 ^^
di^dadi'^dydi'^dc'às^df'di'^dj^'di'^dh
da dSlda , dQdb dadc , dQ df dCidg . dtk du da'du db'du de' du df'du dg'du dh
dfà^MdajdCiMdadc^d^ d^'^d^'di^'^db'dprdc'dv'^dfdi^'^d^'di^'^Tl
$i Von multiplie ces quantités nulles, la premi
da 1 ^ j da % . • .% da
g-, la seconde par jt> la troisième par nr , c
retranche leur somme de la valeur précédente on aura
da db da db
jds'dç ^ fda de
(dadf^
d^'ds da de
dçî'ds dadf
\ds *dç df*d8
"H^^ 'df df'dê ^da 4h da dh
da db da db dadb dad ^'d^~d^'dir^d^'dê~M'd
da de da de yda de da d
■Âi*5;p""3^'sr*"^'rffl ~Wd
da df da df da df da dj d^'di$'^Z'':JS~di'di
dud^
da dg dud^
da dh dud^
da dg ^ da dg da d^ d^'dir^di^*d$~dS'd
da dh ^ da dh da d* d^'di^d^'^^^di'di
Cette
expression de da est en apparence plu
DU SYSTÈME DU MONDÉ. aaS
lée que Texpression (h) d'où elle est déduite , ^ elle jouit d'une propriété bien remarquable,
que les coefficiens des différences partielles ^,
etc.^ deviennent indépendans du temps t, après
n y a substitué, pour ^, 4 r^f ^f ^f ^> leurs valeurs 3nctiôn de t et dés arbitraires ^, f>, c, f, g, h. tme c'est à cette propriété que la méthode d apimation que nous venons d exposer doit ses prinux avantages dans les applications , nous ne pou- > nous dispenser de la démontrer ici d'une manière de, quoique cette démonstration exige quelques ^loppemens.
7. Pour cela, reprenons la valeur que nous avons (K)sée à la cotistante a dans le n"* précédent.
a = fonct. (^, 'J^fBfS, w, u, t).
après avoirtiré de cette expression la valeur de -jr , la différencie par rapport à t, en observant que ^<Pf -3f = 4^ ^^ff, on aura
. d^a ds , d^a du ^ d*a du\ . "^ 5p7S • dt'^d^du • ^ "^ d(f.dp • dî) '^
ûîus, en ^renaht la différentielle complète de a par '^PPOïtiif, on a
aa4 THÉORIE ANALYTIQUE
da , da .> , da ■ , , da . ai ., da d*
Si Ton considère dans cette équation (p\ '\/^ & connus des fonctions de ^^ %}/^ 6^ ^,2/^ p^ données par les écpifr
tions (j)) , et qu^on remplace -j- ^ -t-- , -jr par leuil
valeurs tirées des équations (2), son premier memU deviendra une fonction de t, (ff, «%[/, 6, s, u, v,qà devra être identiquement nulle. Cette équation SfM sîstera donc encore en y faisant varier séparémeq l'une quelconque de ces sept quantités.
Supposons cette substitution effectuée^ et dîfiereftj cions réquation récitante par rapport à (p ; onanl
cPa j d^'a , â^a . , d^a ^ d*a ds
dç.di'^d^'^ '^dç.d^''^ '^ dç.dê' d^Tds'lt
+ d*a du , d^a dp da d^ da d^ d^,du " dt^^d<p.dp ' dt dç * d^ ^^ d^' d^
da dé' da d^s. da cPi* da dV . '^l ' d^^lâ' d^.dt'^'du à^.di^dv* d^.àî^\
et la valeur précédente àe d.-^- deviendra^ en yin de cette équation ^ |
, da fda dqf , da dl' da dV
'dç \dç ' dp d-^ ' dç dâ ' df
da d^B . da d^u . da
da (Ta j.da tvu , da drjf \ - "*" "3r "d(f.dt dû ' df.df'^S^ ' df.dl/\
Il •
DU SYSTÈME DU MONDE. 3a5
Oa trouverait de la même mjiaière
j da (da d<p' da d^' da S' •*• 5^ ~\dp ■ rf^ "*" ctj. ' <i4 + d» • 2fï"
^^da â"! da d^û- da d'y \
'*' 17 'dïTdt'^ du ' 1^^ s;:^ ^:ïït) ^ ^ ^ -
- da f da dp' da d-^' de% dV
^'d6'^\'dp'1S"^d4'dê^dê'M
, da d^8 , da d^u t^da d^v \ ,
^ "37 • ITSi ■*■ in ' dûu ■*" "ST • dTS^J • ''^• [11 faut bien remarquer que ^ dans ces expressions , °» désignons par 3^, ^, ^, etc., ks
• ^ ds du dv Y 1 11 j» •
Valeurs ^® ^>. 37* 37 ^ ^^^'^ lesquelles on fera varier
iccessirement f ^ 4' ^^ ^^ regardant s^u^ 9^ comme
;tans»
Si Fou suppose à la constante b une valeur &iinï-
))lable à celle de a, on trouvera pour ^* -gr j ^» tt > ^* ^' î
fjes expressions analogues aux précédentes ^ en changeant simplement dans ceUes-ci a en b. Cela posé , si
^ Ton multiplie Texpression de d.-j- par -^, Texpres-
ji jf "^ dh jy • ^ j dû /
sion de a. ^ par— -^ , 1 expression de rf, -^r- par
^ da 11 j ^ da db «9 • j » ^
"317 ^ ^^ ^ 537 P" "^ "ST* expression de a. -^
par ^ , celle de à.-^ par— -^ , qu'on les ajoute
ensuite^ en observant que, d après les équations im) , on a
A' 9 ^ d'u d*9 d^p d^u d^'tf
d^.di~ df.di* dk.dt ~df.di* drdt~d^di'
J'OME I. l5
îi26 tHÊORIE ANALYTIQUE
on trouvera que létir ibiomfe se i^ëduit à
da .db rfè , da j^da .^db db ^da ^^da .db ^^ » de' 'dç ds' '^ du *Jj du 'd4 "^' '^ ^
Kda Mb ^^d^ db\' d^ ^ /** ^^ ^ ^N ^-V d^ ' nS da * d(p) ' dp "^ \54 * 25 ^ ' «^4/ ' 'd^ j,(da db da db\ dJS
A^(— ^^^ i^ ^jl(^ db da db\ d^' \dp ' du ' du ' dp/ '. d^ \d4 'du du' d-^J ' cf^ , /da ^àa db\ d^ '^\dh\4pé ,Tu'TO' rf4
, /cfa db^^da db\ dp' /da db ^da db\ rf4' "*" \dp ' âv .dif' dp) ' lÈi "*" W4 dp dv' d^) * "5r /dûç db da db\ dif^ ,
Réprlânôtis h raléut* de la constante a. Si l'oii di férencie par rapport à ^ sa différence partielle ^n relativement à la variable s^ on aura
r , <f<f ^^ip d^a • dhi -, d^à j,^ dht ., '^''d7~\^dê.dû'^d^'^^ d^.ds'^'^dii.ds ' il^a da d*a du d*a diTl
^^ ' 3i àà.du' Idt^ ds/du' 3? J *
Mais, en faisant varier s dans Téqùation identique on a
à'a , d^a j,/., d^cL^ ir i da ^
d^t'^ dp.d^'*^d4:d's''^'^dB2r'^
cPa da^ , da du j^ da rfy "*" ds* ' dt ^ da.dû ' Jt '^ da.dp ' 1î da^ d^ àa^ d^.da dV dp ' da d^' da If ' IT
, dg da da d^u da d*v
l?r * asTdi ^' da. de "dû ' da.dt
Nous exprimons^ dans celte ëquàtiou^ par ; '
, " . , ^ > les différentielles des valeur» de -^.
^, ^ prises en y regardant ^, 4^ ?> "^ ^? comme constantes^ et divisées par ds.
dn.
L'expression de ^Z.^- se réduit ainsi à la suivante
, da /da ^ ^.da d'\^ ^, ^« dfl'
"^'d^ — ^Kd^^da '^di^'dr'^'s^'i;
j.da d^8 da d^u da rfV\ as ds .dt du ds,dt dv * ds.dtj*
On trouvera de la même manière
da (da ^ j,^ ^4^' , àa dh*
'du \dç' du d^''3u dQ ' du
da d*s da d^u da d^if \ , ds ' du.dt du ' du.dt' dp' du,dtj' '
da /da d^' ^ d^ da dh'
' dv \d^ ' dp d-J^ 'dp ^ * dp
da d^s j^ dcL d^u da d*p \ . ds ' dp.de du ' d4fM dp ' dp.de J ' ,
On aurait des expressions semblables pour les diflë** x^Dtielles ^•3- > d.-j- , ^. V, en changeant seulement « en ô dans les équations précédentes. Si l'on multîplie maintenant Texpression de d.-y- piir -y-, celle
1 7 db da 19 • ^ 7 da db 1,
<le a . -T- par -"— ;^ J 1 expression ae d^-j- par ^j ^ cel le
1 I db da «. . . 1.7 da db 1,
oe rf. j- par — jj ; 1 expression de «.^ par ^, celle
de J.-i- par — -y^f ^* qu'oa les ajoute ensuite, en observail^t que les équations (q) donac;nt
d^^dç^ rf4/r/8^ f^^ ^
ds """ da ^ d%f "~" du ^ dp "*" ds ^
i ^«^ . à's d*s d^s cPtt
et en substituant pour ^^, -^^, __, ^^etc., ^
leni*s valeurs données par les équations (/i) et(o)y on j aura
db .da da .db db y.da da .db ^db .da da j& d^' V* d^' ds d^ *3S d^' '3îi dB' 'dp'^dn' 'iv
Kda db da db\ d^ x,fda db da db\ dp' dH' ds ds * d^J ' df * \df ' 3û'^ dm' dp) ' ïf
/da db da db\ dp'
'^\dp^dv '^d^'dp)''dQ
,fda db da db\ d^f /da A da çB\ Jf "^ Vrf4 * J« ds' d^J' dp ^U^ Tu dU' d^)'d\
'^\M'd'vdv'd-\)''d^
,/dadb ^ db\ ^ /da M da db\ S' '^KdB'ds"' ds' dU dp'^K^' du'^du'dS/'l^
,(da db da db\ ^5'"! , "^VSJ'S^"" Tp' diJ'Wj'^'
Le second meml^re de cette équation est égal*^ au signe près, au second membre de réquation(/) ; oaaura donc^ en ajoutant membre à membre ces deux équationsi.
da ydb db ^da db .da da .db
ds dp ds dp dp ds dp 'ds
, da ,rf6^^ ^ J^ , ctt -û^ da .db
du d-^ du d^ d4^ du d^' 'du
,da.db db .da ^^db .da da .db
'^d^-'^d^ '^Tpdi '^di'Tp ~ di-^'dp —
DU SYSTÈME DU MOJSDE. a-^^
Le premier membre de cette équatioa est évidem- Mni la différentielle complète^ par rapport à t, du
'Oefficient àe-jr.dt dans l'expression de da. En effet,
a intégrant, on a
a db da db fia de da db ^^da db dit db
s'd^ df'ds dud^ d^'dû dvdê 57*i/v "~^^"^ '*
OÙ Ton peut conclure que ce coefficient ne contient as le temps t explicitement , et ne saurait être qu'une mction des constantes a et b^ et des autres arbitraires ^fermées dans les intégrales des équations différenelles du mouvement, après la sut^titution des ya- :urs Ae ^y -\f^y s^ Ut i^ en fonction de ^ et de ces 'bitraires. On prouverait de la même manière que ! temps disparaîtrait dans les autres coefficiens des
ifFérences partielles rTf-j^f ^^c- i ^^ sorte que la
aleur de la variation différentielle da se trouvera Kprimée au moyen des différences partielles de la )nction Cl prises par rapport aux constantes a, b, c^ 9 gf ^f ^^ multipliées par des fonctions de ces lémes quantités indépendantes du temps. Il en serait e même des variations des ciriq autres arbitraires b,
i8. Cet important résultat constitue i^ lui seul la léorie de la variation des constantes arbitraires^ que ^us devons tout entière à Lagrange. Son génie lui fit ûupçonner au premier aperçu que la forme très simple \ueljaplace et lui étaient parvenus, api'ès de longs travaux, à donner aux variations des élémens ellip-
i3o THÉORIE ANALYTIQLÎE
tiques des orbites planétaires , ne devait être qu une conséquence particulière d'un théorème général ie Mécanique ^ indépendant des formules de ce meuve-* ment; et bientôt après il réussit à étendre l'analyse qui l'avait si heureusement guidé dans ses premières recherches, aux équations différentielles du mouvement d'un système quelconque de corps soumis k des forces dirigées vers des centres fixes ou mobiles , €t représentées en intensités; par des fonctions des distances de leurs points d application à ces centres. Le beau théorème que nous venons d'énoncer, ainsi gé« néralisé, deyitit applicable à un grand nombre de questions de Mécanique qui n'avaient point qté jusque là complètemeîit résolues.
Nous représenterons désormais les coefficiens des différences partielles de CL dans la valeur de ^^, par les symboles {a, à)-, {à,v)y etc., de sorte qu'on aura, par exemple,
dadb ' da db' ". da'Xb ' da db da db dadb .~
La quantité (a,b) exprim^ifa ainsi géujQn^ement une certaine combinaison de^ différenc^ipartielles des y^ leurs de a et b, prises par rapport à (p, 4* !^^ ^f ^> ^' Il suffira de permuter entre elles, dans cette expression, lesTleftres ^, i, c, *f^ g, h, prîtes deux à- deux pour former les Valeurs dés quantités (èi^c), (a,f)^ (rt,g'), etc. ^ V .
D'après Cette notrftiorf, "(A, à) doit représenter ce que devient (/î,è), en y changeant les lettres a et 6 entre elles. Or, si l'on effectue cette permulatî^^
15 l'équatioa prqcétjeqte^ m yoît qyi^ &09 secoiod mbre ne fait que changer de &^imi (W ^W^ donc
In, si Ton combine la 'lettre a avec elle-même^ qu'on snbatitne dans ta même équation a à la le de b^ pour former la quantité (a,a), on aura
'expression que nous avons trouvée dans le ii* i6.
r la varîatioa différentielle de ,a, deviendra donc,
•tes la notation que nous vén<](ns d!adppter^
)n aurait deB .expre^ipiis. sei^lafaleis^ pour déterer les variations des cinq autres arbitraires b, c,
faudra, pour af^liquerla méthode d'intégration édente , consmençer ^pikr former dan* chaque cas icùlier ^Uê quantités (^^)y '(a;!?), v(^y^i etc., en binant les différences partielles des iç^aleurs des étantes arbitraires du problème , prises par rapport variables ^ , «j/ > 6 , et aux fonctions ^ , 11 , (^ de rariables.et de leurs différentielles. Ces symboles >nt en nombre égal à celui des combinaisons diffétes qu'on peut (aire en permutant ensemble les six res tf , b, c, f, g, &, prises deux à deux, c'est-àe qu'on aura à calculer quinze quantités de cette
!i3a THÉORIE ANALYTIQUE
espèce. La valeur de diacune d'elles sera en générai une fonction des six constantes arbitraires contenues dans les intégrales des équations du mouvement ; cependant il pourra arriver quelquefois qu'elle ne contienne que quelques-unes de ces arbitraires; dans d'autres cas elle n'en renfermera aucune , et se ré« duira à une constante déterminée. Ces quantités seront toujours faciles à former, lorsqu'on aura préalable«ment exprimé les arbitraires en fonction des variables (p, 4» ^f ^9 ^9 ^9 ainsi que nous l'avons supposé ' n"* i6. Mais^ comme cette préparation pourrait entraîner souvent dans des éliminations compliquées^ ^ il est bon d'avoir le moyen de l'éviter j or, c'est ce ' qui est facile. En efiet, si^posons la constante h y pr exemple ,. fonction des variables ^f '\y ^f Sf u^ v^A d'autres constantes e^ ffgf àe sorte qu^oa ait
b = foncl.(^, 4, ♦, 5, w, i^f c, fy^)i
il faudrait substituer pour c, /, g, leurs valeurs en fonction 'des variaUes <p^/'^^.^^,:S,p ,ii> i^, pour ramener cette valeur de b* a la foniijir.:qiie nous lai avons supposée n* i6. Mais, en prenant ses diffé^ rences partielles par'raj^rt aux mênifts yariM>l^f
on a .■;»;'■■•. ..i, ■ ;■'•-, ■ \r.
db ^/db\ dh do 'ày df: dbdg.
d^ ~ \d^) '^ 3ç '^ "^ ^' ^ * ^* Bip'
db /db\ .éb de db d£ \^ dg
Z ^\4^)'^ dl: Z-^ W' ^ 4g' à^^ etc.
DU SYSTÈME DU MONDE. aâî
DOS désignons par (^)^ \z\ ^^^'^ ^^^ parenthèses,
I différences partielles de b, prises abstraction faite » oonstaitite$ c^ f^ g.
Si l'on substitue ces valeurs dans la formule (C) ^ il aisé de voir qu'on aura
ms représentons par {a^b) la valeur de (a^b) qu'on luverait en combinant les différences partielles de !t bf abstraction faite des arbitraires c^f, g que conn\b.
II sera facile de former les combinaisons (a,c), 'S)f {^^Df piiisquon suppose Uy Cyfj g donnés médiatement en fonction de ç,4^ ^f ^f ^9 ^;on ra donc sans peine, par la formule précédente, ^pression de (a^b).
Quand les valeurs des quinze quantités {n,b), {ci,c), c), etc., seront déterminées, comme nous venons le dire , on les substituera dans la formule gêné-e (D) , et les variatiMb différentielles des arbitraires trouvej'ont exprimées au moyen des différentielles la'fonction Cl , prises par rapport à ces constantes, multipliées par des coeificietis indépendans du mps t^ conformément au théorème général démonén' 17.
Bans chaque cas particulier, la forme des exprèsions auxquelles on parviendra dépendra de la macère dont les arbitraires €Z , i, c, etc., seront exprimées *n fonction des variables ^, %|/ , 9, ^, ï^, c, et par con-
sëquent des constantes arbitraires qu'on aura choisies pour compléter les intégrales de la première approximation. On obtient des formules extrêmement amples, en prenant pour arbitraires les Taleurs des six ?«*• riables p, '^^ 6, s, u, s^^k une époque déterminée, à rinstant , par exemple , d'où Ton compte le temps L En effet ^ si l'on désigne par ft,C,yp A, n, )u, ces six quantités; qu'on substitue a et f à la place de a et h dans la formule (C) , on aura
'^ ds'dç dqtds lud^ S^'Sî "^ 3v*3ï" Wî?
Or, comme on est assuré d'avance , d'après la Iration générale du n"* 1 7, que le second membre de cette équation eA indépendant du temps /^ il eçt clair qu'on n'en changera pas la valeur en y ^substituant F
simplement pour -j-f -r > etc., leurs valeurs
lesquelles on fera ti=^Q. Mais cm a évidemment dam ce cas
dç> ~ '^ 34 — '^^ H^ '' 2?^^' 3i^'' 5ï^~''
Toutes les autres différences partielles • des cons<-^| tantes a, ^, 7, etc. , soat nulles d'elles-iot^mes, d'o^j l'on peut conclure qu'en prenant deux à d^ux les à lettres a, C^y^ X, >f,ft,on aura
Tous les autres coefGciens (^,^)^ («,>), (^>^)> «*c.f seront nuls , de sorte que l'on aura , pour détermiiifir
DU SYSTÈME DU MONDE. a35
te vaiûaticms de a, ^^y^^f ^9 f*> les six équations îBÎvnxtes:
'*=''~"a?-^^^ t/5=~-2--•rf^ dy^-^-^.dt,
} is)
ÎAzzz -j-.dt. dviziz -Ts-.dtf duz=i -jT- .dt.
Ces formules sont les plus simples que puisse four-* ûr l'état ûe la question. Lagrange , après avoir dé- Boutré d'une manière ingénieuse, mais indirecte, iidépendance des coefficiens (a, A) , {C, n) , (>, ft), par a{Q>ort au temps t^ s'en est servi pour en déduire les exressions générales que nous avons trouvées pour les va-* ations des six constantes arbitraires a, b, c^J'^g, h. En Pfet , quelles que soient les constantes qui entrent dans s intégrales de la première approximation , elles ne savent êtr« que des fonctions des six quantités a,€, r^f ^,/^f^t il suffira pour les obtenir de supposer s o dans ses intégrales. La quantité de H peutd ailurs être considérée, soit comme une fonction des six >Qstantes primitives et, C, y, etc. , soit conunc une ^action des six constantes arbitraires a^ 3, c, etc. ; et m peut conclure par conséquent les diâerences par^ i^les de IX, relatives aux premières, des différences iflMrtielles de la même fonction , relatives aux dçr-* ^res*rSiron différencie ainsi, par rapportau temps t, es six constantes a, b,c, etc . , regardées comme fonc* tlous de a , ^, etc. , qu'on substitue pour dA,dS., etc. , kurs valeurs données pat les équations (^ )>, et que l'oQ convertisse ensuite les différences <de Cl, relatives *«>S,etc., en différences prises par rapport à /ï, i, etc.,
on retrouyera ssms peine la formule (D) et les for* rnules semblables relatives k b, c, etc., auxquelles nous sommes parvenus directement. Au reste, lesfo^ mules (g) ont paru jusquici plus remarquables par leur forme que par leur utilité.
19. Lorsque les variations différentielles des constantes a, b, c, etc., seront déterminées par ce qoi, précède , on aura par l'intégration leurs valeurs finies^; qu'on ajoutera respectivement à ces constantes danshi valeurs des variables ^, 4/^0^ trouvées en fisiisant ab-^ traction des forces perturbatrices ; on connaîtra ainsi^ les valeurs de ces variables qui satisfont aux équations^ du miouvement troublé, et qt)i doivent dans ce cn^ déterminer à chaque instant la position du système. Mais, comme les quadratures d'où dépendent les va-; leurs des variations finies des constantes arbitrairoi| a, b, eic.f ne seront pas possibles en général , on réduit à les déterminer par des approximations cessives. On commencera par n'avoir égard qu'à première puissance des forces perturbatrices ; on tiendra ainsi une première valeur approchée des tantes arbitraires regardées comme variables, à Tai de laquelle on pourra tenir compte du carré des d perturbatrices ; et en continuant de la même raani on parviendra à des valeurs intégrales aussi ap] chées que Ton voudra.
Concluons donc généralement que l'on peut t jours représenter l'action des forces secondaires qttfl agissent sur un système quelconque de corpd, etqia-s ne font que troubler les mouvemens que ces corps
auraient en vertu des forces principales dont ils sont animÀ, par les variations des constantes arbitraires qui entrent dans les équations intégrales trouvées , en Élisant abstraction des forces perturbatrices. Si l'on détermine ces variations de manière à ce que les intégrales premières soient^ comme les intégrales finies, les mêmes dans les deux mouvemens, leurs différentieUes se trouveront exprimées par des formulés très amples, au moyen des différences partielles de la fonction perturbatrice, et Ton pourra donner à ces fonoDules une forme très commode pour les appticalions, en employant, au lieu des différences partielles de cette fonction relatives aux variables du problème , les différences partielles prises par rapport aux cons^* tantes introduites par les intégrations*
Ces considérations semblent surtout applicables à la théorie du système du monde* Les perturbations causées dans les mouvemens de révolution et de ro-* tation des planètes par leurs attractions mutuelles, en offrent, comme nous 1 avons dit dans le chapitre précédent, une application directe^ celles qui dé*pendent dune cause spéciale, comme les inégalités de la Lune dues à laplatissement de la Terre ^ s'en déduisent aussi facilement. Enfin, on peut encore regurder comme une force perturbatrice la résistance du fluide éthéré que les corps célestes peuvent être obligés de traverser, et les principes précédens donneront le moyen d'avoir égard à cette action. Nous Tavous dit, (fest à Lagrange qu'est due la belle théorie que nous teaoQS d'exposer; mais il avait suivi, pour la traduire analytiquement , la marche inverse de celle que nou»
238 THÉORIE ANALYTIQUB
avons adoptée. U coAimença par déterminer les cli£^ renées partielles de la fonction que nous ayons désignée par il, relatives aux constantes arbitraires lé^ sultantes des premières intégrations; il les exprima au moyen de leurs variations différentielles multipUé» par des foncticms de ces mêmes constantes^ et il p»^ vint d'une manière très simple à démontrer que cet fonctions étaient toujours indépendantes du temps. Il fallait ensuite que, par les procédés ordinaire^ lelimination, on tirât de ces formules les valeurs variations différentielles des arbitraires qu'il s' en définitive de déterminer; mais celte opéra' devait entraîner souvent dans de longs calculs , et T pouvait désirer encore une méthode directe pour venir au même but. M. Poisson entreprit de la couvrir, et il y réussit dans un beau mémoire lu TÂcadémie des Sciences , en 1 808 , et qui complète théorie de Lagrange. Cet habile géomètre avait se lui-même les défauts de la méthode qu'il avait d'aboi proposée ; il parvint à la corriger et à éviter, par d considérations ingénieuses, ses principaux incon niens, en sorte que là théorie générale de la vari tion des constantes arbitraires dans les problèmes Mécanique, atteignit, sous- les yeux mêmes de soni venteur, toute la perfection désirable* H restait à faire l'application à la Mécanique céleste, à réi ainsi sous un même point de vue les découvertes grands géomètres qui en ont fait l'objet de leurs m dotations, à faire dépendre enfin la détermination di diverses inégalités des mouvemens des corps cèles d'une même analyse, comme elles dérivent ton
dune même cause. Cest à atteindre ce but que cet onvrage est spécialement destiné. Les mouvemens de mhrolution des planètes et des comètes, les mouve- Qens de rotation des planètes autour de leurs centres le gravité, les dérangemens qu'elles peuvent éprouver [ans leur marche , par la résistance d un fluide très are, occuperont successivement notre attention dans e livre et dans les suivans^ et Ion verra tous les ùiiis lependans^de ces phénomènes dériver naturellement les principes que nous venons de développer, et qui , Uns l'état imparfait de nos connaissances analytiques ,. Ipivent désormais servir de base à la théorie matbé- Mtique du système du monde.
