CHAPITRE IV
Première approximation du Mouvement de révolufion des Coips célestes^ ou Théorie du Mouvement elliptique.
!20. Si Fon n'a égard qu^à l'action réciproque des deux corps m et M^ et qu'on fasse abstraction dd autres corps m' y m", etc. , du système, les équations (^^ qui déterminent le mouvement relatif de m autour de M se réduisent aux suivantes
en supposant , pour abréger, r r=: y/x* +^* + z% jKi = M + i7i, c'est-à-dire égala la somme des m\ du corps attirant et du corps attiré.
Comme ces trois équations différentielles sontdtt' second ordre , leurs intégrales complètes devront ren* fermer six constantes arbitraires dont la détermina-! tion dépendra des circonstances primitives du mou'^' vement. Développons ces intégrales.
Si l'on multiplie la première des équation^ précé-* dentés par/, qu'on la retranche de la seconde multl^ pliée par x, et qu'on intègre l'équation résultante ,
DU SYSTÈME DU MONDE. a4(
onaani ■■*
c étant une constante arbitraire.
On trouverait d'une manière semblable les. deux autres intégrales
zdx — xdz ^^^ f ydz — zdy „ ^ v
— di ~^^ ' dr~—^' w
c' et c" étant deux nouvelles arbitraires.
Si Ton multiplie ces trois équations ^ la première y par Zf la seconde par j^*, la troisième par :r^ et qu'on ffles ajoute ^ on a
ca-f- cy'4-c"ar = o; (i)
"^ équation d'un plan mené par l'origine des coordonnées j ce qui nous montre que la courbe décrite par m
^'j autour de M est contenue dans un plan passant par ce dernier corps. Si l'on nomme <p l'inclinaisoa de ce plan sur celui des ay et et l'angle que forme. leur tommuiflie intersection avec l'axe des Xy il est aisé de voir qu'on aura
- tangÇsmflt=— , tang^cosâ&=i= ;
d'où l'on tire
tanga=-.^, tang (p = il^^-^ \
Et en faisant , pour abréger , c* •+- c'*+ c^'^ = ^* ^ ' c= A:.cos(p, c'=r — A:,siûÇcosflfc, c''=A:.sin^sina. Tome I. 16
a4^ THÉORIE ANALYTIQUE
Les deux angles a et ç, qui fixent la position du plsoi de la trajectoire, seront déterminés par ces équations lorsque les constantes arbitraires c, c\ d' seront connues; réciproquement, on aura les valeurs de ces constantes au nioyen des trois autres arbitraires a^ ^ et A:; on peut donc substituer ces trois dernières arbitraires aux précédentes.
L'équation ( i ) représente Fune des intégrales finies des équations (a). Pour obtenir une nouvelle intégrale, multiplions la première de ces équations par :kdx^ la seconde par ^djr^ la troisième par ^di\ ^outons4e8 ejosuite et int^rons leiae somme ; en ob- 9€arvant que xdx'\^jdj^zd^^;=:irdr^Vi!&aL% aucom
h étant une constante arbitnpre*
Mais si Ton ajoute les trois équations {b) et (c), après les avoir élevçes au carre, et qu^on fasse, comme précédemment, c*-f- c'^^c^* = A:% on a
dt* 2 . {xy.dxdy + xz . dxdz-^-yz.dydz) ,^
équation qu'on peut écrire ainsi
y+J^*+0»C^*:»-4y'+^0 {*dx^ydy+zdzy ^ ^..
ou biçn
ne SYSTÈME DU MONDE. ^i
on élimine — J^ entre cette équation et
nation (v), et si l'on résout par rapport k ^/z Féquarésultante, on aura
\e équation donnera t en fonction de r, et réci- [|uement ren fonction de t. On aura en Tintégrant econde intégrale finie des équations (a). 'our trouver la troisième, j'observe que si Ton igné par di/ l'angle infiniment petit compris entre ot rayons consécutifs r et r + d^, le carré de Télé- Qt de la trajectoire sera égal à dr^'^r^dv^; en sorte on aura
l'on substitue cette valeur dans Téquatiôn {d)^ elle rient r^dif^ := k^dt^ ; d'où Ton tire
rfv=^. (h) .
quantité | r^di^ représente Taire élémentaire décrite • le rayon vecteur r pendant l'instant dt ; cette aire donc proportionnelle à l'élément du teopps^etpar iséquent dans un temps fini, elle est proportionile à ce temps. On voit encore par cette équation e le mouvement angulaire de m autour de M est à aque point de la trajectoire réciproque au carré de u rayon vecteur, ce qui fournit un moyen très Q^le pour calculer les mouvemensdes planètes et des
comètes dans les differens points de leurs orbites peiH dant des intervalles de temps supposes très petits.
Si dans l'équation précédente , on substitue poar dt sa valeur en r et dr, elle devient
r\/:tfér— hr*—^ ^-^ ^
Nous avons vu que la trajectoire est une courbe plane; il s'ensuit que l'angle i^ exprime la longitude du rayon vecteur r compté dans le plan de cette courbe, à partir d'une ligne fixe : Téquation précédente donnera donc en l'intégrant la relation qui doit exister entre la longitude et le rayon vecteur, c'est-à-dire l'équation polaire de la courbe décrite. Le maximum et le minimum des valeurs de r seront déterminés par l'équation
a (ter— Âr* — A:* = o }
d'où il suit que la somme de ces deux valeurs est
égale à -£ et leur produit à -r-. Si Ton désigne donc
par a.(i-f-e) lapins grande^ et par a.(i — e) la plus petite, on aura
h d'où l'on tire
^-=fl, —a\(i^e^);
La constante a est la demi-somme des valeurs ex*" trêmes de r ou la distance moyenne de m àM^^leuf demi-différence. Si à la place des constantes hett^
m substitue les valeurs précédentes dans 1 equaion ( /) , elle devient
:ette équation peut s'écrire ainsi :
dv=i
\/,Jr±::±îr
d'où l'oa tire , en lategrant,
f = «0 -^arc . y cos
^ étant une constante arbitraire.
On aui*a donc réciproquement
î + tf . cos (** — • )
Cette équatiou' est celle des sections coniques, Torigiue du rayon vecteur r étant au foyer. La consente a est le demi grand axe de la courbe ^ e son
excentricité.
Le corps m^ dans son mouvement autour de M ^ décrit donc une section conique dont ce dernier corps occupé un des foyers y et Ton voit de plus par lequa-
a46 THÉORIE ANALYTIQUE
tioQ (h) , que le corps m se meut de manière que ks aires décrites par les rayons vecteurs croissent comme les temps. Telles seraient donc les lois du mouvement des planètes et de^ comètes autour an Soleil , si elles n'obéissaient qu'à l'action de cet astre, et si Ton faisait abstraction des perturbations causées par leurs attractions mutuelles.
Ce résultat, d'ailleurs, dérive naturellement de la supposition. En effet, nous avons fait voir, n"" 2, qu'un corps attiré vers un centre fixe pat* une force réciproque au carré de sa distance , décrivait autour de ce point une section coniques Or, pour avoir le mouvement relatif de m autour de M, il faut supposer ce dernier corps en repos, ce qui revient à appli^foer en sens contraire à m une force égale à l'action que ce corps exerce sur M ; en sorte que dans ce mouvement relatif m est solb'cité vers M par une force égale à la somme des masses M et m , divisée par le carré de leurs distances mutuelles; le corps m doit donc décrire une section conique autour de M.
L'équation (2) donne if en fonction de r ; et comme le rayon vecteur est donné en fonction du temps par l'équation (g), il sera facile de déterminer à chaque instant la position de la planète dans son orbite , lors* que cette dernière équation sera intégrée. Si Ycfa y substitue pour h et k leurs valeurs (o), elle devient
dt=:
rdr
\/fé. v/ar— - .r* — a. (! — «•) Va
=Vl
rdr fc j/aV — (ô — r)*
Faisons â-—r=œ. COS. 2^9 ce qui donne
r=ia.(i — e.costt); (3)
oaaura
rf/=: -7=.(l — e.COS.w),^^;
ffoù l'on tire en intégrant
!•+•/=; -7=.(«— c.sinw), (4)
/étant une constante arbitraire.
Cette équation donnera u en fonction de t; èl çomine r est donné en fonction de û par l'équation (3) , on aura pour un iùstant quelconque la valeur du rayon vecteur de la planète dans son orbite.
Si Ton compare l'expression précédente de rk celle fui résulte de l'équation (2) , on aura
I— e.cosMss
Toù l'on tire
COSM— «
8in (f — ^#l=s ■: fc cos If — et) =:= — ,
t par conséquent
tangi(i; — û>)=Y/î^-taugi|i. (5)
Cette équation déterminera la valeur de l'angle (^ >rsque u sera connu en fonction du temps.
a48 THÉORIE ANALYTIQUE
Les trois intégrales finies (i), (2), (4), que nou§ venons d'obtenir, contiennent six arbitraires a , e,a, ç, a), l; elles sont donc les intégrales complètes des équations (a). Les constantes a et e déterminent la nature de l'orbite; les constantes €& et ^ sa position dans l'espace; enfin, les deux dernières arbitraires œ et / dépendent, l'une de la position du périhéliejt et l'autre de l'époque ou de l'instant du passage du corps m par ce point.
21. Quoique les formules précédentes satisfassent complètement aux équations difierentielles (|â ) , ces équations peuvent cependant fournil*' encore d'autres intégrales dont la forme particulière ofire des avantages dans certaines circonstances. Pour eu d[ouxier nu' exemple, reprenons les équations (a), et les trois îih tégrales premières (b) et (c), relatives à la^'ôpuserYàtion des aires, i Faisons , pour simplifier , /izs^n nous aurons
'i» — r" de r" ' ^ '
'dF~ r'', dl*
et -
xdy — ydx , zdx — xdz „ ydz—^sdy
Si l'on multiplie membre à meiQbre la première de ces équations par la cinquième , et qu'on en retranche la seconde, multipliée de la même maiiîère par ht sixième, oii aura
-^ 1 z= — . {xdz-^zdx) — -^ . («c(y— vyrfa)
rdz — zdr . z r^ "^ 'r
Dn trouyerait aisément pour d.— et d.- des valeurs
f^mblables^ et en les intégrant ^ on aura
z c' .dx'^c .dy ^
* cdy — c ,dz , yt
y^, y^ étant trois constantes arbitraires.
^ Si ces équations étaient réellement distinctes entre
, réunies aux équations {c), elles suffiraient
iir résoudre la question j puisqu'en éliminant entre
-âix intégrales premières les différences dx^ djr, dz,
en tirerait trois intégrales finies contenant les six iifraires^^ (/, d%fyf\f\ qui seraient par*consé-
int les intégrales complètes des équations différenfeUes (a). Mais Tune de cessix intégrales rentre dans les [oq autres; et c'est ce qu'il est facile en effet de con-
roir a prioriy car, comme elles ne renferment que lément dt du temps , on voit que les intégrales ies qui enarésulteront seront insuffisantes pour dé- ^mîner les coordonnées x^jr^ z, en fonction du
ips. Il doit donc exister quelque équation de conïîon qui lie entre elles les six constantes arbitraires
En effet, si Ton multiplie la première. de ces équams par c, la seconde par c\ et qu'on les ajoute enlite^ on aura
25o THÉOiUE AiSALYTIQUE
On a d'ailleurs par réquation (i) cz + c3^= — é^X] par conséquent
Cette équation coïncide avec la trobième des équai*
fc + fd tîons (iw), lorsqu'on suppose /"=— '—!-J—iSk
fc +fc' +/V= o. Les constantes c, c\ d^^ff^^ n'équivalent donc qu'à cinq arbitraires distinct^y;fll| la dernière des intégrales (m) et (c) résulte des cia| autres. i
Ces intégrales cependant suffisent pour détenninel complètement la position et la nature de l'orbite qm le corps m décrit autour de M. Les trois premièni montrent que cette orbite est une courbe plane, n^ ao les trois dernières déterminent sa nature. En effet, s l'on multiplie la première par z , la second^ par/, l troisième par ;r, et qu'on les ajoute, on aura
— r — ="• dt +" •— 3r— «^ -^^V^
équation qui , en vertu des équations (c) et en faisan pour abréger c* +c'* -j- c"* ^ Â:*, donne
r— A-— /z— /:r^/'* = o- Cette équation, combinée avec les deux suivant)
DU SYSTÈME DU MONDE. aSi
î+ c'y + c^^x = o et r* == Jp* +^* + «% conduit à équation des sections coniques, l'origine étant au ^J^er. Les courbes que décrivent les planètes et les ^mètes autour du Soleil sont donc des sections coques.
Les constantes c^ c\ d'j déterminent la position du in de l'orbite ; elles font connaître aussi son grand 3, puisqu'en nommant a la distance moyenne et e
ccentricité, on a , n** 20, A= \/a. (i — e*), équation [ donnera la valeur de a lorsque celle de e sera mue. Les constantes f^ f^ f déterminent cet ment, ainsi que la position du périhélie sur Tors. En effet , si des équations (m) on tire les valeurs fjj^f y, et qu'on les ajoute après les avoir élevées carré, on aura
fcdz^ c(fy+£dx\* \ dt ') '
is réquation (i) n"" 20, en la différenciant, donne \^ c'djr'h c^'dx^zo; l'équation précédente se rét donc à celle-d :
te équation, comparée à l'équation (e), n^ 20, ne
a5a THÉORIE ANALYTIQUE
d'où 9 en substituant pour h e\k leurs valeurs^ e posant toujours fi = i ^ on tire
Soit i l'angle compris entre la projection du | axe de l'orbite sur le plan des xjr et l'axe des nommant a/, y\ z' les coordonnées du péri on aura
tangî=^.
Aux extrémités du grand axe, dr est nul ; on a en ce point xdX'\-jrdjr^zdz:=:o. En subst pour c, c\ c", leurs valeurs (c) dans les deuî nières équations (jn) y et en les divisant ensuite par l'autre y on trouve , en vertu de la relatioi cédente ,
par conséquent
tang i = ^.
Les trois constantes/jy^,y^', déterminent dom centricité et la position du grand axe de la s conique.
On connaîtra ainsi tous les élémens qui fis position et la nature de l'orbite décrite; quar situation de la planète sur cette orbite , il faut p déterminer avoir les valeurs des coordonnées x en fonction du temps , ce qui exige une nouve tégration. Or, on a, n** 20 ,
dt
rdr
squatioo donnera la valeur de r en fonction de /; ame on peut déterminer^ par ce qui précelle àeXf àejr et de 2 en fonction de r, on i chaque instant les valeurs de ces coordonnées, rmules précédentes nous seront utiles dans la e des comètes.
Reprenons les trois intégrales (5), (4), (5), qui ut pour déterminer toutes les circonstances du ;ment de m autour de M. Si l'on fixe Torigine igle V au périhélie de Torbite, ce qui donne ûi=o, on prenne pour l'époque d'où Ton compte le t l'instant du passage de la planète par ce point,
donne /= o, en faisant pour abréger YJL zr^n^
a • nations deviennent
nt'sszu — e.sin w, , r = a.(i — e.cos u)j
tang -i;=:%/— --.tang-w.
roit par ces formules , que si l'angle u augmente % le rayon r reprend la même valeur, et l'angle v nte pareillement de 36o°;.la planète revient lors au même point de son orbite. Mais l'angle u at de quatre angles droits, le temps t est aug--
d54 THÉORIE ANALYTIQUE
mente de /'= jy= . Sôo**. C'est le temps que la ]
emploie à revenir au même point de son orbil faire une révolution entière. Ce temps ne dépe du grand axe 2a; il est indépendant de lexcenti et il est le même que si la planète décrivait uc ayant pour rayon la distance moyennes. On aun ce cas essso; ce qui donne r=a, u^zrUf pz par conséquent uz=zni; les arcs parcourus soi proportionnels au temps ^ et la planète se me formément sur le cercle dont le rayon est a. Ls tité nt représente généralement l'arc que dé pendant le temps ^ , un astre qui , partant du p au même instant que la planète m , parcourri une vitesse constante égale à n^ un cercle de le grand axe de l'orbite comme diamètre. C passerait au périhélie et à l'aphélie en mêmi que la planète ; mais dans une moitié de la tion, la planète précéderait l'astre^ et dans l'ai serait devancée par lui.
L'angle ne est ce que l'on appeQe le moyen ; ment de la planète m. Sj( l'on prend sa distance m au Soleil pour unité de distance, et qu^on i f*= 1 , on aura w = i et p = ^. Le temps sei alors représenté par les arcs que décrirait la sur le cercle dont l,e rayon est un, avec une égale k l'unité. C'est ordinairement au mouvei la Terre que les astronomes rapportent les mou des autres corps du système solaire; ils prei distance moyenne de la Terre au Soleil pov de distance , sa masse réunie à celle de cet asi
DU SYSTÈME DU MONDE. ftSS
tinité de masse, et en supposant le temps compté en JOQrs moyens solaires, l'unité de temps se trouve repré- ■^ûtée par Tare que parcourt dans un jour la Terre au- ^rdu Soleil, en vertu de son mouvement moyen.
L'angle auxiliaire u que nous avons introduit dans hs f<Mrmules précédentes est ce que Von nommé h^momaUe exceiUriçue, ni est V anomalie moyenne ^ et kngle V est Vanomalie vraie. Il est aisé de s'assurer, tt considérant la seconde des équations (/i), que Éngle u est formé par le grand axe de Torbite et le ftyon mené de son centre au point où la drconféreace Kcrite sur son grand axe comme diamètre, est ren-- Ihitrée par l'ordonnée abaissée de la planète m per- |ttidiculairement sur le grand axe.
î Les deux dernières équations {n) donperont les urs du rayon vecteur ret de la longitude v lorsque le u sera déterminé en fonction du temps i mais [nation qui donne uen t étant transcendante, il est ible en général d'avoir la valeur de u par une l^ession finie. Heuireusement les exceutricU^ des lies des corps célestes sont ou très petites ou très des, et 4&ns ces deux cas , on peut déterminer u fonction de t par des formules très convergentes. t ce qu'on nomme le problème de Kepler ^ parce ftle cet astronome est le premier qui se soit occupe 1^ cette question. Pour la résoudre, nous ferons usage b quelques théorèmes connus sur les développemens les fonctions que nous allons rappeler ici.
^3^. Spjit z une fonction quelconque de (t qu'il s'agit b développer par rapport aux puissances ascendantes b cette qtuititité que nous supposons très petite ; on
aura généralement , d'après la formule connue sous le nom de formule de Maclaurln ,
*=*+*'T"+ — •:rrH r * :7:s ■+• etc. : (m
' dm • i.a dW" ' 1.2.3 ûfcr * ' ^ '
z' étant ce que devient z -lorsqu'on Suppose a =o et ^ , S*" ^ ^*^* ^ désignant les différentielles successives de cette même fonction prises par rapport à a, dans lesquelles on ferait de même £& = o après les différenciations.
Cela posé , soit d'abord la valeur de z de cette forme z = ^ (jtr + a). Cette équation . donnera généralement ^ = --rj ♦ quel que soit i. La formule (m) de-^ viendra donc ainsi
zs^z'-^oL. — +—.-—.-) ..--.-f.etc. (p)
âur 1.2 a*' 1.2.3 oar ' ^'' ,
Supposons maintenant la fonction qu*on propose Ji| développer en série , de cette forme 2 = (p (jtr -fjr étant une fonction quelconque de z donnée l'équation j'=y(i5). Cherchons dans ce cas la vale
du coefficient différentiel^,. L'équation z==^(ay
donne d'abord
dz dz
Il ne s'agit plus que de différencier successivetnei par rapport à tt les deux membres de cette équation ]
et de substituer à mesure pour ^ et ^ leurs valeurs;
DU SYSTÈME DU MONDE. aSj
ts on peut éviter cette substitution en observant I l'on a généralement
dm dx
sffet, si Ton effectue dans les deux membres de ; équation les différenciations indiquées, on trouve
dy dz ^^ dy du det * dx """ dx * dit *
S Téquation j^* ss/z donne , en la différenciant ,
dy dy d% dy __^ dy dg
dm dz * dm ' dx "^ dz * dx*
aura donc en substituant ces valeurs dans 1 equaprécédente 9 Féquatioti identique
dy dz dz dy dz dz
dz * dx ' dm dz dx * dm*
irenons la valeur de -^^ que nous avons trouvée \ haut
dz dz
dm "^^ * "Sx'
on différencie successivement par rapport à a les K membres de cette équation , et quon rem-
e ^ par sa valeur, toutes les fois que ce coefficient
^produira , on aura
, dz , dt j . dz
dm* dm dx dx ' '
