Tome L

l'expression du mouvement moyen , de très petits diviseurs du même ordre, deviendraient, après Tintégration, indépendans des masses, et produiraient des inégalités séculaires semblables à celles des autres élémens de l'orbite, qui dépendent de la pre^liè^e puissance des masses et qui sont données par une seule intégration. On sait d ailleurs qu'une inégalilé de cette espèce, si elle existe , serait du second ordre par rapport aux excentricités j elle deviendrait comparable par conséquent à l'inégalité du mouvement elliptique, dont l'argument est le double de l'anomalie moyenne , c'est-à-dire au second terme de l'équatioa du centre. U est donc essentiel de s'assurer que le carré de la force perturbatrice ne produit que des termes périodiques dans l'expression du moyen mouvement, ou que si elle y introduit quelque inégalité séculaire, son coefficient^ qui est une très petite quantité da second ordre dans la valeur différentielle de cet élément, restera encore insensible après l'intégration.

Les termes du second ordre, par rapport aox masses, sont introduits dans R par les variations des élémens elliptiques de la planète troublée et de la planète perturbatrice. Si l'on substitue donc dans R aJ^^a^ e + «Pe^etc., a'-f-cTa', e'-f-cTe', etc.,àla place de a, e, etc., a% e\ etc., la caractéristique/, désignant ici des variations dépendant seulement de la première puissance des masses /ti et m\ qu^on développe ensuite la fonction résultante que nous désignerons par R^ , en se bornant aux termes de l'ordre du carré des masses , on aura

R^=:RH-J^R + cr'R. (ri)

En supposant pour abréger

JR=^.Ja+^.^.+^.^.+5;;.^- + ^.c^y> + ^./^,

Véquation (a) donnera^ en la différenciant par rapport à d'y

On doit remarquer ici que, pour avoir la différentielle d! . tTR , il faudra , d'après ce que nous avons dit précédemment y faire varier dans SK le temps introduit par la substitution des valeurs des coordonnées de m et des variations Sa y cTc, etc., et regarder comme constant celui qui provient des coordonnées de m! i de même pour avoir d' .^R, il faudra faire varier dans J^R le temps introduit par les coordonnées Xy y y z , et regarder comme constant celui qui résulte des coordonnées od y j'y z'y et des variations cT'^'/J^ê', etc., des élémens de l'orbite de m'.

Examinons successivement les trois termes de la valeur de d*R^ , pour nous assurer qu'aucun d'^ux ne peut contenir de partie non périodique* Le terme d!R est celui que nous avons considéré dans la première approximation; pous avons prouvé qu'il /ne renferme aucun terme de cette espèce ; passons donc de suite au second. Si dans l'expression de eTR on î'emplace les variations S'a^ J^Cy par leurs valeurs résultant de l'intégration des formules différentielles du ^° 4^ , on aura

^(/i — ^* \c(pj û^7 dq J dp J

Il faut observer que la différence partielle (n-j

doit être prise ici sans faire varier n^ conformément à la remarque faite n* 45*

Pour avoir la valeur de à! .SK^ il faut différencier complètement l'expression de cTR relativement aux variations des élémens de rrij ou^ ce qui revient au même , supprimer les signes/ qui n ont été introduits que par l'intégration des valeurs différentielles de ces élémens ^ et alors cette expression est identiquement nulle. Il suffira donc^ pour avoir d'.J'R, de difierencier dans J'K, par rapporta nt, les quantités hors du signe /• Mais si Ton substitue dans JTR à la place de R sa valeur développée en sinus et cosinus d'angles multiples^ des moyens mouvemens nt et n't, les différens termes de cette fonction pourront prendre cette forme V .JX^.dt — Q^.fP.dt, en représentant par P et Q une suite de termes de la forme

A."^'- (ifnt — int + k),

i et t' étant des nombres entiers quelconques^ positifs ou négatifs.

Pour aVoit dans

d'.{V./(l.dt — Q.f?.dt)

les termes où les moyens mouvemens ni, ii'^ produisent en se détruisant des termes non périodiques, il Faut combiner ensemble Ie& termes dé F et Q. qui dé<« pendent des mêmes multiples de nt et de nft. Soit donc A.cos (i'n't — irU -+• k) un terme quelconque de P, et soit Af .cos{iWt — ini-^k) le terme de Q qui a le même argument, on aura, relativement à ces termes,

i.SK:=ikJndt.An{Sn't—int4'h).fk'dt.cos{ih't — int+k) — A' . indt. sin(i'n t-^int+ k) . fA.dt . cos{i n't — i/i/+ k) ; .

expression qui se réduit k zéro lorsqu'on effectue les intégrations indiquées. Concluons donc que les yariations des élémens de la planète troublée m ne produisent dans d'R, aucun terme non périodique.

n nous reste à considérer les différens termes de l'expression de d'.J^'K résultant des yariatioi^s dea élémens de m' ; il n'est plus possible Remployer ici la réduction précédente, parce que la fonction R n'étant pas symétrique par rapport aux coordonnées a?, 7, z, oc^,y, z', cette fonction changera de valeur relativement aux pertubations de la planète m\ Soit R^ ce que devient dans ce cas R , on aura

et par conséquent

Rs=^.R'H-/»'.(^:c'+j7'+;sz').(i-f3)»

3<jô THÉORIE ANALYTIQUE

La variation de R produite par les variations des ëlëmens de Torbîte de m! est donc égale à la variation du second membre de cette équation relative aux variations des mêmes élémens y et par conséquent^ si la différentielle de cette variation relative à la caractéristique d! ne rénferftie aucun terme non périodique y on sera assuré que la fonction d . (fK ne saurait contenir non plus aucun terme semblable. Considérons d'abord le premier terme de ce second membre : on aura , en vertu des varations de m',

^^, dK f. , , oR ^ . . oR K / I ^R K # I ^^ K / • ^R 1^ f

'^^ -37-^^ +"S7-'' -»^-^^ -^-^^ -^df'^+d^^^

Si Ton remplace M, ^e% â'ê', J'e»', ^p\ \3'(f par leurs valeurs , on voit ^ par l'analyse précédente ^ que ^'R' pourra se décomposer en une suite de termes de la forme F./Q'.^ — Q'*/.PW^ et pour avoir la différentielle d .V^f il suffira de différencier , par rapport à n^^ les quantités hors des signes /*, celles qui sont sous le signe intégral étant relatives aux élémens- de la planète ni^ et devant par conséquent être regardées comme constantes. On prouvera ^ par la mêmef analyse ^ que cette fonction se réduit à zéro lorsqu'on n'a égard qu'aux termes non périodiques qu'elle peut renfermer. La fonction différentielle d\S^^ ne contient donc que des termes périodiques, et si des termes non périodiques peuvent exister dans d . cT'R y ils ne proviendront que de la variation de

la fonction ni .{xx^ '^ yf '^ zt!) . T^ \A.

Désignons pour abréger par L cette fonction. Si

dans la première des équations (A) du n® Sy, on substitue M^m h la place de ;t , M étant la masse du Soleil , on en tirera

on aurait pareillement

~ M* "3?" M V3"*'ivr • Wa

Les équations différentielles QnjTy z,f et z' fourtiiront des équations semblables. Si l'on multiplie respectivement par ocf jf y z\ les équations en jc,/, » ainsi obtenues^ et par x, y ^ z les équations en à/, y, z\ et qu'on retranche ensuite les secondes des premières , on aura

en nommant, pour abréger, N la fonction en or,^, a, od jj^y z' du second ordre relativement aux masses m et /»', déterminée par l'équation

1» nî*^ ^xx' +yy' + z%\ mm' fxx* + y y + zz\

L'équation (c) donnera, en la différenciant par rapport à la caractéristique d! , et ne considérant que le ' premier terme du second membre ,

j'i ^' J rd,{xdx' — x'dx+ydy' — y'dy+zdg!^z'dz)'l

cfL=^.rf. L ^dF"*-^'^ ^ J*

Cette fonction ne contient aucun terme périodique lorsqu'on substitue pour x^j y z, x' , jr\ z' leurs valeurs elliptiques. En effet^ les coordonnées x^y^i ne contiennent que des termes périodiques dépeadaDt de l'angle ni et de ses multiples , et les coordonnées x\ y\ z' ne renferment que des termes semblables dépendant de n't ; il est donc impossible que les moyens mouvemens nt et n't disparaissent dans les produits xdx\ x'dx^ etc. ; les termes non périodiques que ces produits peuvent contenir proviendront donc de la variation des coordonnées de m et de ni ^ mais ces termes disparaîtraient, s'ils existaient, par la difierentiation dans la valeur de ^L.

En n'ayant égard qu'au terme N de l'expression L| on aura

La fonction N étant de l'ordre du carré des masses, si Ion n'a égard qu'aux termes de cet ordre, il sniEra de substituer dans N , au lieu des coordonnées de m et de ni , leurs valeurs elliptiques , et il est aisé de se convaincre alors que ef N ne renferme que des quantités périodiques. En effet, des équations du mouve*' ment elliptique de m et ni on conclut

XX* +yy + zz' x'd*x +ydy + zd^z

x^' +yy + gg' xd^x' +y^y + zd^z'

r' "" (M -f- w) . rf^'^

DU SYSTÈME DU MONDE. SgS

La fonction N devient donc ainsi

de J

mm' fx'd''x-^ydy+z'd^z\ , m' r , fdBiK /dR\

:(M+^\ di?' )^~îi-\f\di)'~''\:£?)

Les deux premiers termes du second memlH^ ne renfisrment aucun terme non périodique; car nous ayons prouvé précédemment que les produits de la forme xd^x' ^ x'd^x^ etc., ne pouvaient contenir aucun terme semblable lorsqu^on substituait simplement pour x, x', etc., leurs valeurs elliptiques. Quant au dernier terme, si Ion substitue dans R à la place des coordonnées de m et m' leurs valeurs elliptiques , cette fonction pourra se développer en une suite de cosinus d^arcs multiples de nt et de n't^ et Ton aura la

différentielle —, en ne faisant varier dans R que ce qui

se rapporte aux coordonnées de m y d'où il suit que cette différentielle pourra contenir des sinus et cosinus d'angles multiples de ntf mais jamais aucun sinus ou cosinus où entrerait isolément l'angle n!t. La valeur de x! ne contenant d'ailleurs que des termes périodiques dépendans de /z% il en résulte que les moyens inouvemens nt et n!t ne sauraient disparaître dans

-^\ On démontrerait de même que les autres produits semblables

ne peuvent contenir que des termes périodiques , et que par conse'quent la fonction N et sa différentielle eZ'N ne sont composées que de termes semblables. Il suit de là que la fonction différentielle dl . cT'R ne renferme que des quantités périodiques, du moins' tant quon ne porte l'approximation que jusqu'aux termes du second ordre par rapport aux masses.

Les résultats précédens peuvent aisément s'étendre à un nombre quelconque de planètes perturbatrices* Soit en effet nf une nouvelle planète dontjba considère l'action sur m\ elle ajoutera à la fpuÉtion R les termes^

Les variations des. coordonnées de m et de ni' , ré^ sultant de l'action réciproque de ces deux planètes, produiront dans la variation de R des termes multipliés par mm' et par m"*, et l'on prouvera par l'analyse précédente qu'aucun d'eux ne pourra donner dans d' . cT^R de termes non périodiques.

Les variations des coordonnées de m' résultant de l'action de ni' sur m' produiront une variation dans la partie de R dépendairt de l'action de m' sur tîi, et qui est représentée par

Il en résultera, dans R, des termes multipliés par m'm" et qui seront fonctions des coordonnées ellip- ^ tiques jc ,/ , z et des angles n't^ n^'t, ou bien, en rem- L

DU SYSTÈME DU MONDE. SgS

plaçant x,^, z par leurs valeurs, des termes fondions des trois angles nt, n^t, n'^t. Les trois moyens mouvemens ne pouvant se détruire entre eux, ces termes ne produiront que des termes périodiques dans d'R. D'ailleurs sll existe ^ dans le développement de 11 , des termes indépendans du moyen mouvement nt, ils disparaîtront d'eux-mêmes par la différentiation dans ^fR, et si l'on considère au contraire les termes dépendans de cet angle seul, ces termes seront de ]a forme ni!m".dfF, P étant une fonction des coordonnées elliptiques de m. Il en résultera dans fd'K des termes de la forme /wW . /d'¥ ou m'nf . P, puisque. d'f est une différentielle exacte. Ces termes seront donc encore du second ordre après l'intégration , çt nous négligeons les quantités de cette espèce dans la valeur de cette fonction.

De même, la variation des coordonnées x, 7^, z, produite par Faction de nJ' sur m, ne peut introduire dans la partie précédente de R que des termes multipliés par /?iW et fonctions des coordonnées a:', jr', z'# et des angles nt bu n'U, ou fonctions simplement des trois angles nt, vit, riH, et ces trois angles ne pouvant se détruire entre eux, il n'ep saurait résulter dans d'R que des termes périodiques. Quant aux termes dépendant seulement de ntj ils ne produiront que dès termes non périodiques de l'ordre mW dans /fi?'R.

Les inêmes raisonnemens s'appliquent évidemment à la partie de Jl , dépendante dé l'action de ni^ sur m.

Concluons donc enfin que, quel que soit le nombre desplanètes dont on considère l'action réciproque, les Variations des élémens elliptiques de la planète troublée

et des planètes perturbatrices ne produiront dans d^ aucun terine non périodique, du moins tant quon n aura égard qu'aux carrés et aux produits des masses * perturbatrices.