I r^dp
r=^z.(i — e.cosï*), £-f-Z=û».(« — e.sinw).
Nous supposons , pour plus de simplicité , /t = i .
Ces intégrales contiennent sept constantes arbitraires; mais comme elles ne doivent en renfermer que six distinctes entre elles , l'une de ces arbitraires est nécessairement comprise dans les six autres.
En effet, on a, n® 20, entre les constantes c, c\ ^", «, e, l'équation de condition,
De sorte que ces cinq constantes n'équivalent réellenjent qu'à quatre arbitraires distinctes, et qu'on peut regarder l'une d'entre elles, prise à volonté, comme fonction des trois autres. Les constantes c, c', c" fixent la position du plan de l'orbite; et en aommant cp son inclinaison sur le plan des xj^ et ot
3i6 THÉORIE ANALYTIQUE
la longitude de son nœud, comptée sur le même plan , à partir de Taxe de or , on a
tang(p = ^ y taDg(t=~^,
d'où , en faisant pour abréger A:' = c* + c'* -+- c "*, on tire
c=A:,cos^, c'=— -Ar.sin^.cosa, c'=A:,sîn^.sintf.
Ces valeurs nous seront utiles dans les recherches suivantes.
La constante où exprime la longitude àxi périhélie comptée sur le plan de l'orbite à partir d'une ligne fixe prise à volonté; nous supposerons, dans ce qui i va suivre , que cette ligne est l'intersection du plaa de l'orbite avec le plan fixe des x jr^ et nous nommerons g ce que devient dans ce cas la comtante ai; la dernière des équations (B) donnera ainsi
4o. Cela posé y les six arbitraires dont nous allons déterminer les variations d'après la théorie générale exposée au commencement de ce chapitre , sont les cinq constantes ^^ a, (p, l, g, et la constante k dont le carré représente le demi-paramètre de Torbite, et que nous emploierons de préférence à l'excentricité €, parce que les calculs qui s'y rapportent sont moins compliqués. Ces constantes , substi" tuées tour à tour à la place de a et ^ dans la formule générale, produiront quinze quantités symboliques (a,k) , {a,eL) , (k,ùL) , etc. , qu'il faudra calculer
par la formule (2). Commençons par chercher les valeurs de ces quinze quantités.
Formons d'abord les combinaisons {a,k), (a,ç)f (a,a), (k,^), (A",»), {cty(p), où n'entrent point les constantes l et g. Si l'on ajoute les carrés des trois premières équations (B) , on aura la valeur de k en fonction de x^jyZy oc^yj^y z /j cu mcttaut à la place de c, d y d'f leurs valeurs dans les expressions de « et ^ ^ on aurait de même la valeur de ces constantes en fonction de;r,^, z, x^^y^y z^. On pourrait donc ainsi déterminer directement, d après la formule (2J, les six «quantités précédentes ; mais il sera plus simple de regarder les constantes k^ a^ (p comme fonctions des constantes c, c\ c", et d'employer dans cette recherche la formule (E) du n* 18.
Si, au moyen des quatre premières équations (B), on forme les difierentielles partielles des arbitraires c, c', c"et a, prises par rapport aux variables a?, j^, 2, o:^, /^, z^y qu'on substitue ensuite les valeurs résultantes dans la formule (2), on trouvera sans peine
La constante k est déterminée en fonction de c, c\ c^, par l'équation
la formule (E), n* 18, donnera donc d'où l'on tire
3i8 THÉORIE ANALYTIQUE
Les deux arbitraires (p et « étant déterminées par les équations
tang ^ = , tang et = —
on aura de même
(a,^) = 0, (a,et) s= o.
Pour former les deux combinaisons (k,^) et (l,a]p remarquons que Ton a par la formule citée
{c,k)^(c,cyi+(c,c^y^
^ I /^^ ^fA C
ic',k)=(</,cu+{c%cy-.
Si l'on substitue pour (c,c'), (c,c"), (c',c''), leurs Ta* leurs, en observant que l'on a, n'i8, (c',e)=— («,«')) (c",c) = — (c,c"), (c",c')= — (c',c") , on trouve
D'ailleurs
Par conséquent
(A:,(p)t=o, (Ji,a)-=io.
DU SYSTÈME DU MONDE. Sig
r former la combinaison (a,^), remarquons que"
rnc /fJ — —
cos<p=^;
l'on déduit
S omettons le terme {(t^k) .— , parce que (a, A:) est . comme nous venons de le voir.
(ct,c) = (c',c) . ^ + (c", c) .^,;
1 substituant pour {c%c), (c^,c), -^, -^ leurs urs
(a,c) =— cos* ût.Q— — — j = ~ I ,
ir conséquent
ons au calcul des combinaisons dans lesquelles ent les constantes Z et gf, et commençons par cher les valeurs des quatre quantités («,/), (k^l)^ I y (^;/)* Si dans la septième des équations (B)^ on titue pour u sa valeur donnée par l'équation qui récède , cette équation prendra cette forme
/=: — ^ + Fonct. (a, k, r) ; (c)
Ton tire , en faisant d'abord abstraction des consK 5S aetk,
3ao THÉORIE ANALYTIQUE
dl
dl
dr
s dl
ds
~ dr
-'T'Tr*
dl
dl
dr
J- dl
dy-
~ dr
•Ty''
— 7'dr*
dl
dl
g dl
dz '
— dr'
' dj.
r'dr'
La valeur de / ne contenant pas les variables x^ ^y^ , z^ j on aura ^ par rapport à une constante quelconque b.
Pour avoir égard aux constantes a et k contenues dans la valeur de l, il faudrait ajouter au second membre de cette équation la fonction
Mais on peut l'omettre, parce que b devant représenter Tune des quatre constantes a, k,(p^ a^les deux termes précédens sont toujours nuls. Il ne reste plus qu'à substituer successivement ces arbitraires à la place de b dans la valeur de (l,b).
Il est aisé de voir d'abord par les valeurs de c, c% c", que la substitution des constantes Ç et ^t ou de toute autre fonction de c, c\ c^y à la place de b, rendra nulle la fonction
db ^^ db ^^ db
^•dir^'^^'d^'^^''^;
On aura donc aussi
DU SYSTÈME DU MONDE. 32i
^ant à la constante a , on trouve
da ^ da ^ da ,
en faisant donc £= a dans {JiJ))^ on aura
,, . 2a* , , . . dl ^ dr dl
mais Tequatîon (c) donne éyidemment 5- = ^ î par
conséquent
Faisons enfin £= A:, la constante A: étant fonction de Cy c\ (? j on aura , d'après ce que nous avons dit plus haut ,
Passons mainteltiant à 'la recherche des cinq derbières combinaisons {g, a), (g,k), (g,(p), (g,a) et (g,/) ^ui renferment la constante g. L'équation (B') donne^^ ^ la résolvant par rapport à g,
Ou aura donc, relativement à une constante quel- %nque b,
{g^^) — r • V'-dx.^'^'dy^'^^'d^J'dP /di^ db^ ^. dv db^ t^ dp db\
