CHAPITRE V
Détermination des Constantes arbitraux qui entrent dans lesjormules du mouvement elliptique.
2g. Les six constantes que l'intégration introduit dans les formules du mouvement elliptique se nomment les élémens de Vorbite. Ce sont .elles qui fixent sa nature, s^ position dims l'espace , et l'instiint du pasrsage par le périhélie. Naas allons nous proposer dons ce chapitre de déterminer ces élémens d'api^ès.qi^elq^es circonstances du mouvement Sjupposées connues.
Le. cas )e plus simple est celui pù^ U position de la planète m^^ sa vitesse , et. 1^ direction de çettte vitesse sont doniiées pour un instant quelconque , pour Vépoque y par exemple, d'où l'on compte le temps ty et que nous supposerons être l'origine du mouvement. Soient x , t, z les coordonnées de m ponr cet instant, rapportées à tioî^ axes passant par le centre
de M supposé immobile j ^,, ^, ^seront les vitesses dont m est an^mé paraUçlement aux menées axes, et ces quantité^ pourront être regardées conupe connues, puisque la vites^ initiale de nk est donnée pajç hypothèse en intensité et en direction. Il nç s'agit donc plus que d'exprimer en fonction de X; y, z,
dï* di ^ dt ^^^ elemens «, e, a, ç, /et «.
Si Ton fait pour abréger 57 =x'i 57 ^^^f -j: =2i',les
équations {b) et (c) du n** 20 donneront d'abord les trois suivantes
xy' — x'y=£?, x'z — xz'=c', Yz' — y'z=c".
D'ailleurs^ en supposant c*-4-^'*+^**=i*> oa a, même n^ ,
c=A;.cos^9c'= — A:.sin^.cosa^£/'=A:.sin^,siaa.
Ces trois équations feront connaître immédiatement l'inclinaison ^ du plan de l'orbite et la longitude a de son nœud sur le plan fixe passant par le centre de M; on aura ensuite pour détenniner le demi-paramètre k
l'équation A: = V^-+.c'»+c^»=: \/jt7.a.(i— c*), d'où l'on tirera la valeur de l'excentricité e lorsque celle du grand axe aa sera déterminée. Pour cela, l'équation (e) du n"* :20 donne
On aura donc ainsi le demi-grand axe de Torbite, et il ne restera plus à connaître c[ue les deux cons*tantes leicû.
La première n'a été introduite dans les formules du mouvement elliptique que par l'intégration qui^ donné la valeur de r en ^; si l'on suppose donc ^=^0 dans ces formules y et qu'on désigne par u^ la valeur de l'anomalie excentrique qui répond au temps i^ =3 0; on aura
/=:||^— .6. sin^^^y R = é».(l— ^.coswj). t*)
Oq aara donc, en éliminant u^, la valeur de Zenn, puisque les valeurs de a et de e sont déjà déterminées parce qui précède.
La constante cô n'est introduite dans les formules que par l'intégration de l'équation entre ret s^. Si l'on compte l'angle (^ à partir de l'intersection du plan de l'orbite avec le plan fixe ou de la ligne des nœuds, ou on nomme u^ et i^^ les valeurs de f' et i/ relatives a 1 époque f=o, l'équation (z) dun"* 25 en désignant par CL la longitude de la ligne des nœuds , et faisant f== ordonnera
On a d'ailleurs , par rapport au plan fixe ,
On aura donc l'angle u^ qui se rapporte à l'origine du temps t en fonction de x , de y et des constantes et et ^, ^^à déterminées; l'équation aux section^ coniques donnera ensuite
cos (f^,— «) = ^J — . (c)
lia constante eu sera déterminée par cette équation ^ fonction de quantités connues , et l'on aura par cootséquent la position du périhélie sur l'orbite.. Les ^i élémens a, e, ol, (p, l,a> délai section conique que décrit m autour du foyer d'attraction seront donc entièrement connus.r
i86 THÉORIE ANALYTIQUE
L'expression précédente de a et celle de ic sont sns-
devîenl
a B fé' .
La valeur du grand axe de Forbîte , et par conséquent . le temps périodicjue ^ ne dépendent donc, que de la distance primitive de m au foyer d'attraction et de la vitesse de projection. L axe 2a est positif dans Tellipse; il est infini dans la parabole , et négatif dans ^hype^ bole. L'orbite décrite par m dans son mouvement autour de M sera donc une ellipse y une parabole on
une hyperbole, selon que Ton aura v< u f
V = y— 9 V > l/— j et il est à remarquer que la
direction de la vitesse initiale n'influe pas slit Vesfkcs | de la section conique
En substituant pour c, c\ c' leurs valeurs dans 1'^ quation ^* = c* -}" ^'* "4" ^% ^^ ^
-1^ est la vitesse dont le oortt m est anime dmis k
dt
sens du ï^yôn veirtéùr; si l'on désigtie donc (UiH Tànglë qtte'Bût la direction de la vitêSte itiltîaie'Tavec
le rayon r, on aura ^ = v • cos n ^ en su|)$tîtiiiit pour h sa valeur \J\i.a. (i — c*) danis réquâfienifre'
cédeifte, elle devient aia^
a .(il — c')= • • >
On voit donc que le demi-paramètre a.(i— a*) de Torbite ne dépend que -de ladist^oice ^nîmitive de m à M et de la partie y • sin » de la vitesse v perpendi-' cdbîre au myon vMbtvir, ^ quii tëhd à fsaré totirntr le^eorps m autoi^r de M. Si »iis=:^%'€fu si la vité^ initiale est pei^pètidiiieiilaili^e au rayoii vëcïetir'li -, Foi^ Ute décrite est un cercle ; en effet, en substituant ptittr v^ valeur, Féquation précédente donnera dans ce
So. L'équation (e) du n"" ao qui nous a servi à déter- Mâér le grand axe âé là secéoh conique , est très remarquable en ce qu'elle donne la vitesse dont le corps fn est animé dans sofHraouveinéftt Telattf autour deMy indépendamment de la forme de l'orbite elliptiqw ^^ âiéûtit. !Eti éiïét , ii i'dfil n'ommé V éàtte
Vitesse, on a généralement V*== ■ ^ , et
{Kur conséquent
Boù l'on voit que la vitesse V ne dépend que du grand axe la, et nuUement de Texcentricité de l'orbe n s'ens<iit d'abord, comme ffôÀs l'avons dit ^^22, que le temps périodique en est pareillement ^^[lëédÀntVmaîs'cé*^^ n'e^lui^toémé ^Vne '^Siiaié^jtkëi^ fiaHichilîèi^è d'tihe i^Tàtibâ géùà*âfë i(iîi Msfe ékrtre les deux rayons vedteùih^ menëfi àùx ex«»
*i88 THÉORIE ANALYTIQUE J
trëmités d'un arc elliptique , la corde ^ui soaliend cet arc y et le temps employé à le parcourir. Four développer cette propriété du mouvement elliptique, reprenons les formules de ce mouvement , savoir:
t = a . (».— '^.iin uj, r =s.a.(i — #.C06 u) , rss ---r '-'
i + e.cosv
Soient tf le temp&qui répond .à uae autre position quelconque de la planète m^etr^, u'^ s/ ce que deviennent r^ iii (^relativement à cette nouvelle position y on aura
*=a*.(M — e.$mu)f r = a.(i— tf.cosi*), i^= — ^ i-..
1 +^.COSf
Si Ton retranche Texpression de t de celle de ^^ on
aura
«'-;Tf='a*b(w'— a— e.sîn u'^ e.sin «).
C'est le temps que la planète emploie à décrîi^ Taitr elliptique compris entre les dçux rayons r et /. Si Ton fait pour abréger t' — t^^ènz 26, u'^^ u=2S, u''-^u=^ 2s', et qu'on observe que
sin u — sm uz=z 2 . sm — — . cos — - — =£:2 • sin s. cosS)
on aura
fl=a'.(5— e.sin^.cos/)* (dj
Nommons c la corde qui joint les extrémités des dent rayons rett^, (''— i^ sera l'angle qu'ils comprennent entre eux ^ et en considérant le triangle formé par
trois droites y on aura
c*=r* + /* — 2r/. cos (y' — if);
lation qu'on peut écrire ainsi
-r)' — c'=2rr'.[i-j-cos(p' — i^)]=4^r'.co8* • (e)
)stituons dans cette équation ^ à la place des angles t {!>% leurs valeurs en u et i/. Si l'on compare entre !S les deux valeurs de r, on trouve aisément
sinus=z — , cos p = ;
aurait de même
, a.i/j — e^.&inu , a.cosu — ae
lilleurs '
=fl*.(i— e.cosw).(i — ^.cosm')
=a'.[i— e.(cosw+cosw')+^*-costt.cosw'].
lobservant que cos(i^' — i;)=:cos f'cos i^'-f-sin p sinp', 1 aura donc
rr . [i + cos (v' — v)] =a*. [l 4-C08(l*'— m) — 2«.(cosw+cosi*')+***(i +cos.(u'-J-i^)] ,
u bien
