V-'-' =iB'^«5 +W^'\ cos (p +B'^*\cos 2(p+elc
Si l'on multiplie par a'* — saa'.cos ^-f*^* les deux | membres de cette équation , et que pour V"" on substitue sa valeur en série , on aura
1 A'^*^ -f- A'^*>. cos(p4- A'^*\cos 2(p+etc.
=(a«— 2aa'.cos(p-fa')(- B'^°^4-B'^'^cosf +B'C«).co$2^ + etc. j;
et en comparant les coefBciens des cosinus semblables^ on trouvera
mais il doit exister entre les coefFiciens B'^'""*^, B'^'^, B'C*+0 clés relations analogues à celles qui existent entre lescoefficiens A'^'-'^ A'^'^ A'^*"^'^: la formule (fl) donnera donc, en y changeant s en ^+i et i en /*+'>
(i — s)Ma
Si l'on substitue cette valeur dans l'expression précédente de A'^'^, elle devient
etc.
On anra ainsi les différences partielles de A^^ et de B^^^ par rapport à a' an mayen de leurs diffé-^ rences partielles relatives à a.
On pent observer encore que les valeurs de A/^ et de B^^ restant les niiémes lorsqu'on y change aena\ et réciproquement^ ces valeurs et cellea de leurs différences successives serviront k la fois dans le calcul des perturbations des deux corps m et m'« Lorsque la valeur de A^9 sera connue , on aura celle de A^^ par l'équation A^^s=: A^^^ i étant un nombre quelconque
différent de Tunité, et par l'équation A^^ssA/^— ^^
i étant ^al à l'unité.
5S. On déterminera donc par ce qui précède les dif* férentes quantités qui entrent dans le développement de R en série. Considérons de nouveau l'expression {générale de ce développement. Four cela , reprenons, la valeur de R du n^ 4^ ^
r^ et r/ étant les rayons vecteurs de m et m' projetés sur le plan des xy ^ çX v^ et vj les longitudes de ces rayons , comptées à partir de l'axe des x. Représen-^ toiis par (r,), {y), (z), et par (r/), {yl), (js!) les parties
des valeurs des variables r^, i^^, z, et r/, s^ ^ , z' qui dépendent dumouvement elliptique ou qui sont dues à la seule action du Soleil , et désignons en général par la caractéristique S" placée devant une quantité la variation finie de cette quantité due à Faction des forces perturbatrices. On aura
Telles sont donc les valeurs qu'il faudrait substituer à la place de r^, p^, 2, etc., dans l'expression de R pour avoir la valedr exacte dé cette fonction ; mais h^^ cTf^,, J^z et <f r'^, cTp';, cT»', soût nécessairement de très petites quantités de l'ordlre ^ed masses m'y m'^ etc., puisque Ces variations sont i nulles quand on fait abstraction des forces perturbatrices; il n'en saurait donc résulter dans R que des termes de Tordre du carré des masses, puisque cette fonction est elle-même du premier ordre par rapport à ces masses. Si l'on se borne donc à considérer les termes du développement de R du premier ordre relativem'ent aux masses perturbatrices, ce qui suffit presque toujours, il faudra substituer seulement dans cette fonction a la place der^, ÏÏi *'/; ^9 ^li ^1j ^ leurs valeurs elliptiques. On aura ainsi II
Désignons par r le rayon vecteur de /o dans son orbite elliptique; par v la longitude de ce ray<»
DU SYSTÈME DU MONDE. ÎSg
lomptée dans le plan de l'orbite .à partir de son inersection avec le plan fixe des x j y\ «t par a la longitude de cette ligne comptée sur ce dernier plan à partir de l'axe des abcisses .5^; en sorte que (r^) représente la projection du rayon vecteur r, et 9^ — et la projection de Tangle (^; nommons enfim^lFindiaaison de l'orbite de m sur le plan fixe; nous ati*^ ions par le n*" ^^y en bornant les approximations aux termes du second ordre par rapport aux eixceD« tricités et aux inclinaisons ,
r^ =: ( r^) = r . (i — — . tang* cp . sin*p) (^^ = {y^ = p -j- et — tang* - ^ . sin 2 t^ ;
Ou bien^ en mettant à la place de r et ^ leurs valeurs données dans le n* 24, ' "*
V=:;»i-f- f+tf-J- a« sin (»<+ 1— 4») -t» -^ «".sin 2 {n^ -f- ç — •)
i étant le demi grand axe de Torbite dé my ePei^ ^ntricite, û) lalongitudedesoif pél^ihélie^€i;'/K'é*4^£ la longitude moyenne de m.
En comparant les valeurs précédentes de r et > à belles que nous leur avons supposées n** 48> savoir y
Hx aura
36o THÉORIE ANALYTIQUE
Sî Fon désigne pari/, éy n\ %\ â/, a' et (p' parrapport à m' les quantités que nous avons désignées par a^ e, n, i, cùf^detç relativement à m, on trouvera de la même manière
♦^=2.e'.sin(»'/+.'-a.')+7-«'*-Mn2('»'«+«'-«)-lang»V-si«»2(»'**
Enfin on aura pour déterminer z et z' , 1
sspiry. tangç , sinCi'^ — «) et *'=:/^. tang^- • 8ÎD(i^/— •).
Telles sont par conséquent les valeui^ qu'il faudra stibstîtuer à la place de ii, ç,z,ùf, i//z' dans le déve- j loppement de R du.n** ^8, et l'on aura ainsi la valeur de cette fonction exacte^ aux quantités prés du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.
Si à la place des inclinaisons ^ et (p' dea orbites de i Tfietdem^ sur le plati fîxe^ et des longitudes « et^ ; de leui^nœuds^ On ve)it intix>duire dans» R les variables p et q que nous avons considérées- n^ 44 > ®* ^^"^ analogues p' et q\ on f^ra comme dans œ numéro ,
p z=z tang ^ , sin a , ^ = tang (p . cos a ^
d'où Tou tire J
If
DU SYSTÈME DU MONDÉ. 36i
tang ^ = V/^P* H- ^% tangats^.
On aura de même
tang f' = Vp" + 7" , taiïg et'ss:|, .
On aura etisoite
Comme la fonction R ne contient que les carrés et les produits de z et z' et que p , q, p^ Gtq\ sont des quantités de Tordre des inclinaisons ^ et ^' , il suffira de substituer à la place de x etjr , x^ et y dans ces équations , lèUn^ Val^rs indépendantes des excentricités et des inclinaisons : on a dans ce cas
^=£ïa . cos («1 -+• ^ H" *)> ^ = ^ • sin(n«-f-€-j-«t)y a/= af, cos (ii'^-l- fi'-f- a')^ jr'ss d . sin Çn't -j- €'+ et') ;
ce qui donne par conséquent ,
-=:^ . sm(nt + €H-a)— )[? . cos (/z^ + fi -+• *) >
fv= /. sin (V^-f «'+ A>) —p' . cos(7i'«-h«'+a') .
Si Ton substitue ées divôrseô valeui*s dans l'expression de Rdun°48 etqu'on ne conserve que le premier terme du développement , c'est-à-dire le terme indépendant des angles n/ et n't^ on trouvera pour la valeur delà quantité que nous avons désignée par F dans le n* 46
36a THÉORIE ANALYTIQUE
,1 ,/éPAC'X-I , , , .
■^i^ . aa' . BO . CV + qq').
Si dans cette expression on fait A^'^zrrA/'^ct
Af 'ï= A/'> —- -^, et que pour A/*', A/'' et leurs diffé-
rences partielles , on substitue leurs Taleurs en B^*^ et B^*^ données dans le n* Sa , en remarquant cpie Ton a
'■{-irJ+i-'X-dirri-'"'-^^-
La valeut* précédente de F prend cette forme plus simple , ^
Enfin y si dans cette expression on substitue pour B^^^ et B^^^ leurs valeurs
on aura • :
On peut encore donner une autre forme à cette expression , en faisant , comme dans le n^ ^6 ,
On trouve alors En substituant à la pUcfi de la fonction F sa valeur
(n) dans les formules (ti) de l'artide 46 ou sa valeur (p) dans les formules ^12) , on aura par la dîfférentiatîon de chacun de ses termes lés variations difTërentielles des élémens de l'orbite de m , exactes aux quantités près du second ordre, par rapport aux excen* tricités et aux inclinaisons, que nous regardons comme de très petites quantités du premier ordre.
Il est bon de remarquer que A/®^ ainsi que les fonctions de a et // qui sont représentées par des parenthèses dans la valeur de F, étant symétriques par rapport à ces deux quantités , cette valeur ne varie pas lorsqu'on y change «, b, c, p, q, en a', b^ , c\ ^', ?', et réciproquement, de sorte que si Ton fait FàÈ= /w' .F', la fonction F' sera la même pour les deux planètes, et pourra servir simultanément pour le calcul de leurs perturbations. C'est d'ailleurs ce qu'on peut conclure à priori de l'expression de R. En effet on a
p^^/ r î xjf+yy'+%z"\
Il est aisé de se convaincre , et nous prouverons dans le chapitre suivant , que lorsqu'on n'a égard qu'aux termes du premier ordre par rapport aux
niasses perturbatrices , la partie — ^ '^.'^ — de
la valeur précédente ne produit dans le développement de R que des termes périodiques , eti siorte que la partie non périodique de R, que nous ftvons désignée par F=t=?n'.F', ne peut provenir que de la partie non périodique de la fonction
è!oii il suit que F^ est égal à la partie non périodique
de la fonction [(x' — ^)*+(j' — jY+i^' — ^YT^ développée en sinus et cosinus d'angles croissans proportionnellement au temps, et que par conséquent sa yaleiu* est la même pour la planète m et pour la planète m'.
54* Après cette digression indispensable sur ledéve-^ loppement de R en série, reprenons les formules générales que nous ayons trouvées dans- le chapitre précédent pîour déterminer les variations séculaires des élémens du mouvement elliptique , et développons les conséquences importantes qui en résultent relativement à la stabilité de notre système planétaire. Considérons un système composé d'un nombre quel- Conque de corps m, ni y rri^ etc. , réagissant les uns sur les autres. Nommons d j V y c\ /?', 9', e' , (a ^ a}^ (ff par rapport à /»'; a^, V y c" , p^' ^q' 9 e", eo\ *"> <p" par rapport à w!' , et ainsi de suite, ce que nous avons nommé a, b, ç, p, ç, e, a>, cl, Ç relativement à m. Substituons pour A^°^ sa valeur dans l'expression (p) de F, et faisons pour abréger ,
{a*+a'^) . (a, a^)+3^,aa .(a,ay 3 . ca' . (a,a')'
en désignant par S la somme de tous les termes semblables aux précédens qu'on obtiendra en combinant entre elles deux à deux et de la même manière les
masses m^ni y nt y etcw , et lès qaantités qai leur sont relatives.
Si Ton substitue L à la place de f* dans les fot'mules (il) et (12) du n^ 4^, on aura des équations différentielles au moyen desquelles on déterminera les variations séculaires des élémens i, Cy p^ y de Torbite de m, causées par l'action des corps /w', ïvt , etc. ; et comme la fonction L est symétrique par rapport à tous les corps du système, il suffira de marquer^uccessivement d'un accent dans ces formules les lettres /w, by Cy py q pour avoir les variations des mêmes élémens relatifs aux orbites de rrl y ni' , etc. En négligeant les carrés et les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, et en se rappelant que a'/î*= I , a'^n!^z=z i , etc. , on obtiendra de cette manière le système d'équations différentielles suivant :
db =: — ^ '^ .dty de =— .— ;^. -77-. dt, mya de ' mya ^fo
, I dh 7. j 1 dLt y
ap = ■■=- . -7- • aty aq :=z^^ •— , -7- . aty
mya' ^0' ' rriy d db' * "* ' ^
m" {/a" de' m'y a" dW '
dp^'z^^- , ^ . dty dq^'z:z^ ^^ .^..dty '^ m"\/a\ dq ^ ^ m'y a" dp" '
etc.
DU SYSTÈME DÛ Mdï^DË. 367
La forme simple et symétrique de ces formules fait connaître plusieurs relations qui existent entre les variations séculaires des élémens dun système de planètes /w, ni y m" , etc. On tire d'abord des équa-* tions précédentes
^.J6+^.dc=o, -.db+-^.dc=o, ^„.db+-„.dc=o,
etc. ,
dh , . dL , dh j , . dh y f dh j g dh , „
etc.
Et comme L est une fonction des variables a, b, c, p, q, a! y Uj etc. , indépendante du temps^ et que d*ail-^ leurs a, a! j a% etc., sont constans, n** 46^ par rapport aux variations séculaires , il s'ensuit qu'on aura dL == o, et par conséquent L = constante, équation qui doit subsister quelques variations que les élémens ^j ^9^9 7> ^'1 ^'^ etc., subissent dans la suite des siècles.
Si l'on multiplie les équations (M) , la première par
m \/a . i, la seconde par, m \/a . c, la cinquième par
iri\/a' .V , la sixième par m Sjci . t?', et ainsi de suite^ qu'on ajoute entre eux ces différens produits, on aura
my/a^hdh^cdc^-irrfi- \/'^.(^b'db'+c'dc')+m" \/^.{ydb''+c''dd') dh dh * , dh f dh ,g dh I, dL ,
U est aisé de se convaincre que le second membre de cette équation est nul de lui-même par la nature de la fonction L. Si l'on observe donc que les demi
grands axes a, ci y d* etc.^ sont constans et quô j&*H- c* = e* , A'* + c'* = a'* , etc. , l'équation précédente donnera en l'intégrant
m y/a . e*+/ii' \/a! . c'*+ nf \/^ . «'••+• etc. s= const. (
C'est-4i-dire que la somme des masses des différens corps du système^ multipliées par les racines carrées des demi grands axes et par les carrés des excentricités de leurs orbites^ sera la même dans tous les temps. Si l'on suppose donc cette somme très petite
à une certaine époque et tous les radicaux \A;
s/ a! y etc., de même signe, elle demeurera toujours peu considérable. Nous Terrons bientôt que cette remarque assure relativement aux excentricités des orbes planétaires la stabilité du système du monde. Si l'on multiplie les équations (M), la troisième
par m \/a ./? , la quatrième par m \/a . ^, la septième
par ml \/d . p' j et ainsi de suitt, qu'on intègre la j somme de ces produits en observant que, par la nature \ de la fonction L, on a,
dL dL , f dL f dL , „ dLâ „ dh
on trouvera i
D'ailleurs, en nommant ^, ^', ^", etc., les inclinaisons des orbites de m ,fn^, m", etc., sur le plan fixe des xjr, on a
p*+q* = tang* ç , /)'*+^'* = tang»Ç)' , p'* + q'^^z taiigV , eto L
L'équation précédente donnera donc
m v/â.tanê*^ •\'w! v/^.tang^'+w*" l/ô^ taiigV+etc.=ooxi8t., (/)
\ équation d'où Ton tirera, relativement J aux inclîùâi-^' sons des orbites, des conséquences analogues à celles qu'a fournies l'équation (e) par rapport à leurs ex-
\ centrîcités. ^
Si Ton multiplie les mêmes équations, la troisième par Trtsja , la septième par ni S/a'^ et ainsi du reste, qu'on les ajoute ensuite; si l'on multiplie la quatrième
par m \/a , la huitième par m \/al , et ainsi de suite; qu'on ajoute les produits , et qu'on intègre les deux sommes résultantes, en observant que par la nature de la fonction L , on a - ;
on aura les deux nouvelles intégrales suivantes :
m t^a •pA'-m \/a .p+ m" ^ a" .p" -f- eta srconstjï ^ » \
Si l'on multiplie la première des équations (M) par
m s/a.Cy la seconde par — ms/a.b^ la troisième par
m s/â.q^ la quatrième par— >» \/5./?, là cinquième pltr
vi sjcl .d ^ et ainsi de suite, et qu'on ajoute entre eux les produits résultans , on aura
is\ Tome I. 34
'"^^''C— rfT-)+'" *^''\— 52—)+"* ^"K — — j+*
Or^ la quantité que représente L étant une foncdon homogène du second ordre ^ par rapport aux n" riables b, c, p, if , V, c^^ etc., on a, par la propriélc de ces s<Mrtes de fonctions ,
7 dL , «flj , rf dL , ; dh ,
On a d'ailleurs > d'après les valeurs de b, c, p, ^}^)f^ c', etc. ,
odb — bdc = e^dêà , ^^^ — i'^/c^ = e^^dm^^ c'dV^ Vdc" ^ e"^da!', etc. , ' qdp-^pdq=^taxkg* (p ida,^ q^dp'-^p^dcftsAsxï^^ M) q'^df^p'df^Xzn^^i^'.d^', etc.
L'équation précédente deviendra doz^
a^ dt ai
et comme la fonctioa L est constante y on peut , dans le seck>nd membre de cette équation , substituer sa yaleur à un instant quelconque. D'ailleurs ^ comme les yariations séculaires des etcentricitës et des inclinaisons^ tant qu'on Hâ «considère que les termes du premier ordre pair rapport à ces quantités^ sont données par des formides absolument itidépdtidantes éiitre elleâ , on peut supposer lès orbites de m ^ m% wl'f etc.^ dans le même plan^ lorsque l'on ne consi^ dère que les yàriatlons des é:sccentricités ^ ou les supposer circulaires y lorsqu'on cœisidèrd celles des idclinaisous. En faisant donc tour à tour ^fi=o > tp'=o ^ (ff'sszo, etc. , et e==:o, e'csso, e"=o, etc. , dans l'équation {^^édente , on aura séparément^
Va» -T — H'» K « •—j h*» K a •— j h etc.=coiist.,
au ai eU
Kg. ^^ h/n Ka 2^ j-m j/a". — ^- hetc.=coiist|
Leti quantités ^ , ^, etc., g^, g-, etc., ej^pn^-
ment les vitesses angulaires des nçiouvemens des périhélies et des nœuds des différentes orbites f les équations précédentes donnent par conséquent une relation qui doit toujours exister entre ces vitesses, et montrent qu^elles ne pourront pas croître indéfîhiment , si on les suppose toutes de ménàe signé ^ ainsi
que les radicaux \/a, ya', etc.
Les diverses équations auxquelles nous venons de pnrenir expriment des relations qui doivent toù-^
jours subsister entre les ëlëmens des orbites de m, m\ etc. y regardées commc| des ellipses variables à raison de Faction mutuelle de ces corps , quels que soient les changemens que ces ëlëmens éprouvent dans la suite des temps , du moins tant qu'on n'aura ëgard^ dans la dëtermination de leurs valeurs^ quala première puissance des excentricitës ^ des inclinaisoos et des forces perturbatrices. Elles fournissent par xronsëquent autant d'équations de condition ^ au moyen desquelles on pourra vërifier ces valeurs lorsqu'on les aura déterminées.
55. Considérons en particulier les mouvemens des orbites de deux planètes m et m' que nous supposerons assez éloignées des autres corps du système ;» pour qu'ils n'aient sur elles aucune influence , en sorte que ces deux planètes forment entre elles ^ avec le Soleil, une sorte de système particulier. Nous verrons dans la suite que ce cas est^ à très peu près, celui de Jupiter et de Saturne.
Si l'on prend pour plan fixe , le plan de l'orbite ! jdiQmk une époque quelconque, qu'on nomme y Tin- I clînaison mutuelle des deux orbites , que nous sup- i poserons touj ours très petite , on aura ^ = o et ^' = 3^; j d'ailleurs, d'après la remarque que nous avons £iite : dans le n* précédent , si Ton ne considère que les variations des inclinaisons, on peut supposer nulles les excentricités dans la valeur de la fonction L , qui devient siniplement alors
i/^^synlfi
La fonctîoQ L' doit demeurer constante , quelques va* riations que subissent les quantités j?' et ^'; on a d'ailleurs ;?'•+ 7'* = tang* y\ L'équation précédente donnera donc '
tang (p' = tang >= constante ,
c'est-à-dire que^ dans ce cas^ finclinaison mutuelle des deux orbites est toujours la même.
Déterminons le mouvement des nœuds de Torbite de m' sur Forbite de m. Si dans la formule (5) du
n* 42 on remplace R par —r^ L', on aura
da:=--L== ^^ dt
En substituant dans cette expression^ à la place.de L' sa valeur précédente, et en négligeant les termes du second ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons , on trouve
Jet' 3^71 • ati . (a, a')
c'est l'expression de la vitesse angulaire du mouvement du nœud de l'orbite de m sur le plan de l'orbite de m. On voit que cette vitesse est constante. Le mouvement de l'intersection de deux orbites pen-« dant le temps ^ , en vertu de l'action mutuelle de
m et de m , sera donc - — ;= — )-^ — — • t sur le plan
de Forbite de /w : le mouvement de cettç intersection pendant le même intervalle sur le plan de l'or-
bîte de rtJ sera ^ \^ -(^f^ ) ^ ^ et leur inclinax-
soa mutuelle pendant ce temps ne variem pas.
Concevons un plan fixe intermédiaire ei^trç oeox des deux orbites^ et passant par leur commune intersection. Soit (f rinclinaisoa de Forbite de m, et (ff l'inclinaisQU de l'orbite de 771.' sur ce plan , en sorte qu'on ait (p' + ^ =.}^. L,e mouvement de§ noeuds de chacune des deux orbites sur le plan fixe sera déterminé par les équations
det ,1 ■ . (fLt
d^ m . y a. (i — e» ) sin ç.dç'
det I dh
L ayant la n^éme si^ification que dans le n^ 54-
Si Ton n'a égard qu'à l'actîou mutuelle de deiii^ planèteç m et m', et qu'on substitue pgur Pf^fP'9 ^ leurs valeurs n"" 53^ dans la fonction L^ on aura, aux quantités près du second ordre en <p et (^'^
dL dh
d'où l'on voit d'abord que les mouvemeins instanta-* nés dx et da- des nœuds des deux orbites sur le plan fîxe^ se font en sens contraire^ ce qui résulte en effet de ce que^ par la constraotion , le nœud ascendant de l'une d'elles coïncide avec le nqeud desoen* dant de l'autre , et réciproquement. On voit djç pliis que si l'on fait
I>U SYSTÈME DU MONM:. • 37$^
on aura, pour un instant quelconque^ dcL=i-'^da* , c'est-à-<Lire que^ dans ce cas ^ l'intersection commune des deux orbites restera toujours sur le plan que nous venons de considérer^ pourvu qu'il partage l'ai^gle y de manière à ce que les angles <p et ^' satisfassent à Féquation précédente.
Cette équation combinée avec la suivante qmn^est qu'une extension de l'équation (Z) du n** 54, et que nous démontrerons dans la suite ,
m. \/a.{i — e»).sin*^+m\ ^^'.(i — e'*).sin*(p'=:^% donne
Ces valeurs montrent que les deux angles ^ et ^' sont constans ; les inclinaisons des orbites de m et de ^' sur le plan fixe sont donc invariables , ainsi que Wrs inclinaisons mutuelles ; ces trois plans auront toujours une intersection commune^ et le mouvement fie cette intersection sera uniforme. Nous verrons dans la suite que le plan qui jouit de cette prppriété remarquable , est celui du nfoximum des aires ^ que nous avons nommé plan invariable dans le n*" ^5 iu pineniier livr^ç.
56^ Il nous reste à cpasidérer la variation de la Ioi3h gitude € de l'époque. La troisième des formules (i i) du Q* 46 qui la détermine, peut être mise sous cette ÎForme :
Si dans cette formule on substitue à la place de F ta fonction — .L du n* 54^ poui' avoir des formules symétriques pour toutes les planètes^ on aura
^ ^ ^ m da
Désignons par g', e", etc. , ce que devient e relativement aux planètes m% m', etc. , nous aui*ons , pour déterminer les variations de', dé'*, etc. , des formules analogues à la précédente , en marquant successivement d*un accent dans celles-ci, les lettres m,n,af e, û). Cela posé, si l'on multiplie ces différentes formules, la première par m s/a, la seconde par rrisfd et ainsi de suite; qu'on les ajoute en observant qu'on
a généralement a \Ja • ;i := i , on trouvera
m\/ a. dt + mf \/âf ,dt'+ m" y^T? .dt''+ etc. '=:=Lm^ a . (i — v/ 1 — «*) . A»
L étant une fonction homogène en a, a', o", etc., de la dimension — i ; on a, par la propriété de ces fonctions.
Nous ayons vu^ n^ 54^ que la fonction L €st cooistante par rapport aux variations séculaires des ëlémens de m, m', etc. ; d'ailleurs , si l'on néglige les puissances des excentricités supérieures à la deuxième^ ou a, numéro cité ^
C étant une constante invariable.
On aura donc enfin ^
'^V^- ^ + ^' ^^•%+^" V/^-^+^*^- =const., (j)
relation semblable à celle qui existe entre les longitudes des périhélies et des nœuds , et dont on peut lîrer des conséquences analogues.
Si Ton né veut considérer dans le premier membre
ie réquation précédente^ que les tenues de ^^
37, etc., qui sont proportionnels au temps, on
[)ourra faire abstraction de la, constante du second tnembre. On aura donc entre ces termes l'équation
71 s/â.de+m' S/a'.d^-i-m" y/'ëP.de"'hetc.=o, (i)
3^e THÉORIE ANALYTIQUE
d'où il suit qne la somme des termes des longitudes i, e', i\ «tc.^ proportionnels au carré et aux puissances supérieures du temps ^ multipliées respectivement par m\/a^ wt y/a', ni* sfd' 9 etc., est constant. On retrouve donc entre ces parties des variations séculaires dès la longitude de l'époque , les mêmes rslations qu'on remarque entre celles des carrés des vtt* clinaisons, et en général^ entre les inégalités dont les périodes sont très longues.
57. Nous avons fait voir que la fonction L, et par conséquent la fonction F du n^ 46 , ne varient pas lorsqu'on y fait varier les élémens a^ b, c^p^ g à la planète troublée et des planètes perturbatrices; en vertu de leurs inégalités séculaires ; c'est-àndire qu'on aura toujours
Nous n'avons démontré cette proposition qu'en portant l'approximation jusqu'aux termes de Tordre du carré par rapport aux excentricite^ et aux incli' naisons; mais il est facile de Tétendre à toutes h puissances de ces élémens. Ep effets si Fou substitue à la place de da, db, etc., da', db', etc. , leurs valeurs déterminées par les formules (i i) du n** 46, l'équation précédente se ^vérifiera d'elle-mêpaej d'où l'on peut conclure que la fonction F est rigoureusement constante par rapport aux variations séculaires de la pla* nète troublée et des planètes perturbatrices.
Dans le chapitre suivant, nous examinerons en particulier les inégalités séculaires de chacun des âé-
ou SYSTEME DD MONDE. 379
nens des orbites planétaires; nous développerons les brmules différentielles de leurs variations^ et nous les ntégrerons ensuite ; et comme la forme des intégrales L la plus grande influence sur la oonstitution et sur A stabilité du système solaire y nous donnerons à cet sxamen toute l'étm^ue et tous l?a développeaiws que son importance eJlJge,
38o THÉ(»IIE ANALYTIQUE
