PLANÉTAIRES

F'ariations séculaires des grands axes et des moyens

mous^emens.

58. Le grand axe est, de tous les élëmens des orbites planétaires^ celui dont les variations séculaires sont les plus importantes^ parce que non-seulement il influe de la manière la plus directe sur la forme de l'oii'bite, mais encore, parce qu'il détermine le moyen mouvement, ou, pour parler plus exactement, ce qni dans l'orbite troublée répond au moyen mouvement dans l'orbite elliptique; d'où il résulte que la moindre altération dans le grand axe de Forbite d'une planète en produit une nouvelle , beaucoup plus sensible en* core , dans la durée de sa révolution.

En eflet, si l'on fait n = a"», et que l'on désigne par Ç le moyen mouvement de /ti, on a dans l'orbite elliptique d!^ = ndt. Or , nous avons vu qu'on pouvait dans le mouvement troublé , supposer que pendant chaque instant infiniment petit dt la planète m se meut dans un orbe elliptique; Inéquation précédente aura donc encore lieu dans ce cas , seulement

DU SYSTÈME DU MONDE. 3»i

la quantité n ne sera plus constante , et ce mouvement, par conséquent y ne sera plus uniforme* Nous continuerons cependant, par analogie, à appeler Ç ou l'intégrale fndt le moyen mouyement de la planète troublée, parce qu'il coi^respond, dans les fonnules du mouvement troublé, au moyen mouvement nt dans les formules du mouvement elliptique. On aura, n'^ 45, pour déterminer Ç dans l'orbite variable , la formule

t,z=,^Z.ff andt.tm, (i)

et la valeur du grand axe sera donnée par l'équation

a = a.fa\d!K. (2)

On voit donc que si la différentielle ^fR renferme un terme proportionnel à l'élément du temps , ou, ce qui

revient au même, si -^ renferme un terme constant,

9 en résultera dans l'expression du grand axe , un terme croissant comme le temps et de la forme kt ^ k étant ime fonction des élémens des orbites de m et de m'; et dans l'expression du moyen mouvement, un terme de la forme kt*^ qui , croissant comme le carré du teiAps, deviendra à la longue extrêmement sensible. Ainsi, au bout de quelques siècles, la forme des orbites et la durée des révolutions des planètes pourront se trouver sensiblement altérées. Si au contraire la différentielle ^'R n'est composée que de termes périodiques, c'est-^à-dire qui ne contiennent pas le temps ^.hors des signes sinus et cosinus, les Valeurs de a et ^ ne contiendront que des termes semblables : les grands axes des orbites et les moyens

mouvemens ne seront soumis par conséquent à aubaine inégalité séculaire^ ou snsoeptible de croître indéfiniment avec le temps , ils ne seront assujettis qu'à des inégalité périodiques dont oa pourra toih jours assigner les limites ^ et qui , dépendant uniqn»* ment de la configuration des difierens corps à système , reprendront les mêmes râleurs toutes ki fois que ces corps reviendront aux mêmes positiotti

Il est donc extrêmement important d'examiner avec soin la forme de la différentielle dfK. Nous ayons déjà yu, n^ 4^^ que cette différentielle ne pouTik contenir que des termes périodiques , lorsqu'on nV vait égard qu'à la première puissance des forces po^ turbatrices^ quelque loin d'ailleurs que l'on porte approximations par rapport aux puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites. Mais^ pour ne laisser aucun doute âur ce point, l'un des plus inié' ressans du système du monde, nous allons reprendie ici cette démonstration , et nous retendrons ensaik au cas où Von considère les carrés et les produits di forces perturbatrices.

5g. Reprenons la formule du n"" ^5,

La caractéristique d ne se rapporte ici qu'am coordonnées de la planète troublée , en sorte qae si l'on regarde R comme une fonction des csoordonnées x^j, Zj sffjy\ z', etc.| de la planète Ikx>tLblée etdtf >^ planètes perturbatrices, on a

tfîK tîtï //n

*ar coaséquent^ si l'on remplace les Goordonnées ;, j-, z, a/, ^, z', etc. , par leurs valeurs en fonction la temps ^ il £audra pour avoir la différentielle d'R, aire varier le temps qui aura été introduit dans R par 9L substitution des valeurs des coordonnées de m, et r^axder comme constant celui qui provient des coordonnées de m', m", etc. ^ c'est-à-dire qu'on aura

fK =i± "27 • ^^ 9 ï^ temps t ne devant varier dans R

qu'autant qu'il est multiplié par la constante n.

Cela posé , ne considérons, pour plus de simplicité, que l'action mutuelle des deux planètes m et m' ; ce que nous allons dire pouvant d'ailleurs s'étendre, comme on le verra , à un nombre quelconque de plaiietes perturbatrices. Si dans une première approximation on néglige les puissances des masses perturbatrices supérieures à la première, il suffira de substituer dans R, à la place des coordonnées de m et de m' , leurs valeurs relatives au mouvement elliptique. Nous ayons vu que la fonction R peut toujours se réduire ^ors en une suite infiùie de sinus et de cosinus ^'angles croissant proportionnellement au temps , de sorte que chacun deg termes de ce développement sera de cette forme

n/.k.coê{i'n!t—int'^k);

^et n'i représentai lëi mio^ens mckil^^etncins de la ^atiète troublée et de la planète perturbatrice^ i et t 4es nombres entiers qui peuvent prendre toutes les Valeurs positives et négatives y compris zéro; enfin.

Â et Â:^ des fonctions des ëlémens des orbites de m et m' indépendantes du temps t.

Pour avoir la différentielle de ce terme, par rapport aux coordonnées àe m^ sans faire varier ceUes de m', il faut différencier, par rapport au moyen mouvement nt^ et regarder le moyen mouvement Tilt comme constant. Cette différentiation fera disparaître le terme constant du développement de R qui répond à i' = o , £ = o , et l'on aura, relativement au terme qui précède ,

d!K = m' . Am dt . sin {i'n't — int + k).

Le terme correspondant de da sera donc

da =5 aw! . Aina^dt . sin (i'n't *— int + A:) ,

et en intégrant , on aura

• cTa = — * -^r-; — r— • cos (r/i'^ — ine+ k) •

La différentielle ^a ne peut contenir aucun terme constant , à moins que l'on n'ait ^V — inzrzo, condition qui suppose les moyens mouvemens des planètes m et m' commcnsurables entre eux , ce qui n'a jamais lieu dans notre système planétaire. Le grand axe, et par conséquent le moyen mouvement, ne contiendront donc aucun terme croissant , comme le temps^ et ils ne seront assujettis qu'à des variations périodiques dépendant des moyens mouvemens nt et n!t, et de leurs ^i^ultiples , du moins tant qu'on n'aura égard qu'à la première puissance des masses perturbatrices.

DU SYSTÈME DU MONDE. 38i^^

Si le rapport des moyens mouyemens ni et n'i^ sans ;tre exactement commensurable^ approchait beaucoup le celui de i* à /', la quantité tV — in deviendrait 1res petite , et le terme précédent de la valeur de JVï , et à plus forte raison celui qui lui correspond dans l'expression du moyen mouvement, et qui a le carré (iV — inf pour diviseur, deviendraient très considérables* Il en résulterait, dans l'expression de la longitude moyenne de la planète m , une inégalité qui , croissant avec une grande lenteur, pourrait faire penser, lorsqu'on comparera les anciennes observations mx modernes, que son moyen mouvement n'est pas aniforme , et qu'il est affecté d'uue inégalité à longue période du genre de celles que l'on nomme inégaU-' fes séculaires C'est ce qui est arrivé pour Jupiter et Saturne • Cinq fois le moyen mouvement de Saturne est k fort peu près égal à deux fois le moyen mouvement de Jupiter, en sorte que la quantité 5n' — 5n n'est ' pas la soixante-quatorzième partie den; et cette circonstance singulière produit les grandes irrégularités observées dans les mouvemeus de ces deux planètes , ^ qu'on avait regardées long-temps comme inexpli- <^ables par la loi de la pesanteur universelle.

60. Voyons si le résultat précédent subsiste encore, lorsqu'on considère les carrés et les produits des masses ^etm'. C'est une question importante à examiner , parce que si la seconde puissance dés forces perturba- •rices introduisait des termes non périodiques dans 'expression différentielle du grand axe , ces termes , |uoique multipliés par le carré des masses, en acquérant par la double intégration qu ils subissent dans