V-*-' =^B'^«5 +B'^'\ cos (p +B'^*^cos 2^ + etc

Si Ton multiplie par a'* — 2aa'. cos (P'+'a* les de^r^x * membres de cette équation , et que pour V""' on subs* titue sa valeur en série , on aura

1 A'W + A'f'>. cos(p4- A'W.cos 2(pH-etc.

=(a«— 2aa'.cos(p+a')(- B'^°^4-B'^'^-cosf +B'C*).co$2(p + etcA

et en comparant les coefBciens des cosinus semblables, f on trouvera ^

mais il doit exister entre les coefficiens B'^'""'^, B'^*^, B'O+0 des relations analogues à celles qui existent entre les coefBciens Af^^"''^, Â!^^, A'^*"^*\' la formule (a) donnera donc, en y changeant s en ^+i et i en i+i>

" (i — s).aa

Si l'on substitue cette valeur dans l'expression pr çédente de A'^'^, elle devient

Cette équation donne, en y changeant i en t-f- 1,

d'où Ton tire, en substituant pour B'^*"**'^ sa valeur précédente,

Si l'on élimine B'^'"*' entre cette équation et l'équation (i),, on aura

B'co = -i ;rT, — ïsr-^ ; (A)

ou bien, en substituant pour A'^*"^'^ sa valeur donnée par la formule (a),

Bco=..i — —— (^^^ir^r--^ • (^) .

On déterminera au moyen de cette formule les valeurs de B'^°^, 3'^*\ B'^»>, etc., loreque celles de A'^*\ A'^*^, A'^'^, etc. , seront connues ; et comme celles-ci i-;Mfsont données par la fortntde (a) lorsqu'on connaît les valeurs de A'^''^ et A'^'^, il ne nous restera plus que ces deux quantités à déterminer.

5o* Pour y parvenir, nous feroos usage de la méthode très simple que nonsavons déjà employée dans le n^ ^5 et qui s'applique à tous les cas analogues. Elle consiste à exprimer le cosinus qui entre datis la fonction Y en

35o THÉORIE ANALYTIQUE

exponentielles imaginaires et à ]^ développer ensuit^

On a , n* 24, cos (p= ; on aura do^

Y = a'^ — aa'. {c^^~' + c"^ ^^)+a^ on peut £>^ conséquent regarder V comme le produit des! de \j:

facteurs a' — a.c^^'^^ et a'— -a.c"^^""* , de sorfe qu'on aura généralement

Si l'on développe séparément chacun des facteurs d« second membre , on aura les deux séries

"^ TîTs «'^-^-^'^ -t-etc,

^ 1.2.3 a"-*-^ -t-eic.

Si l'on multiplie ces deux séries l'une par l'autre, et qu'on ordonne leur produit par rapport aux puis^

sauces de c^' ^^^ et de c'^'^ ' ^'^^; que l'on substitue

ensuite 2 cos (p à la place de c^' ^""' +c"" ^' *^^ y et

en général 2 cos /(p à la place de &^' ^^^J^c^^^* V""'; la valeur de V""' se trouvera exprimée^ comme il est facile de s'en assure^, par une série de cette forme; ^Co)|. 2^(0. cos ^-f- 2A:^*^. cos 2^ + etc. On aura donc ainsigénéralement A'^*^=2À'^'^j eten supposant iaso et /= I y on trouvera

DU SYSTÈME DU MONDE. 35i

Ces séries seront convergenles toutes les fois ^e le tapport — sera moindre que lunîté. Or, comme on

Cm

peut regarder également la fonction V comme le produit des deux facteurs a' — a.c*^' ^""^ et a' — a.c""*^ *^""%

ou des deux facteurs a — a\c^' ^""' et o^ — a'.c""*^ * ^^\ il s'ensuit qu'on pourra changer dans les séries prétîédentes a en a'^ et réciproquement. On choisira donc pour déterminer A'^*"^, A'^*^, celles de ces séries où la plus grande de ces deux quantités entrera au dénoniinateur.

5 r . Pour rendre ce qui précède applicable à la question quinousoccupe , il suffira de faire ,y=- , ^= - dans

les formules que nous ayons trouvées, et de supposer que les quantités que nous avons désignées par A^^"*^, A'CO^ A'^*^ etc., deviennent A/'^^ Ay\ A/*\ et que celles que nous avons nommées B'^°^, B'^*^, B'^*^ deviennent gCo)^ B^i)^ B^o^ etc. ; mais, dans ces deux cas, les séries précédentes sont peu convergentes; elles le deviennent

davantage lorsqu'on suppose j* =±= — - ; et si l'on fait

V ^ = (^, a!) + (^^ ^)'' cos (p 4- (^, a')", cos 2(p -f- etc. ,

on trouve , pour délerminer {a^a*) et (a,a')\

a /»» /f 1\* iTr4

On aura par ces se'ries les valeurs de {a,a') et de (a,fl')' avec tel degré de précision que Ton voudra. Dans la théorie des planètes et des satellites^ il suffira de prendre la somme des onze ou douze premiers termes^ et Ton pourra négliger les suivans ; bu plus exactement^ comme ces termes approchent ensuite de plus en plus de l'égalité , on les sommera comme une pro-

gression géométrique dont la raison serait i — -7» 5

les valeurs de (a,a') et de {a,a^y qui en résulteront seront exactes, à la sixième décimale près^ ce qui est plus que suffisant dans tous les cas. Lorsqu'on aura déterminé ainsi (a,a') et (a,a!y, on aura par les fiwrmules (b) et (c) , avec le même degré de précision, les valeurs de A/**^ et A/*^ Si l'on fait dans la première

^=5;— - et 1=0, elle donnera 2 '

DU SYSTÈME DU MONDE. 36i

tang^ s= \/p* -|- 7", tangee&s-.

Dn aura de même

tangf'= \/p'^+q'\ tangct'ss^î.

On aura ensuite

Comme la fonction R ne contient que les carrés et les produits de z et z' et que p 9 (]f p' eX (f , sont des quantités de l'ordre des inclinaisons ^ et 9' ^ il suffira de substituer à la place de x elj , x' et y dans ces équations , lèilr^ Valeurs indépendantes des excentricités et des inclinaisons : on a dans ce cas

aczsza . cos (wi «4- 6 + a), j'zssa . sin(7ii-f-€-f-A)^ ac^sr: a', cos {nft+e'+ et'\ f;=:z a' . sin (/l'^-j- g'+a');

ce qui donne par conséquent ,

q . sin (/zi -I- € -f- a) — ;? . coi(nt + € + a) ,

f-= /. sin (/»'/-+- «'-+- «t') — /?' , cos(/i'i+6'-+-ût') .

Si Fon substitue 6es diverses valeui*s dans l'expression de R du n® 48 etqu'on ne conserve que lepremier terme lu développement, c'est-à-dire le terme indépendant les angles^/ et n't^ on trouvera pour la valeur delà Quantité que nous avons désignée par F dans le n* 46

£t sironfaiU=:— -, i^ i dans U fommle (c) , ou

aura

On déterminera ensnîte par la formule (a) A*^, en ftiDction de A*"^, et de A^''^ , quel que soit le nombre î, et l'on en déduira B^'^ par la formole (c*). Si dans les expressions de B^"' et de B^'', trouvées de cette manière, on substitue pour A'"', et A'*'^ leurs valeurs précédentes, on aura les formules très simples

, ^.(»,a-) gf„^z±ktsy — (^•-«•)" («■•-«■)■•

5a. Voyons maintenant comment se formeront les ■^fférences successives des quantités A^"*^, Af^'^r etc., Wf-"'', Sf-'^f etc., que nous venons de déterminer, tant jMr rapport à a que par rapport à a'. Pour cela reprenons l'équation générale

r- V-'=- l.At''> + A'('î.cosç+AW.cos 2^ +elc.

'■ fi' on la différencie par rapporta a, en observant que

sÊ-a=sa.(a— d'j.cosf , on aura

?- (a— d'ECUs ?>.V ' «sz- . -3—- 1— ^.o09Ç) "■ ~»^.oo8a9+etc.; ['équatiou V s= a'* — - 2<2a'. cos 9 «-f- a* donne - ■ *"" ; ou a donc ainsi

36a THÉORIE AHALYTIQUE

+fC"'-(^)+i---(^')]--

+-T- . ad . Bt') . (/y>' + ç^')-

Sî dans cette expression on fait A^"' = A,W et A^''= A/'' r^, et que pour A,^°ï, A,t"î et leurs différences partielles , on substitue leurs valeurs en B'^"' t B^'^ doniiées dans le n* 5a, en remarquant qw l'on a

. fdh.yr\ , I „ /^A,f)\ /'rfA,t"\ , I , /(^A.y\i = -.i«i'.BW(o'+o") .BW = — -.»

Revenons maintenant aux orbites supposées peu Lcentrîques et peu inclinées les unes aux autres. On ira dans ce cas , d'après les valeurs du rayon vecteur t de la longitude vraie dans l'orbite elliptique^ déeloppees n° 25,

o représentant par w, u\ v, v' de très petites quan- Ltés dépendantes des excentricités et des inclinaisons. >i Ton substitue ces valeurs dans la fonction R , et p'on la développe par rapport aux puissances et aux )roduits de u , vl, v, v', z et z\ il sqffira de remplacer msuite ces quantités par leurs valeurs pour avoir une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons, comme Qons nous le sommes proposé. Mais la substitution tpe nous venons d'indiquer revient évidemment à îonner aux quantités a, a% n^-f-€, n't^ e! ^ qui entent dans la fonction R^ les accroissemens au^ a'u', ' et v'^ et à joindre à la fonction qui en résultera les îrmes du développement de R dépendans des valables z et z\ Si l'on fait donc

[a/* — saa' . cos (n't — nf + e' — e) + a»]" » — 1 .B<») + B('>. cos (n't — nt-i- i — «) H- B^'^cos 2 («'/ — ni + é' — é) -H etc^ == - . 2 . B« cos i {n't — nt + «'—«)»

le nombre i dans cette série , comme dans la préc( dente , devant s'étendre à toutes les valeurs compris entre «= — ^ et i = ^, en observant que B^~'''^=ff on trouvera par la formule ordinaire du dëvelopp ment des fonctions de plusieurs variables

R = Y-2-A«.cos i{nU — nt + e' — i) + — .tt.S»a.r-^-j,cosi(/i'^ — nt+é'-^ é) -+•— •w'.2.a'/-^7-).cosi(/z'^ — nt^s' — e)

+ ^ • wS :S • a* . (-^ï-) . cos / (n't — nt 4- e'—e) + — .«w.5.aa'.f^^J.cosi(n7 — nt+e' — é) + j.u\:2.a\(^^ycosi{n^t—nt+e'-4 — ~'(^ — v).w.2,ïa.f-^--j.smi [nt — nt+S'-i,

— j . (v'-^ v)* . 2 . i» . A^O . cos i (n't-^nt + e'— é)

77z> • 2s , 3ni . a£ * , .

^l^fl' , 2 . B« . cos i (7i7— n« + 6*— e) 4- etc.

Voici donc la fonction R développée en série proédant suivant les puissances et les produits des uantités très petites w, //', i' et i/, z et z', et il ne reste lus qu'à montrer comment se forment les quantités ^(0^ gco qui entrent dans ce développement ainsi fue leurs différentielles successives.

49* Pour cela^ considérons généralement la fonction ^-'?;=(a'*-r-2aa'.cos ^-f-a*)""', et supposons que e développement de cette fonction en série suivai^t es cosinus de l'angle (p et de ses multiples soit