CHAPITRE VII

Développement des formules qui déterminent b variations des élémens des orbites planétaires y i relations qui existent entre les inégalités sécut laires de ces élémens.

47. Nous venons de voir qu'en vertu de l'action ré* cîproque des corps du système solaire , lesëlémensdes orbites des planètes étaient soumis à deux espèces de variations distinctes. Les unes^ indépendantes de la configuration de ces différens corps et de leurs positions respectives , qui reviennent les mêmes après de courts intervalles , peuvent croître indéfiniment avec 1 le temps, ou être assujetties à des périodes quileor j sont propres, mais dont la durée est toujours extrêmement longue. Les autres, au contraire, dépendent uniquement de la position des planètes, soit entre elles, soit à l'égard de leurs nœuds et de leurs aphélies, et reprennent les mêmes valeurs toutes les fois que la disposition générale du système redevient la même.

Ces dernières ont été nommées variations pério^ diques. Les élémens de l'orbite , en vertu de ces inégalités , ne font qu'osciller entre des limites qu'elles ne sauraient dépasser; leur effet est de changer i chaque instant la position' qu'aurait la planète dans son orbite supposée invariable, mais la stabilité du système du monde n'en peut être altérée.

Les premières^ qui sont en même temps les plus nportantes et les plus difficiles à déterminer , ont été ppelées variations séculaires , parce que leurs ac- *oissemens étant extrêmement lents, ce n'est qu'ares un grand nombre d'années que leur effet peut î manifester. Elles font varier de siècle en siècle , et ar degrés insensibles; la figure des orbites et leur osition dans l'espace , de sorte que , comme leur acon est permanente, et continue, il est impossible e décider à priori si la forme générale du système lanétaire n'en sera pas à la longue entièrement bouîversée.

Il faut , pour résoudre cette importante question t^ txaminer avec soin les valeurs finies de ces variations, valeurs qu'on obtiendra, comme nous l'avons dit, en ntégrant les formules du n^ 4^' Cette intégration , 1 est vrai, est impossible en général dans l'état actuel de l'analyse, et il est, par conséquent, imposable aussi d'avoir rigoureusement les valeurs finies îes variations des élémens elliptiques ; mais le peu . ^excentricité des orbites des planètes, et la petitesse « leurs inclinaisons mutuelles , permettent de détertuuer par des approximations successives leurs va- Burs approchées, aussi exactement qu*on le peut ^«sirer.

48.|Pour le faire voir, et pour calculer généralement autes les inégalités que l'action mutuelle des planètes peut produire dans leurs mouvemens , il est nécessaire de réduire en série la fonction que nous vons désignée par R. Occupons-nous donc d'abord le ce développement. En ne considérant que l'action

34a THÉORIE ANALYTIQUE

d'une seule planète perturbatrioe m' sur m, on a

L'actioi^ des autres coi'ps w'', m'", etc., introduit dans cette fonction des termes semblables.

Désignons par r, le rayon vecteur de m projeté sur le plan des xjr , et par i^^ l'angle que fait ce rayon avec Taxe des x; désignons de même par r^ le rayon vecteur de m' projeté sur le même plan ^ et par v\ Tangle que forme cette projection avec l'axe des x, nous aurons

op = r^ • cos v^ y jr ^sn F^ . sm i^^ , aî'= r/. cos «/, /'= r/. sin^^/.

Si l'on substitue ces yaleurs dans la fonction R; elle devient

Les excentricités et les inclinaisons mutuelles des orbites planétaires étant de très petites quantités, puisque ces orbites s^éloignent peu de la forme circulaire^ et que leur plus grande inclinaison à l'édiptique ne surpasse pas 7*, si Ion développe la fonction précédente en série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de ces deux élémens, cette série sera nécessairement très convergente. Cela posé, choisissons le plan fixe des x^jy qu'on est libre de prendre ^ VQlonté, de manière que les inclinaisons des pr- |

tes sur ce plan , soient peu considérables ; les valeurs îs ordonnées z et z' seront très petites, et en dëveppant dans cette hypothèse la fonction R^ on ira

'•/' ^'•/* 2.[r;«-.r/;.cos«-v,)+r/F'

-etc.

apposons^ pour un moment, les orbites circulaires, t couchées toutes sur le plan des xy , çn désignant ar a et a' les distances moyennes des planètes m et ni u Soleil, et par nt^-^^e et rit^j^e' leurs moyens Giouvemens autour de cet astre , nous aurons

!t si l'on nomme R^ ce que deyient, d^ns ce cas , la valeur de R, Qn a

a 5=771'. I [a'»-2aa'.cos (zi'^-n^-f 1 -i)+a*]"*- -^ . cos (7i'*-n*+ l'-i) | .

Nous démontrerons toutàlTieure que toute fonction

ie la forme (a'* — 2aa^ . cos ^ + û*)"^ ^ P^^* toujours 5e développer en une série procéiaant suivant les 'Osinus de Tangle <p et de ses multiples : soit donc

on aura

I\.= -.2.A«.cost(«'<— nf+s'—ê)-

4- (a/')- -^\ cos(n ^71^ + « -i) + A^CO . cos -iin'tr^nt + f '-i) + etc.

Si l'on observe que les arcs négatife ont mêmes cosinus que les arcs positifs correspondans^» on pourra représenter , pour abréger , par

-.2.A^*\cosi(7i'< — Tî^+e' — e)

la somme de tous les termes de cette série. Le nombre i devant prendre toutes les valeurs entières positives i

ou négatives comprises depuis /=o jusqu'à ï=:±-, \

en ayant soin de faire A^~*^ = A^'^ j et le coefficient : A^'^ étant donné par l'équation A^'*^ = A/'^ toutes les fois que i est un nombre quelconque différent de

l'unité , et par l'équation is^'^zzzh.^^ -^ quand i=:i*

Cette manière très simple de représenter une série procédant suivant les multiples du cosinus d'un arc donné et composée d'un nombre indéfini de tenneS;| est fort usitée dans toutes Içs branches de l'analyse, et elle, est d'un usage très commode dans la théorie du système du monde^ où l'on a souvent de pareilles suites à considérer.

La valeur précédente de R^ deviendra ainsi

Revenons maintenant aux orbites supposées peu xcentriques et peu inclinées les unes aux autres. On Lura dans ce cas, d'après les valeurs du rayon vecteur 5t de la longitude vraie dans l'orbite elliptique, développées n° 25,

en représentant par w, w', v, v' de très petites quandtés dépendantes des excentricités et des inclinaisons. Si Ton substitue ces valeurs dans la fonction R , et qu'on la développe par rapport aux puissances et aux produits de m, v! j Vj v\ z et z', il sqffira de remplacer ensuite ces quantités par leurs valeurs pour avoir une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons, comme Dious nous le sommes proposé. Mais la substitution ^ne nous venons d'indiquer revient évidemment à ionner aux quantités a, a% nt^e, r/t^j^ a^ qui entrent dans la fonction R^ les accroissemens au, a^iê, V et V* y et à joindre à la fonction qui en résultera les termes du développement de R dépendans des variables z et z. Si l'on fait donc

[a'» — aoa' . cos (jit — ref + «' — «) ~f" ***]" ' — i . B^o) + B('>. cos (n't — nt+ «' — 0 H- B^'J . cos a (n'i — nt + t' — ê) + etc, = - . 2 , B« cos i {n't — ni + t'—f),

a dA'CO a dA'CO

-*- - . ■ t ,cos (p— - . 4 ,cos 2^ — etc.

ou bien , en mettant pour V""î et V""'""" leurs valeuis en série ,

ffC»)

i.A'CO+A'C0.cos(p+A'C*).cos2(p+etc.+(a«— a'*)/i.

+ B'CO . cos f + B'CO . cos 2^ + etc.)

I a dA'^^^ a dA'CO a dA'CO

!:i s aa H aa s da

d'où l'on tire généralement par la comparaison des termes; affectés de cosinus semblables

OU bien, en mettant pour B'^'^ sa valeur donnée par la' formule (b)^

dA da

Si l'on différencie successivement cette équation par rapport à a , et que dans les équations résultantes on

substitue pour --^ — et — ^ — leurs valeurs déterminées par la formule précédente, à mesure que o» quantités se présenteront, les différences successives de A'^'^ se tl*Ouveront toutes exprimées en fonction de ^/(O^ ^/o-+-.)^ A'^*-^»^ et nous avons déjà vu comment on déterminait ces valeurs.

Voici donc la fonction R développée en série pror^ant suivant les puissances et les produits des {miantités très petites w, //', veti/, z et z', et il ne reste >]u$ qu'à montrer comment se forment les quantités \9\ B('^ qui entrent dans ce développement ainsi que leurs différentielles successives.

49* Pour cela^ considérons généralement la fonction V"';;=(^'*-»-2aa'.cos ^-f-a*)""', et supposons que le développement de cette fonction en série suivai^t les cosinus de l'angle <p et de ses multiples soît