COS
et comme cz + cy -j- c''jr = 0, n*^ ao , on a enfin
Déterminons la valeur de {g,l), dernière combi- 1 (Edison qui nous reste à considérer. La constante / peui
3a6 THÉORIE ANALYTIQUE
être regardée comme fonction des variables r et ^ , et des arbitraires a et k; nous aurons donc par con-^ sëquent
et comme (gfa)=:o et (g,A:) = — i, cette valeur 8e réduit à
Puisque rne contient pas les variables ^^yj'jf z^, la valeur de (g^r) sq réduit à
Le second terme est nul dq lai-méme, puisque Ton a
et que nous avons vu que Ç étant fonction de c, c'^ è\ la quantité \r^^ -}-j-,^ ^^.-^ était nulle. Une
nous reste dônô à former que la quantité (a,r).
^ N da ^dr ^^ da *^dr ^^ da dr
^'^'^^— j^-Âï ^" 5^; ^^ dz; dz
c V. *•* ^ da da (/a dr dr .dr i
Substituons pour ^, -^^, ^, ^, ^et^ leurs valeurs, on aura
Ainsi donc
DU SYSTÈME DU MONDE. Sa?
r conséquent
dl
/ 7\ ^ dr dl àg dl « ds
^S.l)^^^'^Tt'drTa-Tk='^''^Ta-'
dk'
)ur -r et -77 on substitue leurs valeurs tirées de
aa ab
lation (B') du n* Sg , et de la septième des équa- 5(B) du même numéro^ diflFérenciées par rapport > constantes ^ et en y regardant e comme fonction et de A: ^ on trouvera, toute réduction faite ^
ar conséquent
I . Rassemblons les valeurs des quinze quantités nous venons de déterminer, nous aurons
:) = o, {a,<p) =zo,(a,a) = o, (a,g)=o, (a,/)=j2a% ) = o, (Z,(p) =o,(/,a) = o, (/,g) =o, )) = o, (k,a) =o, (k,g) —t,
^ Ar.sm ç
lans la formule générale (i), on met successiveit £Z , /, A: , g, a et ^, à la place de a et b, et qu'on ibstitue ensuite les valeurs précédentes, on aura r déterminer les variations de ces six quantités
dK
da
r-, C08 ^ û?Il , . 1 rfR t .
Jb. 8in ^ dg t.sinp dm
42* De ces formules il est aise de conclure cellesqni se rapportent à la variation des six arbitraires que nous avons considérées dans la théorie du mouve* ment elliptique ; il suffit pour cela de remplacer les constantes lyk, g par leurs valeurs en fonction de ces arbitraires. Nous avons supposé, n*' 2^ et 5g,
n étant par hypothèse égale à a"*.
On tire de là en différenciant |i^
dezzidùù^n.dl . -^^ .da.
Quant à la valeur de diw, remarquons que nous avons désigné par g, n^ Sg, l'angle compris entre la lig^^
des nœuds et le grand axe de l'orbite; cù est Fangle
<{ue forme ce même axe avec une ligne fixe menée
<}ans le plan de cette orbite : on aurait donc dûù = dg
^i la ligne des nœuds ne faisait aucun mouvement
pendant l'intervalle de temps ^^; mais cette droite
<^bangeant à chaque instant de position y il est clair
^ue dcù est égal à dg^ plus le mouvement des nœuds
projeté sur le plan de l'orbite; on aura ainsi ^ aux
q^nantités près du second ordre,
dûù^ssi dg^ cos tp.dcL.
LaquantitéRpeut être considérée, soit comme une Jonction des arbitraires a, l, k, g, a, soit comme une fonction des arbitraires a , i,e, co et ol: on a donc, en la. diflFérenclant dans ces deux hypothèses, l'équation identique
^.da+-^.dl+-.dk+^.,dg+^.d^
Substituons dans le second membre, à la place de éyde, da>, leurs valeurs précédentes, et égalons ensuite de part et d'autre les coefficiens de da,dl, dk,dg ^tdcL, nous aurons
dK __/dK\ i^ê^ f^? (i— #) dR da \daj Txie 'de a * a * dm*
dK cm
aSo THÉORIE ANALYTIQUE
rfR dR dh
dg~ dt ^ dé,^
dK
dR' /dR\ , dR , ^ d
SI l'on substitue ces valeurs dans les formules (o)^ • qu'ensuite on substitue pour da^ dl, dk, dg ^^t dct leurs valeurs résultantes dans di^ de et dcù ^ f^n aura^ pour déterminer les variations des six él^ïmens de l'orbite elliptique, en observant que;z*=::a ^,
et que A= \/a.(i — e*), les équations suivantes da=i2a^n.-y-.dty (t)
an
.j/i — e* rfR
rfa= ^-T= . -zïr^dt^ (5)
rf(p= ^.=^ . --r-dt. (6)
43. Nous voici donc parvenus à exprimer les variations différentielles des élémens de l'orbite elliptique . par les différences partielles de la fonction R relatives à \ ces mêmes élémens, et multipliées par des coefficiens ^ qui ne renferment pas le temps. Il suffira donc, pour • avoir leurs valeurs finies, de différencier par rapporta
te
ces elémens chaque terme du développement de R , et
de Tintégrer ensuite ; avantage précieux qui résulte
de la forme particulière que nous avons donnée aux
expressions de ces variations.
La constante arbitraire e étant toujours jointe à
l'angle nt, on a-j- = —y-, d'où Ton tire -j-.ndt=^dfK,
^ ' dî ndr dt
la caractéristique d' désignant une différentielle relative au temps t, prise en ne faisant varier .if qu'autant qu'il est multiplié par n ; les valeurs de da et de de deviennent ainsi
da:=:2a'',d'K,
€5?€=— ^-~^*.(i V^i— e*).'/R-a7*. V/ w*-^- dt.
On peut employer indifféremment ces expressions ou oclles dont elles dérivent.
Nous avons supposé /ï = a" »; on aura donc en diff<erenciant
'dn=:^5an.d^R. (7)
^ette formule donnera en l'intégrant la valeur qu'il
^ut substituer à la place de n dans les formules du
^Oiouvement elliptique. Or en nommant ^ la longitude
l Moyenne de la planète m, on a 0 = /2^ + é, et par
conséquent
d^=ndt'+' tdn + de ;
expression dans laquelle il faut remplacer^^Ai, dt^ar leurs valeurs. Mais il y a ici une] observation essentielle à faire, c'est que, dans la différence partielle de R, ^lative à a ; on peut se dispenser de faire varier la ,
33a THÉORIE ANALYTIQUE
quantité n qui dépend de a. En effet , R étant fouction de /!/ -f~ ^9 donnera , à raison de layariationden,
le tenue -j-. ^X > ^* valeur de ds renferme le terme
— ^a^.-^.ndt. La variation de n y introduira donc
le terme — aa* . --p • ^ j- . /irfi^ ; par conséquent la variation de la longitude moyenne sera^ à raison seulement de la variation de n,
d^z=z tdn — 2a*. -^ .-r-.ndt.
Si l'on substitue pour dn sa valeur, et qu'on re-
dn 3 /» - dK j^ jtT%
marque que ^= . - et -^./ia^=rfTl, on verra
que cette expression se réduit à zéro. D suit de là que dans la valeur de d^ on peut omettre le terme fofo, pourvu qu'on regarde n comme constant dans la dif- j férence partielle de R prise par rapport à a. On aura donc ^=fndt + 6 pour l'expression dé'la longitude moyenne dans le mouvement troublé, et toutes les formules relatives au mouvement elliptique auront également lieu dans le cas de Fellipse invariable et dans le cas de l'ellipse troublée, pourvu qu'on y chaugc nt en fndty et que l'on détermine les élémensdc l'ellipse variable par les formules précédentes. Cette manière d'exprimer le moyen mouvement a l'avantage de faire disparaître les termes qui se trouveraient sans cela multipliés par le temps t hors des signes sinus et cosinus. Si l'on fait ^ •= fndt^ on aura d^ = ndt } et en substituant pour n sa valeur tirée (te
DU SYSTÈME DU MOIjfDE. 333
ition (7), et intégrant ensuite, on trouvera pour miner la variation du moyen mouvement la aie
Ç= — 5 . ffandt . d'K. (8)
. Les formules (5) et (6), qui donnent les valeurs \ et de d^, contiennent au dénominateur le sinus ngle (Pf quantité très petite lorsqu'on suppose inaison de l'orbite sur le plan fixe peu considé- , et qui devient nulle lorsqu'on rapporte la position planète au plan de son orbite primitive , comme le ferons dans la suite. On peut éviter cet incon- ,'nt en substituant aux arbitraires ^ela, qui reintent l'inclinaison de l'orbite et la longitude de lœud ascendant, les quantités tang ^.sin et et ^.cos CL qui en dépendent. En effet, si l'on fait
^=tang^.sin a, ^= tang ^«cosa,
ura en différenciant
Dn considère R comme fonction de ^ et fit, et en* \ comme fonction de p et q^ on a l'équation idene
dR , , rfR j^ dR 1 , oR f"
substituant pour dp et dq leurs valeurs, et en ant de part et d'autre les coefficiens de d^ et de ^(p, :rouve
dR dR dK
'SÛ-^^'lf^P' dq '
dK __^ sîn a du cos et dK dç "^ cos'* ç * dp cos* ^ * dq'
Si Ton substitue ces valeurs dans celles de dct et de d(p ; qu'ensuite on substitue les valeurs résultantes dans dp et dq, et qu'on néglige les termes du second ordre par rapporta^ y ou bien qu'on fasse ^ = o, ce qui suppose que Ton prend pour plan de projection le plan même de l'orbite de m ^ on aura
, an «R j^ ip \
Ces formules^ jointes aux quatre premières du n*^4^; sont celles dont nous nous servirons désormais pour déterminer les variations des élémens de l'orbite el* liptique, et nous en conclurons d'une manière très simple toutes les inégalités du mouvement des planètes.
