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>i74 THÉORIE ANALYTIQUE
thab la seconde dés éqaationô (o) donne
On aura donc , en mettant à la place du petit arc sa tangente ,
vit
Par conséquent^ si Toï forme tine table des log rithmes de la quantité
— .tang-i''/4 — 5.cos*^p'— 6.o6s*^f^'\
on na!ura plus qu'à leur ajbtttei' lé logarkbme de t^ pour avoir celui defanga^• Cela posé^ pouravoirrao malie v correspondante au temps i dans '<ine éHq ifort excentrique^ on cherche!^ , parafe tabfe du Aïoi vement des comètes^ Tanoeiaiie i^ <pii répond i tenips.l dans une para))0le^ dontD est ladialanoefi rihélie^ et Ton déterminera par la «féthofle jnHo dente la correction k faire à l^anomàKe f^''.pdur'aVO r«inpmàlie correspondante v dtf ns f^eUipse.
La première des équatioôas (o) donnera la vife» du rayon vecteur r lorsque ranomalie (^ sera cobb^
DU SYSTÈBfE DU MONDE. 27Ô
On peat encore^ dans le cas de Fellipse fort excentrique, convertir en séries convergentes l'expression da rajon vecteur , du moyen mouvement y et de Tano- Balie vraie^ en fonction de lanomalie excentrique; lOQs ne développerons point ici ces formules qui ont de peu d'usage.
:27. ILexktp entre le tempsemployé à décrire un arc ^paralKde y les rajoiK vecteurs menés aux extrémités \. cet arc , et la corde qui le soutend une relation rieuse qu'il est bon de connaître^ et qui se déduit sèment des formules du mouvement parabolique. I effet, en supposait fi = i dans les équations (d), laura,
rsi= D ./ 1 •+• tang* - p ) ,
t =s V^DT^tangi « + i . tang» i p).
Soient r' et p' ce que deviennent r et p au bout du mps t' i t "^t sera le temps employé par la comète parcourir Tare de parabole intercepté par les deux lyons vecteurs r et r'* Nommons Q l'angle que ces ijQOS comprennent entr^ eux, en sorte qu'op ait
'^vz=zQl sii ^ur^ abr^er'on fait tanjg - p css u , ki^ î p'sasi/, et tfdSg i ê==±^^, ota aura
lif^jtttati^'-(p
1 — fil*
l«s fomwles (o') donnent d'ailleurs ,
t'—t = V^' . [^«' — « + 5 . (a" — a»)1. Ea substituant donc pour »' sa valeur, on aura
^ (i — «wj* L 3 I — su J
Soit maintenant c la corde qui joint les extrémité des denx rayons r et r^^ en considérant le triangle formé par ces trois lignes, et en remarquant qae
cos^=:— r—:, On aura
l-if*/.i,/v.^4-"'
Faisons pour abréger r-+-r'-|-c:=2/? , et r-f-r' — c=2f , d'où l'on tire r+^sis/^+y, (r+r')* — (^zzz^q^ l'équation précédente donnera
ou bien remplaçant r et / par leurs valeurs , é extrayant les racines des deux membres ,
Si dans Téquation p +7:= rH- r', ou remplace à' même r et r' par leurs valeurs, on a
13ar conséquent
où Ton tire
iubstituant cette valeur et celle de , dans la va-
\eur de t' — t, on trouve
Cette formule remarquable a été donnée , pour la première fois y par Euler : nous verrons ^ dans le chapitre suivant , comment on peut l'étendre au mou- Tement dans l'ellipse et dans l'hyperbole.
n nous reste à considérer les formules relatives aux orbites hyperboliques; mais conune cette recherche est de pure curiosité^ et que ses résultats i^e peuvent avoir aucune application dans l'état actuel dn système du monde , nous ne nous y arrêterons fi&, et nous terminerons ce chapitre en montrant comment les lois du mouvement elliptique peuvent conduire à la connaissance approximative de 1^ m^s&e des planètes.
a8. Nous avons vu, n* 22, que si l'on désigne par T h durée de la révolution sidérale d'une planète, dont a est la distance moyenne au Soleil , pn avait
278 THËCmiE ANALYTIQUE
TT étant le rapport de la circonférence au diaiaètre» et /t la somme des masses de la planète et du Soleil. Si l'on néglige les masses des planètes par rapport à celle du Soleil y la quantité ft sera la même poar tons ces corps y et désignera simplement la masse du Soleil. Ainsi donc, pour une autre planète quelconque^ dont a' serait Ja distance moyenne , et T' le temps de la révolution sidérale , on aura encore
par conséquent
d^où il suit que les carrés des temps des réyoIutiœH des deiix planètes sont entré eux comme lés cofies des grands axes de leurs orbites, Cest Ténoncé j^U ' troisième loi de Kepler, On yoît que cette loi vltA pas rigoureusement exacte^ elle n'a lieu qu'autapl qu'on néglige les masses des planètes. yiis-àrVis db celle du Soleil : cependant , comme les obseryaticHK n'y font remarquer que de légères différences, 3 en faut conclure que les masses des planètes sohxé fectivement très, petites ^ relativement à la masse A cet astre.
L'équation (/) fournit un moyen très simple A déterminer le rapport des masses des planètes qui sort accompagnées de satellites li celle du Soleil. Eu effifi supposons que l'on considère le mouvement de h Terre : si l'on néglige sa masse par rapport à la m^ M du Soleil , cette équation donne -
DU SY^'VÈMJË m AIQHDE. 279
Soit /7i' la masse d'un satellite app^artenant à la pla-^ n^e m, ci sa moyenne distance à $a planète ^ et T^ le temps de sa révolution sidérale , on aura par Féqua-r
tioQ(Z),
diyisai;it Tune par l'autre les deux équations précédentes ^ oq en tire
$i rpn fiub^tue 4^w cette équation pour a y d^ T^
Ti l^i^syal^urs dkmnéas poff robservation , on aura le
tiKfiçQf^ da U somniie des masses de la pj^ète et du
midliite, à celle du Soleil ; et si Ton néglige la niasse
4^ satellito par rapport à celle de la planète , 011 si^
Icm spppçiB^ comra le rappoiA de cea mas^s^ on a;^ rav
le rapport de la masse de la planète à celle du Soleil.
Ap^quons cette formule à Jupiter ^ en prenant
pour Bnité la moyenne distance de la Terre au Soleil ;;
' le rayon moyen de l'orbe du quatrième sateHîteQb-^.
flenré à cette distance^ paraîtrait sous un angfe de
j aSSipy^SSy Le raypn du cercle çoptîe^t 2o6:î64"^8;
; les rayons inoyens de Forbe du quatrième satel-
; Ile et de Torbite terrestre sont donc entre eux
: Mune ces deux nombres. La durée de la révolution.
I t^^^le d« qiciatrième sateUite est de 16^^6890^ et
Taillée sidérale ^t de 365^;2i564 : on peut donc sup-
aSo THÉORIE ANALYTIQUE
poser dans réquation (m) ,
T'= 16,6890; et Ton en tire
pour la masse de Jupiter, celle du Soleil étant pri^e pour unité.
On a déterminé de la même manière les masses des autres planètes autour desquelles on observe des satellites. Pour la masse de la Terre, seulement, on a employé un procédé différent , parce que les nom-breuses inégalités de la Lune empêchent celui-ci d'être suffisamment exact. L'attraction que le globe terrestre exerce sur les corps placés à sa surface sur le parallèle , dont le carré du sinus de la latitude est
~, est à très peu près la même que si sa masse était
réunie à son centre de gravité. En nommant donc / le rayon mené du centre de la Terre à un point quelconque de ce parallèle^ et m sa masse, cette attrac-^
tionseraégaleà ^, et eu la désignant par g, on aura
Soit a la distance moyenne de la Terre au Soleil , et T la durée de l'année sidérale^ l'équation (^)
BD SYSTÈME DU MONDE. âSi
onnera
n aura donc
Les quantités g ^ ^f^f sont données par les obserations; la valeur du rayon / est aussi connue; on ourra donc déterminer par cette formule le rapport e la masse m de la Terre à la masse M du Soleil. Pour i réduire en nombre, j'observe que si Ton nomme P i parallaxe du Soleil à la distance moyenne, et ir le parallèle que nous considérons , c'est-à-dire angle sous lequel on verrait à cette distance du
sntre de cet astre le rayon /, on aura sin P = -;
équation précédente devient ainsi
Les observations donnent P = 8",75* Nouç vons nommé g l'attraction de la Terre ; c'est le louble de l'espace que cette force fait» décrire aux orps dans une seconde. Sous le parallèle dont le
înus du carré de latitude est ^ , la pesanteur fait
omber les corps dans la première seconde fsexa- [ésimale ) de leur chute de 4'*> 89796 ; la force cenfifuge due au mouvement de rotation de la Terre
lïiiinue l'action de la pesanteur de -gg à l'équateur.
!^ THÉORIE ANALYTiQUB
et d'une quantité moindre en tout autre lieu. Sur ce même parallèle , Fattraetion âe4a Teere-est jkasr^ tite que la pesanteur des deux tiers de la force centrifuge; il faut donc augmenter Tespace précédent de sa 432"*® partie, pour avoir l'espace dû à Faction de la Terre : cet espace est ainsi de 4"99^^* Le rayon terrestre, sur le parallèle dopt il s'agit, est de 636980g mètres ; enfin Tannée sidérée est de 5 1 558 1 5a'' ; on aura donc
/ =3 656980^, g^=9-,8i86, T= 5i558i5^;^ «•= 5,14^59:^65^ log.sinP = 5,6274956.
Ces valeurs substituées dans la fbinnule (h) don-* nent
pour la masse de la Terre , ceUe du Soleil étant prise pour unité. Cette valeur varie comme le cube delà parallaxe solaire comparée à celle que nous avons adoptée.
DU SïSttvm DU MONDE. s83
