Si Fon supposait enfin

^'=;sin^.sin a, ^'=:sin ^«cosa^

on trouverait , par une analyse semblable à la précédente,

, f an, cos a> dR ,, dp' = \ . -j-.dt,

, / an. cos^ dR j^

ag :=: — — == . -j-Mt.

^ V/i— e» dp

rmulessont rigoureuses, tandis que les précéne sont qu'approchées; elles se confondent les quand on suppose (p une très petite quantité, général , on peut observer que la disposition des les précédentes dépend uniquement des arbi- ; que l'on a choisies , et peut varier par conit d'une infinité de ni^nières. Si l'on prenait constantes arbitraires les cinq quantités â^, ^9 ^9 tle demi-paramètre A*au lieu deTexcentricitée, tuverait pour déterminer la différentielle de k

dk = -r- • dt + -y- • dt*

formule nous sera utile dans la suite, aurait des formules plus simples encore que que nous avons développées dans le n* 41 > et qui înt l'avantage de ne contenir qu'une seule diffépartielle delà fonction R, en prenant pour cons- > arbitraires les cinq quantités /i , ky l, a^ ^, du. , et la quantité ca du n® ^2. On trouverait sans ilté, pour déterminer les variations de cescons- }, les équations suivantes :

=z2a*. --Tj .dt , dl=i — 2a*. -r- .dt,

z=^.dt, dca^-^^^.dt,

= 7 — : •"7~»«*> a^= — r — i — . -j-.at.

Oa aurait encore ,n* i8, des formules dont chacune ne contiendrait qu'une seule différeutiell^ partielle de R, en prenant^ pour constantes ar-* bitraires , les valeurs des trois coordonnées cs^

jr^ Zf et des trois vitesses^ -^ , -4^, ^ de la

planète^ relatives à une époque déterminée, par exemple, à l'instant d'où l'on compte le temps /•

46. Considérons maintenant, d'une manière géné^ raie , les diverses formi|^es que nous venons d'obtenir. La fonctionR, dont les différences partielles entrent dans ces formules, est une fonction donnée descocMrdonnées ,r,j*, z de la planète troublée, et descoordoo' nées x^,yy z\ etc., des planètes perturbatrices. Cette fonction est du premier ordre, par rapport aux masses de ces planètes; de sorte que si, dans une pre^ mière approximation, on néglige les puissances des masses perturbatrices supérieures à la première, : il suf&ra de substituer dans R, à la place des coordoo^ x nées XyjfZjx'yj'j z', etc. , leurs valeurs relatives au mouvement elliptique. R devient alors fouctioa du temps / et des élémens a, g, e, é» , ;?, qr, a', é', é^ o)', ^', q' y etc., des orbites des planètes m, ni ^ etc., et l'on peut toujours supposer cette fonction développée en série ordonnée par rapport à t. Nous donne* rons dans le chapitre suivant le moyen d'effectuer ce développement; il suffit ici seulement d'en concevoir la possibilité. 11 suit de là que si l'on désigne par F le premier terme de cette série, c'est-à-dire le terme indépendant de ^, F étant une fonction connue des élémens de la planète troublée et des planètes

l^rturbatriceS; il en résultera dans les variations des 9emens a, è, e, etc.^ des termes proportionnels à élément du temps , lesquels produiront , par Finté- ^ation dans les variations finies de ces élémens , des jermes croissant comme le temps , et qui seront inlépendans de la position des planètes 172, m^^ m", etc., lans leurs orbites. Si l'on substitue donc F à la place le R dans les formules (i), (2), (3), (4), (g), (10), at qu'on observe que la difierentielle de F par rap- ^rt à nt est nécessairement nulle ^ on aura, pour Aétermiaer ces termes, les formules suivantes :

dazszo,

de=-f2d^J=i'.f.rf,,

y/i—é'dq '

f an dF .

Les variations déterminées par ces équations ont été nommées inégalités séculaires , parce qu'elles croissent ^Vec une extrême lenteur. Quant à l'autre partie de ai variation des élémens elliptiques de /ti , on les déter- ^oinera au moyen des formules de l'article 42 , en ne Conservant dans le développement de R que les tonnes que nous y avons négligés.