COS2+COS

Reprenons maintenant l'équation {d) qui exprime i le temps employé par la planète à parcourir l'arc el- j

DU SYSTÈME DU MONDE. ^gi

)tique soutendu par la corde c. Si Ton élimine :os s' au moyen de l'équation (g) , on trouve ^

uation qui ne contient déjà plus^ comme on voit, icentricité e. Si Ton y substitue pour s et tang s

irs valeurs, en observant que ^~P'^ «« cosz+cosjs', aura

t — t:=ia*.(z' — z — sinz'+siaz); (h)

pression très simple où le temps est exprimé en action de la corde de Tare parcouru, et des deux yons vecteurs menés à ses extrémités. C'est le beau iéorème cpi'Euler avait trouvé le premier pour la irabole , et que Lambert est ensuite parvenu, par des ^nsidérations géométriques , à étendre à l'ellipse et l'hyperbole.

Si l'on développe l'arc z' en série par rapport à son lus, on aura

3'.sin*2 . 3*.5.sin*z

ï*ie d'autant plus convergente que le grand axe 2 a •^^plus considérable. Si ce grand axe devenait infini , Uipse se changerait en parabole; on aurait simple- ^^t alors, en remettant pour sin z' sa valeur.

tous les autres termes de la série s'annulant par la

supposition de â = -. On aurait de même

et par conséquent

c est Texpression du temps employé à décrire lam de parabole que soutend la corde c. Nous étions dqi parvenus a cette expression n* 27 ; elle est d'un gra usage dans la théorie des comètes.

Le grand axe 2a est négatif dans Thyperbole; valeurs de cosz et cosz' deviennent alors plus grandeique Tunité , et par conséquent les arcs z et z^ auxqni ces cosinus se rapportent sont imaginaires. Si l'i nomme c le nombre dont le logarithme hyperboli

est l'unité, on a c^' V^— ' = cosz + \/ — i .sinz, d' l'on tire

z = — .= .log.(cosz + v/ — i.sînz);

on a de même

2'= — = . log . ( cos z'+ \/^^ . sin z'j.

La formulé (h), en y changeant a en ^^a, d( donc pour l'hyperbole

^r ^__^ i| K — I • sin zzç: y — i • sin z