COS2 , !- = COS
Cette expression doit être identique avec l'équation (h) ; ce qui donne
g — f' 2g — (r+r+c) a — p aa — (r+r — c)
!ia ^ a 2a ^
et par conséquent
d'où il suit que le temps que la planète emploie à parcourir Tare soutendu par la corde c est précisément le même que le corps mettrait à décrire le long du grand axe le miême espace c en partant de la distance p'. Si l'on suppose p^=^o, p'=i2a, on aura
t'— ^ = a^ . ^, en nommant tt la tiemi-circonférence, dont le rayon est i ; c'est le temps que le mobile emploie à parcourir le grand axe 2a , et il est égal à la durée d'une demi-révolution de la planète m, ce qui est conforme au théorème précédent.
On voit donc qu'il suffit de la moindre force tengentielle à l'aphélie pour changer le mouvement rec< tiligne d'un corps attiré vers un centre fixe, en an mouvement de révolution autour de ce centre ; mais le temps que le corps met à descendre vers le foyer reste le même dans les deux cas.
Il existe toutefois, comme l'a remarqué Laplace^ une différence essentielle entre ces deux mouvemens; dans le dernier , la planète m , après avoir atteint l'extrémité du grand axe , revient au point dont elle était partie. Dans le mouvement rectiligne, au contraire , le corps parvenu au foyer d'attraction , passe au-delà , et s'en écarte en vertu de sa vitesse acquise d'une distance égale à la hauteur dont il était des- [ cendu , en sorte que ce n'est qu'après deux révolulions de la planète qu'il se retrouve avec elle au point de départ.
3 1 . Supposons maintenant que l'on, connaisse deux
DU SYSTÈME DU MONDE. agS
Jieux de la planète dans son orbite , et le temps employé à parcourir l'espace qu'ils comprennent; on peut encore ^ dans ce cas^ en conclure tous les élémens de 'orbite. En effet , désignons par X , Y les coordonlées rectangulaires de m, rapportées au plan et au ^nd axe de son orbite ^ on aura
X = r.cos u, Y = r.sin t» ;
on a d'ailleurs
r=: -T^ ^=a.( I— .e.costt):
d'où Ton tire , n* 20 ,
Xacsa.cosii— ^^y Y = d.v/ï — e*.sinu;
équations dans lesquelles on peut substituer pour u sa râleur déterminée par Féquation (4)^ du mêm#n*.
Soient x, jr, z, les trois coordonnées de m par rapport à un plan fixe quelconque , passant par le centre de M ^ 0^ l'angle que forme le grand axe de l'orbite avec son^ intersection sur le plan fixe^ a la longitude ie cette intersection comptée de l'axe des x, etç l'indinaison mutuelle de ces deux plans ; soiept enfin X' st Y^ les coordonnées de m rapportées à la commune intersection du plan de l'orbite et du plan fixe; on aura
X's=3r.cos(f' — û>), Y'=r.sin(p — œ),
d'où l'on tire, en substituant pour r.cosi^ et r.sini' leurs valeurs,
XWX.cosa-f-Y.sin», Y=— X.sioa-j-Y.cos».
Cela posë^ on trouvera par les règles ordinaires d^ la transformation des coordonnées, en mettant pou^ X' et Y' les valeurs précédentes,
,Tf = (X. cos«+Y . sin«) • cos«4-(X. $io« — ^Y. coso») .cos^ «sin^^ j^:= (X . cos tf+Y . sin«) . sin •— (X . sin« — Y . cos a) . cos^ . cos^ «= — (X.sina» — Y.cos«).$in^.
Le second lieu de la planète fournira trois équations semblables, et en nommant oc%y, z' les coordonnées de m relatives'^à ce nouveau point, on aura six équations entre les six quantités connues x^j y z^ol^ y y js' et les six constantes a^ e, (p, a, /, û), et par l conséquent , tout ce qui est nécessaire pour déterminer ces arbitraires. Mais comme Tanomalie excentrique u est donnée en^ fonction du temps , que nous îbpposons connu , par une équation transcendante, le problème ne peut pas se résoudre dans ce cas algébriquement , à moins cependant que Ton ne suppose très petit l'intervalle de temps écoulé entre ; les passages^de la planète par les deux points donnés. Dans ce cas, les coordonnées j::',^'',^' peuvent se re'- ^ duire en suites convergentes ordonnées par rapport au temps ^; et comme nous aurons occasion d'en faire ■\ ;usdge dans la théorie des comètes , nous allons déve* lopper ici ces séries.
32. Si l'on regarde les variables or, j^, z qui déter- • minent^à chaque instantjla position de la planète ou de la comète m^ comme des fonctions du temps t, et qu'on nomme x , y , z les valeurs de ces variables relatives à l'époque oii^=o, et Xyjfy z leurs valeurs
^klives à une autre époque quelconque, on aura :o général
,dz ,,à'z «• j^rf-^z i^ ,
5 coeihcieas ainerentiels ^, --r^, -r, etc.,aesilaut ici ce que deviennent les différences -r-f -.-,
, etc. , lorsqu'on y fait ^ = o.
Les équations différentielles du mouvement ellip- ]ue donnent , en faisant /zz=zi,
d^ '?^ IF r^' d^ 7^*
î ron différencie successivement la première de ces ]uations, et que pour abréger on fasse
rdr ^^ xdx + ydy + zdz
^ Ht ^ "di
>n aura
flPy 3i 1 dx
d^~T^'^^~7'''di
c^__/3 ds 3.5.g^ , i\ , 2.3.S dx^
etc.
et pour avoir de même les différences successives de^ et de j3^ il suffira de changer simplement x enjr ^ en z dans les expressions précédentes.
Si l'on suppose t:=z o dans ces équations^ ^pj'f ^p O ^
dx dy dz , • ^ rfx Ar dz ^^,
dl' Tt' 5^ se changent en X, Y, z,K, 8,^, ^, ^. S/
Ton effectue ensuite les substitutions dans les équations (g)f et que pour abréger on fasse
et
ds! / d^' , dz' dt ^' dt ^' dt '
