nat i/)«3 n
+ etc. '''''•' ' '■ ' '■ ■• '■'■ •'•
Si l'on développe cette^ ex3)ine8sioli par le^; form (S) et (5^) , et qu'après avoir effeèWé les dififéren tions indiquées, bu kt substitue ' dans I9 valeur donnée par l'équation r= a . ( i ~ 6 • cos u) , on ai
-=i — ^.'cos.wf . ( i-c<w.2nO-— -=r.r3.cos.3/»/- S.co
^-5 — j-.[4*.cos.4'*^ — ^"^^ • 00s, 2nt} - '
gS 5 /
. -^ — \ . [5^. co8,5nt — 5.3^. COS. 3nt + — — ^ . cos
"■* ctc^ * ■ * • ' * * ' • *
'^ **n^ .... ^Iji ■•.fr
La froSsîèÀfe dés é^atftoAs (/i)^otfne - '»
On peùl titiei'd'e cèftè éiquatiôh la valfeur de i^etffc
DU SYSTÈME DfJ liONJOË. a^
tion de u, de sin u, sin aii^ etc.; et Lagrange a donné une méthode fort élégante pour j parvenir au moyen des exponentielles imaginaires. En remplaçant ensuite ces quantités par leurs valeurs en séries ordonnées par rapport aux puissances de e, et déve^ loppées en sinus et cosinus de Vang^e ni et de ses multiples, on aura la valeur de i^ exprimée dans une filérie «emblàble. Mais il est ))eauçoup plus simple de déduire la valeur de i^ de celle de r supposée connue au moyen de Féquation (A) du ra? 20.
$D effet /9i l'on Mbràtae^ dan& ^^ette équatiMi k la
jhce de Arsà ValetÉrV^* V<i .(1 -^ e*) et (jaon ob-
fierve que V^= ^*w , on aura
du
Y/i— jf-7-'«^-
La formule (t), en supposant ^^^ss (i — e.cos w)' = j-,dpAne ^
^5r:(fl-^.eiM.»ty+».«*^tiii*.ii^<i-^ .co» nty-'
■ ■ undt
; iif^.cP;iiii«^/nfw'(i-^:6w.»«)*^ .
■4- ■ ' ^ — g . 4 ■■» ' + etc.
%^ f|Ve soift 1., *i /l'on fait i^ — p , pn ^n co^l^a
a64 THÉORIE ANALYTIQUE
-< r*ri 3.008.3/»^ +3.oo6.n^1
-f- — •^— r. [io3.co».4«i+8.cos.2iil + g]
•i^ -**n . [1097.006.5»^— 75.co|.3n<+i3oxot.Al]
4" etc.
Si l'oa -substitue ciette valeur dans di^ et qi:('oii iotègre ensuite nW trouvera, eu né portant l'ai^proxiinatiQO que jusqu'aux cinquièmes puissances jde e inçloai* vement j
/ .+1"^^ — r«v.(i3^am..3/*< — 3.sin.<iO ; ,, .
H r^»[ïc3 .sin . ^t — 44*^i^ i'2>ii]
-4- ^ — ^g-x-^.[iog7.siiL5/»^-^-645.«îiw3»l+5o.8inji<I
I •2 .OcQ
+ etc.
La suite des termes 2e,. sin^^ nc-i — ; e* . sin . 2nt -f- etc* >
est ce que les astronomes appellent l'équation du centre, c'est-à-dire l'angle qu'il £aut ajouter à la valeur moyenne de p pour avoir sa vraie valeur.
Les angles u, v et ni dans ces séries sont comptés dû périhélie de l'orbite ; si l'on voulait eomiptér ces angles à partir de l'aphélie, comme on le faisait
lutrefoisy il suffirait de les augmenter de la demi- ^'rconférence, ou^ ce qui revient au même, de jianger le signe de la quantité e dans les formules N'écédentes. Mais il vaut mieux adopter Tusage nonellement introduit dans nos tables astronomiques de ompter les anomalies a partir du périhëlie, afiti d'avoir es formules semblables dans le cas où les orbites yaï presque circulaires , comme celles des planètes , t dans celui où elles sont très excentriques , comme ;lles des comètes.
Si, au lieu de omipter la longitude \^ du périhélie ^ I fixe son origine à un point quelconque de Forbite, il iffira de diminuer dans les formules précédentes ingle 9j qu'on supp^era représenter ces nouvelles ngitudes, de ta constante ûi qui exprimera la longide du périhélie. De même , si , au lieu de compter le mps de l'instant du passage p^r le périhélie , on fixe m origine à un instant quelconque après ce pasge, l'angle nt devra 'être augmcqté de la constante Z=€ — cù j € désignant la longiteiie moyenne de la lanète à l'instant d'où l'on compte le temps. Nous ommerons désormais la constante e la longitude de époque; les expressions de ret de (^ deviendront ainsi
+ (-T-«'— -^.é^Y8in.a*(»l + « — •') + elc.
L'angle y est la longitude vraie de lu planète } Vangk nt + isa. longitudi» moyenne , et Fanglç n^'^ê-^M 90ia anomalie moyenne j les longitudes^ aûsicpeU rayon vecteur r, étant rapportées ati plan même d« l'orbite.
25. DétennitlOBS maintenant la position de la planète par rapport à on plan fixe que noiia su[qx>8eroii$ tm peu indiné à celui de fion ori>ite. Si l'on dési^ par ^ l'inclinaidon mutuelle de ces deux pkmsf^ par 4 la longitude y comptée sur le plan fixe> de leur com* mnne intersection que nous nommerons dtâsprmai^la j ligne des ncBuds, et par € cette longitude conpo^l dans le plan même de lorblle ,, qu'<»a nomm^ f' Il longitude du rayon vecteur projeté mt le plan 61^ 4'angle i>' -t- » sera la projection de Tangue i^ rr^ ft représente la. longitude dans rarbjstè comptée 4i ttœud> ou cercpi'on appelle Vatigummt.de la Uititvi^ et en considérant le triangle sphérique rectangle (M V — € est l'hypoléanse, m'-— «lun côtéde fan^.4iûit et ^ l'angle adjadnrt^ on: aura :
tang («/ — e() = ces 4} . tang ;( V • — ^î ^ (^)
équation qui donnera v au moyen de s^y et réciprcH quement.
Les valeurs de ces deux angles jp^uvent d'ailleni» se développer «n séries conyergeqttes d'une manièie fort simple , en faisant usage des exponentielles ima^ ginaires. Si l^on désigne par c ie nonibre dont le k)* garithme hyperbolique est l'unité, l'équation préce* dente pourra être mise sous cette forme
ou bien eu réduisant
CÔSf.
ÔÎtfreàe la
■ tk. .
(i oosf).c^-(*'-^)V^--'-f I -»-cos(p
t en remarqà^nt que
n aura
membres eii iÉvîsant jà* 2 A^'ITT ,»«'•:
/-«= 1;— C+ .V'. log' ^1+ tong» -L^.c-»('^- >^^ )
IvLOn réduise les logarithmes du second meiftobre en
s68 THÉORIE ANALYTIQUE
séries , et qu'on substitue aux exponentielles imagi* naires les sinus réels correspondans, on aura enfin la série
V — «=f^— f—tang*— ^.sin 2 (**—€)+ -.tang*- f •sin4(^— '0 — -^-.tang*— ^.8iii6(v— C) + eic,
On déduirait y par un procédé semblable^ de Tëquar tion (z) mise sous cette forme
tang(p— ff) = -^.tang(</~a>, l'expression de p en i/, et l'on trouverait
i^ — C=f' — it+ti(ng^— f .sin aCi/'— •)-^ — .tang*— ^.sinifC*^-^ +-r-. tang^ — f.iîn 6 (*/—«) +etc.
On voit que ces deux séries se transforment récipro* quement lune dans l'autre, en chang^tVftt lé ^goeèe
tang* — ^, et en substituant i^— ff à i/ — a et i/ — a à i^*
Si Ton voulait avoir Fande i^'— « en fouctiou ck sinus et de cosinus deii^;^ on observerait que l'on a., n* 2^t
F étant une fonction des sinus de ranglen^+€**^ et de ses multiples. On aura donc, quel que soiih sîn i.(p — f)=:sini.(/i^4-€— *f-<f-6P), et paf conséquent
«în i (*'— C)=rco8 ieP. sin . i {nt+ 1—^) + »in ieP, cos . i(nt+t^-^ ;
d*où Ton tire en développant
sin i(v— C)
={ 1 5-7+ — ^ o / /t g +etc. ).9m.i(nt+t—C)
En faisant successivement dans cette formule 1=2, i=:4> ^==6, etc. y et substituant les valeurs résultantes dans la série qui donne i^' — a, langle i^' se trouvera exprimé en fonction des sinus de nt et de ses multiples.
Désignons par 6 la latitude de la planète au-dessus du plan fixe y le triangle sphérique que nous avons considéré plus haut donnera
tang fl = tang ^ .sin (/ — «)•
Cette équation peut se développer comme les. précé*dentes ; mais il en résulte une série moins simple que celles qui donnent les angles i^' — et et (^ — S, On trouve par la méthode des exponentielles imaginaires
'^tang f .sîn(v'-^«)4- ^ , • [sin 3 (y — a) — 3 . sin (*''—#*)] + î|ïî^ . [sîn 5 (1/— ) — 5 . sîn 3 (v'— ) + lo.sin (v'— -)]
