i\ ti L

TT ï *' . 2.3.8 «* , ^

on trouve

^=XV+X'U, jr=YV+Y'U, Z=ZV+Z'U. (0

Ces expressions donneront les valeurs des coordonnées X, j', z relatives à un instant quelconque en fonction des coordonnées x , y, z , qui se rapportent à l'époque où l'on compte i s= o , des différences premières et secondes de ces quantités et du temps écoulé depuis cette époque.

35. Si l'on suppose donc, comme dans le n® 3i, que l'on connaisse deux lieux de la planète m dans son orbite, en substituant dans lés équations' précédentes , pour x , y , z , leurs valeurs relatives au premier point donné de l'orbite, et pour x,jr,zettf leurs valeurs relatives au second, en ne portant l'approximation que jusqu'aux troisièmes puissances du

ips , on aura trois équations qui donneront les eurs des trois quantités x', y'^ z', et l'on détermi- ^ celles des six constantes ^^ e, ç, a, l, coy comme is l'avons fait n* 29.

1 est bon de remarquer que les deux quantités s ' déterminent immédiatement deux des principaux nens de Torbite , le grand axe et l'excentricité. En t, les équations {é) et (rf), n** ao, en remplaçant

t k par leurs valeurs et -^ par s^ donnent i, en différenciant et divisant par rJr, on tire

lans ces équations on substitue à la place de r, s et !urs valeurs relatives à l'époque oiiiC=o, elles donont

i=:i— s', a.(i— eO==:aR— î^ — 8\(m)

aura donc ainsi les valeurs de a et de e. On voit plus que les quantités que nous avons désignées ' s et s', et qui entrent dans les valeurs de V et U, dépendent que de la figure de l'orbite et sont inpendantes de sa position. Dans la parabole , le grand 8 na est infini^ et le demi-paramètre a.(i — e*) est ublede la distance périhélie; en nommant donc D tte distance , les équations précédentes donneront ms ce cas /

ft ' 2

3oo THÉORIE ANALYTIQUE

54. Eafîn la figure de l'orbite peut encore élr^ déterminée par les formules du numéro préc^, dent^ dans le cas oii Ton connaît seulement 1^^ trois rayons vecteurs r, r', /', et les temps t et t' er^. ployés par le naobile à parcourir les intervalles cjui les séparent. En effet, si l'on ajoute entre elles les trois équations (/) après les avoir élevées au carr^', qu'on observe que x*^ +J^* -[- z* = /•*, on aura

r*=(x*+Y*+z»). V-f-2.(xx'+YY'+zz') •VU + (x»+V* + z'»).U*.

On a d'ailleurs, n*** 32 et 33 , ,

X*+Y*+Z' = R*, Xx' + Yy'-|-Zz' = S,

On aura donc

r*=R*.V+2s.VU+ ( i+ s').U-

Cette équation donnera la valeur de r relative à un temps t quelconque lorsque les quantités r, sets', ^ relatives à l'époque , seront déterminées. !

Supposons que l'on fixe l'origine du temps , qu'on ; peut prendre à volonté à l'instant où le rayon vecteur de m est égal à r; qu'on nomme t et ^'les intervalles de temps qui séparent les passages de la planète les trois points dont les rayons vecteurs sont don on aura ,

DU*SYSTÈME DU MONDE. 3oi

V'el U' désignant ce que deviennent V et U lorsqu'on y change / en /'.

On aura donc deux équations entre les inconnues s et /, au moyen desquelles on pourra déterminer leurs valeurs. Elles donneront immédiatement le grand axe, et Texcentricité par les formules (//i); on aura ensuite l'angle compris entre le rayon r et le périhélie parla formule (c), n* 29.

35. Cest en comparant les positions des planètes observées à différentes époques, qu'on a déterminé les élémens de leurs orbites ; et comme ces corps ne sont jamais à d'assez grandes distances de la Terre pour échapper aux instrumens astronomiques , on a pu répéter ces observations autant qu'on l'a jugé convenable, et par des corrections successives, ouest parvenu à fixer ces élémens avec toute la précision désirable. La petitesse des excentricités et des inclinaisons mutuelles des orbites planétaires a beaucoup contribué aussi à faciliter ces recherches; mais il n'en est pas ainsi par rapport aux comètes : non -seulement leurs excentricités et les inclinaisons de leurs orbifes varient à l'infini , mais encore, comme ces orbites sont en général très allongées, elles ne sont visibles pour nous que lorsqu'elles reviennent dans la partie la plus voisine du Soleil ou vers leurs périhélies; leur âoi- ||niement les dérobe ensuite à nos regards , et souvent Biles disparaissent pour toujours. C'est donc un problème d analyse fort intéressant que celui qui a pour objet de déterminer les élémens de l'orbite d'une comète d'après un certain nombre d'observations faites pendant la durée de son apparition, puisque c'est la

3o2 THÉORIE ANALYTIQUE

seule donnée que nous ayons pour reconnaître ces astres lorsque la suite des temps les ramène vers le Soleil. Les plus grands géomètres , depuis Newton, se sont exercés sur cette question , et nous avons aujouFd'hui différentes méthodes pour la résoudre ; nous ne nous arrêterons pas ici à exposer aucune de ces méthodes ^ ce qui nous entraînerait dans une trop4ongae digression; nous reviendrons sur cet objet lorsque nous aurons achevé la théorie des planètes ^ et noos consacrerons un livre à part à la détermination des élémens de l'orbite des comètes et à la théorie de leurs perturbations.

DU SYSTÈME DU MONDE. 3o3.

CHAPITÏIE VI.

Variations des Constantes arbitraires qui entrent 'i dans les formules du mouvement elliptique ^ ou il Théorie des Perturbations planétaires.

56, Nous sommes parvenus , dans le chapitre FV, a égrer complètement les équations différentielles des mvemens des centres de gravité des qprps célestes itour du Soleil , lorsqu'on n'a égard qu'à l'attraction Ife cet astre, et qu'on fait abstraction de leurs actions Mutuelles. Nous avons vu que, dans ce cas, les orbites ïu'ils décrivent sont des sections coniques dont le "Oleil occupe un foyer et dont les élémens sont les Constantes arbitraires introduites par les intégrations, ihins le chapitre suivant , nous avons montré que la létermination de ces élémens ne dépend que de la ►itesse dont le corps que Ton considère est animé dans •b point donné de l'orbite, ou, ce qui revient au ^me, des forces qui le sollicitant à une époque déminée • Or, la force qui fait décrire aux corps cé- ^s des sections coniques autour du Soleil est la sance attractive de cet astre combinée avec une ipulsion que ces corps peuvent être supposés avoir ïmie à l'origine du mouvement , dont on peut fixer |Pépoque à un instant quelconque. Il suit de là que si , ia force attractive restant la même, la force d'impul-

SB

3o4 THÉORIE ANALYTIQUE

sîon éprouve un changement quelconque , la naloR de Torbite ne variera pas, mais ses élémens en serort plus ou moins altérés; de sorte que lorbe elliptiqne d'une planète^ par exemple ^ pourra deyenir parabo* lîque ou hyperbolique y et la planète se trouvera ainâ transformée en comète. Imaginons maintenant qn'aalij lieu d éprouver une variation finie quinagitquepeiH|c£ dant un instant , l'impulsion primitive soit soumise j des variations infiniment petites^ mais dont T soit continue , comme on peut supposer que ceU lieu à l'égard des corps célestes en vertu de actions mutuelles; l'orbite pourra encore, chaque intervalle de temps dt, être regardée coi une section conique dont les élémens sont co pendant cet instant , et varient seulement dans rins* tant suivant. Les variations de ces élémens serviront à déterminer l'efTet des forces perturbatrices.

Les obsei'vations avaient fait voir, en efiêt, depuis long-temps que les élémens des orbites planétaires n( sont pas constans, et que ces orbites doivent être gardées comme des ellipses dont les dimensionstt position dans l'espace varient par degrés insensiUâ) de sorte que l'ingénieux artifice de calcul que nW avons développé dans le chapitre III, et qui consiste* faire varier des quantités regardées d'abord comme constantes^ pour étendre la solution d'une questlooi particulière à celle d'une question plus générale, semble, dans la théorie des perturbations planétaire^ avoir été indiqué aux géomètres comme le résulW des observations, dont il n'est , pour ainsi dire , q« b* simple traduction.

DU SYSTÈME DU MONDE. 3o5

ÎKprîmons par des formules analytiques les consiations précédentes.

7. Si l'on désigne par m la masse de la planète dont [Tonsidère le mouyement relatif autour du Soleil^ M celle de cet astre ^ et par m\ rrl'f /ti"', etc. , celles planètes perturbatrices; que l'on nonxmex^j'y z coordonnées de m rapportées à trois axes rectaniires passant par le centre de M ; x'^y^xf^ les coornées de m' relatives aux mêmes axes, et ainsi de ej si de plus on fait pour abréger M+ztiss/a, {-y + 2*=r*,x'*+y*4-z'* = r'*, etc. , et qu'on pose

aura, n**8, pour déterminer les mouyemensde LUtour de M, les trois équations différentielles antes :

i dans ces équations on fait R == o , elles devient celles du mouyement elliptique que nous ayons igrées dans le chapitre IV. Supposons à l'une quel-

ToMB I. :io

3o6 THÉORIE ANALYTIQUE

conque des intégrales premières aux(]uelles noos sommes parvenus^ cette forme

a = Fonct. {pc^jr^z^x,, jr,^ z^,t), (a)

en désignant par a une des arbitraires introdoites pur l'intégration, c'est-à-dire l'un quelconque des â&mens de l'orbite elliptique , et en faisant pour ahtégst \

^^ dx dy ^^ dx

Si Ton yeut que pendant l'instant dt l'elUpse dé« crite dans le cas ou R est nul , et l'orbite troublée cabKf ' cident, il faudra supposer aux variables a:^^,z, el| à leurs diflférentielles premières x^y^^ z^y les mémtfi valeurs sur les deux courbes , et par conséquent l'eipression de a ne changera pas, soit que Ton considère le mouvement elliptique ou le mouvement troublé . Mais dans ce dernier cas , les vitesses x^,jr^f i^ au bout de l'instant dt^ sont augmentées respective- j ment par l'effet des forces perturbatrices des trois qmih i

tités infiniment petites -j- .dt^ -j- •dû, -^.dt; on va

peut plus alors regarder l'élément a comme constanti et en ajoutant aux vitesses x^, jr^, z^, dans l'expression de cet élément ',' leurs variations , on aura pour déterminer la variation correspondante da,

j /da dR , da dK , da dR\ -, , ,.

Si Ton considère l'équation (a) comme une intégrât première des équations (A) dans le cas où Ton a R==:o^

il est évident qu'elle satisfera encore aux mêmes équations, dans le cas où leur second membre n'est pas nul. En effet, les valeurs des coordonnées x^ y^ z, et de leurs différentielles x^dtyyjit^ ^,à^y sont par notre hypothèse supposées les mêmes dans les deux cas, et ces quantités ne diffèrent que par leurs différentielles secondes; de sorte que si l'on désigne par {x^j {jr), (z,) les valeurs àe a:^, jr^, z^, dans le cas où R est égal à zéro, on auraar^=s(ar^),y^s=:(^^), z^s=s(z^), et en différenciant

Cela posé , différencions l'équation (a) , et désignons par fonct. {x^y^Zy x^^y^^ z, /) la différentielle du second membre dans le cas où Rsso; on aura

o==fonct.(j:,7,a;, ^i^ Jir '^,> t).

Cette même équation, en y faisant varier à la fois les constantes et les variables, pour l'appliquer au cas où R n'est pas nul, donnera

OU bien , en retranchant la prapttère différentielle de la seconde

Or, si l'on substitue à la place de •^, -^j^, ~, dans

3o8 THÉORIE ANALYTIQUE

les équations (A), leurs valeurs (dxjy\^i {dz^)+J'z,, on a

dK

dK

dK

j^,=g,rf^ jy.=i^.^, ^z,='£.dt,

puisque les quantités {dx)^ (^/)> (^2/)> sont m effet supposées satisfaire à ces équations dans le cas oè R est nul. Si Ton remplace donc Sx^^ Sjr^ , cTz^, par leurs valeurs clans l'équation {b) , et qu'on substitut pour da la valeur que nous lui avons supposée dans l'équation (a') , on voit qu'on aura une équation identique^ et que par conséquent l'intégrale (a) satis&it également aux équations différentielles (A) ^ soit qoej l'on néglige ^ soit que l'on considère l'action des forces perturbatrices : la seule différence, c'est que dans le premier cas l'arbitraire a est constante , et que dans le second elle doit être regardée comme variable. 0 en serait de même de toute autre intégrale première des équations (A), abstraction faite de leur second membre ^ quel que soit le nombre des constantes ar« bitraires qu'elle renferme.

38. Reprenons la valeur de la variation différentielle de fl,

da

/da ^jtda ^ i^^ Ç^^N ^^

\dx/ dx'^ dy^' dy'^ dt/ dz)*

On peut donner à cette expression une autre forme^ qui a Tavantage de conduire à des expressions très simples 9 pour les variations des élémens elliptiques. Il suffit pour cela de substituer aux différentielles de la fonction R relatives aux variables Xp jr^ z^ leurs

DU SYSTÈME DU MOIfDE. Sog

iffërentielles partielles prises par rapport aux consintes introduites dans R par la substitution des va- Burs de oc^y ^ z en fonction du temps et des e'iemens le l'orbite elliptique. Si Ton désigne par a^ i, c, y, fy h ces six constantes arbitraires^ en suivant la narche que nous avons indiquée dans le n^ i6^ on trouvera

Kpression dans laquelle on £ait pour abréger

^ •% dn dh da db ^^ da db . da db \

^ ' ^^^^dx^'dx dx' dx^'^ djr^ ' dy"^ dy' dy/' '

da db da db

dz^ dz dz dz^

Et Ton suppose aux quantités représentées par !,€?), {(iff)^ etc., des valeurs analogues fournies ar la même équation, dans, laquelle on substituera mplement les lettres c ^ f^g^ h^ à la place de b.

Cette expression de da est surtout remarquable en e que les coefficiens (a^b), (a, e), etc., qui multiilient les différentielles partielles de R , sont des foncions des constantes a, b, c^f^ g y A, qui ne •enferment pas le temps implicitement. Cette proposition^ que nous avons démontrée généralement ï* 17, peut se vérifier ici d'une manière fort (iDple. Il suffit pour cela de faire varier le temps dans les expressions de {(^yb)^ {ayc)^ etc.

3io THÉORIE ANALYTIQUE

En effet, différencions l'expression précédente de (a, b), nous aurons

j r t\ da j db db j da db j da da j db

da m db db , da db , da da , db I

d^/ 'dy~dP/ 'Ç/ rfy* '^~^' '^.

da ^ db ^^ J da db , da da , db

dz^' ' dz dz* ' dz dz* ' dz^ dz* 'dk/

da dâ

Formons les valeurs des différentielles ^«^-^ ^'ds>

c/. -T- , ^•'JZf ^'T 9 ^*^* 9 V^ entrent dans le second

membre de cette équation.

Si l'on différencie par rapport à la variable x, l'équation

a=:Fonct. (x, jr^ z, x^y jr^, z^, t), [a]

et qu'on la différencie ensuite une seconde fois par rapport à £ , en faisant varier tout ce qui varie avec

le temps £, qu'on substitue pour -riy -^y 57' ^^^'^^ leurs x^y j^y Zjy et qu'on observe que si, pour abréger, on fait -=:V, les équations du mouvement elliptique donnent

dt'^dx' li^dy' dt~ dz' ^^

on aura

da / rf^g , d'à , d'à , <f 'a

^'di~\d^t^ d?'""^ + d^-y^^dxdz' '-

d^a dV , d^a dV , d*a dV\

•^ dxdx^ * dx dxdy^ ' dy dxdz^ d%J

.iu

DU SYSTÈME DU MONDE, 3ii

lais en difTérenciant simplement par rapport au emps t l'équation (a) , on a

da y , da j da , , da ,

e premier membre de cette équation doit devenir le fonction de ^, ^fj"} 2, ^^f J,, z^f îdentiqueent nulle ^ lorsqu'on y substitue pour dx^ , dy^^ dz^ ors valeurs tirées des équations {à), puisque l'équa- 3n {a) est une des intégrales premières de ces équa- 3ns. Cette substitution donne

da ^. da ^^ da ^^ da

da dV da dy da £V I W ^^ dx^ * dx ^^ dy^ ' dy dz^ ' dz """

ette équation étant identique par rapport h tj x, , s , x\ y, z', subsistera encore en faisant varier séarément ces quantités; je la différencie par rapport or, et je trouve

drdt'^d?'^»'^l^'^*'^d^z'^^

d'à dV d'à dV^.^a dV dxdx^ ' dx ' dxdy, * dy ^^ dxdz^ " dz

da d^^,da d'Y da £y

dx, ' dx* dy, ' dxdy ^^ dz, * dxdz *"*

da

a valeur de la différentielle de ^ se réduira^ en vertu e cette équation , à

^da (da d^Y , da d^Y . da d^Y \ .

^Tx'==^^W/'dF+'é^/'3S3:y

On trouvera de la ntéme manière

jda /da d^ da d'Y da rf*V\ , ^•dy~ \dx/ dxdy^ dy/ly-'^ dz/d^/^^'

, ^ /da ^ . ^ *X.-L.^ c^V\ ,

*€& \dx/ dxds^^dy/ dydz^'Ssî'' dz*J^

Si l'on différencie la valeur de a, d'abord par rap-* port k x^, et ensuite par rapport nu temps t y on aura

, cPa rfV , d'à dV , J»a €ÎV\

mais si l'on différencie, par rapport à jc^, l'équation identique ^), en remarquait que Y ne con-' tient pas les variables x^^ y^^ ;3^, on a

rf*a , da ^^ d*a ^^ d^a ^^ d'o^

di^ù'^ di^d^/^^'^^S^/'^'^d^/^'

d'à dV , d'à dV d'à dV

^^ Af^* ' dx dxdy^ * dy ^^ * dxjdz^ * c/a ""

On aura donc simplement, en vertu de cette équation,

j da da j

a . , - =5= — -p . ofc*

dx, dx

On trouverait de même

j da ^^ ^M j ^ ^ Js

a.-r' =s — "j"»^^» a»-T- sii ^^ -y. M.

dy^ dy ' dz^ dz

Et en supposant la constante h donnée par une équation semblable à celle qui détermine a^ on aura -

DU SYSTÈME DU MOIfDE. ' 3i3

pour les différentielles à^-jzf ^*'T ^ ^* l" ' ^*d^ >

d.jj-f ^•J'9 ^^^ expressions semblables aux pré-

cédenteSy eh y changeant seulement a en b.

Si l'on subs'dtue ces valeurs dans l'expression de d.(a, b), on verra que les termes qui contiennent

1 3'iv>" a* 11 j da db da dh da db

les dinerentielles de j-, -r-, %— ^ ,-, t-j -j--* se

dx/ dx/ dy/ dy / dz/ dz/

détruisent mutuellement, et qu'en ordonnant par rapport aux différences partielles de V les termes

qui contiennent les différentielles de ^, ^, ^, etc.,

les coefHciens de chacune de ces différences §e réduisent d^eux-mêmes à zéro.

D'où il suit que la quantité représentée par (a, b), et par conséquent les autres quantités semblables (a, c), (i, c) j etc., ne renfermeront pas le temps t et ne pourront être que de simples fonctions des constantes a, b, c, etc., lorsqu'on aura substitué, à la place de x,jr, z,x^,jr^, z^, leurs valeurs elliptiques' en fonction de ces constantes et du temps t.

Ainsi , la variation différentielle da de lun quelconque des élémens de l'orbite de m se trouve exprimée par une formule qui ne renferme que les différences partielles de R , prises par rapport aux cinq autres élémens 3, c, etc., et multipliées par des fonctions de a, b, Cf etc., indépendantes du temps.

Ce résultat remarquable n'est qu'un cas particulier de celui que nous avons obtenu d'une manière générale, dans le n*^ ij; mais, vu son importance dans la théorie des perturbations planétaires , nous

3i4 THÉORIE ANALYTIQUE

ayons cru qu'il ne serait pas inutile de montrer comment on y peut parvenir immédiatement^ par la seule considération des formules du mouvement elliptique f et comment se vérifiait^ dans ce cas^ d'une manière très simple ^ l'indépendance des symboles (a, b), (a, c), etc., à l'égard du temps t.

Il nous eût été facile, d'ailleurs, de déduire immédiatement et indépendamment de toute autre considération, la formule (i), de la formule générale (D) du n« i8.

En effet, si l'on ne considère que le mouvement d'un seul corps m , dont les trois coordonnées rectangulaires XfjTfZne sont liées entre elles par aucune équation de condition, on poun^a prendre pour variables indépendantes ces coordonnées; on aura ainsi (p=sa:, ^^zzzijr^ 6 = z, ce qui donne ^'=0:^, '^'sszjr^f 6'= j3^ , et la valeur d^ T se réduira, dans ce cas, à

d'où l'on tire

du dT drr

Ces valeurs, substituées dans la formule générale (D) , en observant que la fonction représentée par fl doit être ici remplacée par mK , reproduisent la valeur de ^ , à laquelle nous sommes parvenus plus haut.

39. Appliquons la théorie précédente au calcul des perturbations planétaires.

Reprenons , pour cela , les diverses intégrales que

DU SYSTÈME DU MONDE. 3i5

nous ont fonrnies les équations du mouvement elliptique, et déterminons, d après la formule générale (i), les variations qu^il faudra faire subir aux constantes arbitraires qu'elles renferment , pour étendre ces intégrales aux équations différentielles du mouvement troublé. Nous sommes parvenus, dans le chapitre IV, aux huit intégrales suivantes :

^, — ^,r —c » zar,— z/c= c',jrz, —y, z— c", ^