Tome I

32a THÉORIE ANALYTIQUE

On peut omettre le dernier terme , parce que b devant représenter une des cinq arbitraires a,k,Ç,a^ /, ce terme est toujours nul*

Pour former les quantite's ^ , -7- , ^ > il faut avoî;

la valeur de l'angle s^ en fonction des variables x^jy z; or on trouve aisément

x=ir.cos{f.cos u — r.sîn p.cos ^.sin^, j- = r.cosi'.sin a-|-r.sin(^.cos ^.cosa^ z = r.sin p.sin^;

d'où Ton tire

sm p:= — T— , cos i^= -^-^ .

r.sin^ r

Nous ferons usage de la première de ces valeurs, comme étant le plus simple. Elle donne en la différenciant

dp — xz dp — yz dp r* — z*

^ r^, sin ^.cos v' dy r^.sin ^.cos p^ dz r^.sin ^.cos*''

rdz — zdr dp a.cos^ dv dt

d^ r.sin^.cosf ' dt r*.sm^.cosi^'

Substituant ces valeurs dans la formule qui donne (s^V)^ et ajoutant, à cause de la constante ^ qui

entre dans l'expression de sin Vy le ternie (^,A) . ^ ;

on aura

, i / M , db , db\ dg

M f db , db . dh\

j-.siiif.cosv dt^ * ^ * ' da ^^^ ' d^ ^ '

e reste plus qu'à substituer les constantes a, k, p, ' à la place de b dans cette formule. Faisons d'abord ■.a, nous aurons

da , da , da . rdr

^ fx.— 4-r.— 4-z.— W- ^'— '^'*

/• rdx—uir \

( dt 1 , rf*.

Vr'.siii^.coj*'/ dt

ade plus (ti,a)^o, (^,a)=îOî par conséquent

comme^^ — -^ , on aura

isons b =k î rarbitraire k étant fonction âec, t^, e*,

dh , dk , dk ^■^+^-^, + "-^=*»-

ùllears (a,k) =; o et {^,k) = o; la formule qui

donne (gTf A:) se réduit donc à

mais *• = c^-{- c^* H- c"% d'où l'on tire

-^ sssin^.{x.cosaL^jr.sineL);

OU bien, d'après la valeur de cos p trouyëe précé*

demment,

dh -^ srr.sin ^.cos 9 ;

par conséquent

Cherchons la valeur de (g,ç)f et pour abrégeriao lieu de faire b =z^ dans la formule (d) , obserYons

que Ton a cos ^ = t » par conséquent

(g,«p)=(g,*).g+(ff,c).g.

Il est aisé de se convaincre que {g,c) =o; nous avotf trouvé {g,k) = — I ; donc on a

Cherchons la valeur de {g,^); ^ étant fonction ied et c", on a •

jviais il est aisé de se convaincre que l'on a

DU SYSTÈME DU MQNM:. SsS

^O'V r.sin^.cosv ^ vr' ^ dp^

La valeur de tang â& = r donne ^ en la différen-

ciaQt

Substituons ces valeurs dans (£,ct), nous aurons

mais

par conséquent

(ff,a)= — T .( i— i ) I', . . . ^ — .

D'ailleurs les valeurs de c, c^, cf' , n"" 59 , .donnent r » , = — ?7— • d ou il resuite