cLc

On peut aisément étendre cette formule au cas où quantité qu'on veut développer serait une foncti( quelconque 4^^ ^ valeur de s étant donnée par Té' quation 2=^(j:+fly^), daas laquelle^"==/z. Eneffe si Ton dédme par z' et y ce que deviemient zetfi lôirsqu^ôn supposé az=zOf on aura par la même analj

^ ^ V dx J^i.2 dx i.a.3 dir*

:24* Appliquons ces formules au développement da

DSf S^YSTÊME DU MONDE. aSg

e^uatioiis (il)) d'où dépendent les mouyemens el-^

^tiques des planètes et des comètes. La première

détermine Tanonfialie excentrique u par l'anomalie

moyenne nt^ on peut l'écrire ainsi ù:=:nt^e.s\j\ u. 81

I on compare cette équation à l'équation z= ^(or+o;"), onaz = i^y x=:nt, a=e, ^=sintt, et par con- ^uent z^:=:ntf y :=:sm. ni; la formule (çr) donnera donc immédiatement

^^^ 1.2 ndù 1.2.3 n'^dl^ T ^ -^

II ne reste plus qu'è e:[^cttt^ les dififérençiat^ns indiquiees; mais pour obtenir des expressions plus simples , il est bon de remplacer auparavant les puissances du sinus de nt en sinus et cosinus des multiples du mênfie angle. On trouve pour cet objet des formules commode^ en faisant usage des expressions des sinus et cosinus ^n exponentielles imaginaires. £n

^ffet, c étant le nombre dont le logarithme hyperbo- ^ue ^t 1 1 ûu a

étant quelconque. Développons le second membre le la première de ces équations; nous aurons

co9^,nt

TZr- *^ -"--.+ etc.

a6o THÉORIE ANALYTIQUE

Mais TexpresBicm de cos' . nt peat aussi a'éen

manière

co.'.«/=^ ^ ).

Cette éqaation donne en développant son second membre

2'. cos'.»* =sc-^* V-» + ».c-{i -«)»«• i^^ 1.2 i.a.3

Ajoutons ces expressions de 3'. cos'. n^^ en observant

cpie Ton a c*"' ^^■"'+c""*^*^""»==a.C08.Aii/,i[iiel' que soit k, nous aurons

.tn*4"*«co«r(i— a)i»^— -^ 0O8.(c — 4)4

H ^^ COS. (*— 0)1»* + etc. 1

On développerait l'expression de sin^/^^par un procédé semblable; mais il faut ici distinguer deux cas, celui où i est un nombre pair, et celui où i est impair. Dans le premier cas , on aura

dz^*.sinMlss:cos^,int'—i.coa.{i — ii)ni+ co8.(t— 4)''^

— — co8.(s — o)nt'^ etc.

Le signe supérieur étant relatif au cas où i est un moK tiple de 4» 6t le signe inférieur au cas où 1 est simplement divisible par 2.

Enfip si i est un nombre impair^ en observant que

DU SYSTÈME DU MONDE. iSî

chn,V—^^^kni.\r=ri ^ aV^^-sîn.itn/, quel ^e soit kp on aura

^—^ — 8!n.(»— 6)/rf 4- de; j

e sigoe supérieur $e rapportant an cas où i — i est m multiple de 4 y ^t le signe inférieur, au cas où i — i 4 seulement un multiple de 2 • Substituons dans la formule (s) , à k ^ce "des {m4^ aces de sin.nf , leurs valeurs données parle#f<M>nles précédentes , et opérons ensuite les différenitîons indiquées , nous aurons

+ =-> — T- • ri^.sin.iO»^— 4*2^*sia*aii0

•4- ^ i K — 4 • I 5*«8in.5/»t— 5.3*.8iii.3;»*-f- — ^.sîo.nt |

-J- etc.

stte série est très convergente quand on Fapplique IX planètes. Elle servira à déterminer l'angle u pour n instant quelconque, et l'oii aura ensuite, par les iieux dernières équations (72), les valeurs correspondantes de r et de p* Mais il est plus simple d'exftîmer directement ces deux quantités en séries de Âûusetd^ cosinus de l'anglis^n^ et de ses mull,ipl^s.

Pour cela remarquoos que si dans la formule (r suppose z=iUf tt=«i-|- e.sin u, x=^nt,jr^zsi\ cLz=:e, ce qui donne ^^z' =:'^nt) , yt±:iAn'Mt;'{

pour abréger gtu fait 4''^'^'*' ""às^* ou aura ge ralemeut .

-^u = -^nt + e- sm ♦ /i^ . 4 «^ + . -^ —^ —

• -.-- i'\.«" .■• ■•.'-t-''-. •. .. , . Kl #

Su^pposcttis .Qlai^iiaut^M^^cœ h^ cette fora