Reprenons maintenant la formule

daz=z2a^ .d'K. (2)

Lorsqu'on a égard aux quantités du. second ordre * par rapport aux masses , il n'est plus permis de regarder comme constant le facteur a* dans le second . membre de cette équation : en substituant donc à sa \ place (a + cTfl)* et intégrant l'expression résultante, on aura pour déterminer la variation du grand axe de l'orbite de m, la. formule

J^a z= 2a* . /t/'R, + 8a» . /( J'R . fàTK).. (3)

Nous venons de voir que yisï'R, ne renfemie que des quantités non périodiques de l'ordre mm' ,. lors- *quW considère dans R^ les termes du premier et du second ordre par rapport aux masses perturbatrices. R étant une simple fonction des coordonnées ellip* tiques de la planète troublée e\ des planètes perturbatrices ^ peut se développer en une série de cosinus d'arcs multiples des moyens mouvemens nt , vit, etc. ■ Soit I

ni. h. . cos(i'n't — int^k)f \

l'un des termes de ce développement. Les termes correspondans de ^R et de fd'K seront

d'K == ' indt . /n'A . sîn (fn't — int + k) , /2f R —^ T-^.- • m'A . cos (i^n't — int + A:) ;

; il faudra évidemment combiner ensemble ces îrmes dans la valeur de cTa pour que ni et n't puismt s'y détruire. Mais on a de cette manière

rR ,/^m = J^^ . -— . sin n {i!n't— int + k\

K qui donne dans S'a une inégalité périodique dé* fendante de Fangle !i(J!n^t — int 4- A:).

n suit de là que la variation du grand axe de Torbite d'une planète ne peut contenir aucune inégalité séculaire du premier ou du second ordre par rap«x>rt aux forces perturbatrices^ qui puisse devenir ensible par la suite des siècles, quel que soit le lombre des planètes qui troublent son mouvement, la même résultat s'applique évidemment à la variaion du moyen mouvement; en effet, nous avons rouvé poui^ la déterminer la formule

dÇ=^5.fand!K.dt. (i)

a l'on considère les termes du second ordre, il faut garder comme variable le facteur an dans le second

Qoembre de cette équation: or, on a anz=2a'^,d!o\i l'on tire en différenciant

d.an=.'^a* . -1= — a^n.dK.

^ valeur de cTÇ deviendra donc par conséquent

jUk

Formule qui ne peut renfermer aucune inégalité séculaire, si la formule (5) n'en contient pas.

Concluons donc de l'analyse qui précède, ce beau théorème qui est de la plus haute importance dans h théorie du système du monde : Les mjojens rrunir vemens des planètes et les grands axes de leurs orbites sont invariables lorsqu'on fait abstraction des inégalités périodiques et que l'on néglige les quantités du troisième ordre par rapport aiujc forces perturba^ trices.

Ce résultat cesserait d'avoir lieu si les moyens mouvemens de la planète troublée et des planètes perturbatrices avaient entre eux des rapports com- J mensurables. Nous avons vu que ce cas n'existait pas dans la nature lorsqu'on n'a égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices ; mais il pourrait se présenter lorsque l'on pousse plus loin les approxi- j mations. En effet , si Ion considère l'action mutuelle '-. de trois corps m, ntf , ni' circulant autour de M, où .' voit par l'analyse précédente qu'il en résultera dans d'Vi des termes du second ordre par rapport aux masses /w, m', m'', et de la forme K.sin.(in/«— irii 1 ^t'ri't-^k). Si l'on suppose donc que les rapports des \ moyens mouvemens nty n't^ ri't soient tels que b quantité in — i^n! -f- i"/i" soit une très petite fraction de 7z, il en résultera dans la valeur de Ç une inégalité qui pourra devenir considérable. Ce cas très singulier se présente dans le système des satellites de Jupiter; le moyen mouvement du premier satellite, moins

ois fois celui du second plus deux fois celui du oisième, est exactement et constamment égal à zéro^ est-à-dire que Ton a /i -— 3/i' + 2i»"c= o ; et ce hénomène, unique dans le système du monde/ prouit dans les moyens mouvemens de ces astres des ariations dépendantes de la seconde puissance des nasses perturbatrices que la théorie détermine, mais |ue les observations n ont pu jusqu'ici rendre senibles.

63. Il suit du théorème que nous venons d'énoncer :]ue, dans la suite des siècles, les orbites planétaires ne reront que s'aplatir plus ou moins en vertu des inégalités séculaires de leui's excentricités ; elles conserveront toujours les mêmes grands axes; et les moyens Qouvemens , qui s'en déduisent par la trfisième loi ^ Kepler, seront inaltérables, ou du moins, s'ils sont ^umis à quelques variations séculaires, elles seront infusibles. On ne peut pas encore en conclure rigou- Posément , il est vrai , que la durée de la révolution Ldérale moyenne des planètes sera constante aussi; en ffet, nous avons vu n'' 2a que la planète m revenait H même point de son orbite lorsque la longitude kioyeime nt-^-e était augmentée d'une circonféreuce ; te premier terme de cette expression , qui est pro-* txement ce qu'on appelle le moyen mouvement de la planète, croit uniformément avec le temps, et son Qpefficient est invariable , comme nous venons de le ^oir; mais le second terme peut être soumis, comme ^ous le démontrerons bientôt, à des inégalités séculaires contenant des termes croissans comme le temps vtdu premier ordre par rapport aux masses, et des

îi

4oo THÉORIE ANALYTIQUE

termes proportionnels au carrç du temps et du second ordre par rapport à ces masses. On pourra faire abstraction des premiers , parce qu'ils s'ajouteront au moyen mouvement; mais les seconds produiront dans la longitude moyenne de véritables inégalités séculaires. Heureusement ces termes^ comme nous le verrons ^ sont tout-à-fait insensibles pour la Terre ^ et pour les planètes ; mais ce sont eux qui produisent l'accélération séculaire qu'on observe dans le mouy& ' ^ ment de la Lune , et dont les astronomes avaient long-temps vainement cherché la cause.

Les résultats précédens s'appliquent à tous les corps de notre système planétaire ; mais c'est surtout dans la théorie de la Terre que leur importance se îà sentir, à 4|use de l'influence que les inégalités de sob moyen mouvement auraient sur la durée de l'année sidérale 9 élément que les astronomes ont toujours regardé comme invariable et qui sert de base aox calculs de toutes les tables des mouvemens célestes. On devait désirer qu'il ne restât aucune incertitude sur une donnée aussi essentielle; mais d'une parties observations anciennes sont trop peu exactes, et de l'autre les modernes sont comprises dans un tr(^ court intervalle de temps pour qu'on en pût condore riea de certain sur l'invariabilité de Tannée sidérale. Cette question est donc une de celles où la théorie devait devancer l'observation, et l'analyse que nous venons de développer fixe un point important du système du monde, qui n'aurait pu être établi d'une manière incontestable^ par les observations seules , qu'ûprès un grand nombre de siècles.

DU SYSTÈME DU MONDE. 4oi

Fariations séculaires des excentricités et des longi^

tudes des périhélies.

63. Après avoir démontré l'invariabilité des grands axes et des moyens mouvemens par rapport aux iné- «yalités séculaires, avec tout le soin qu'exigeait cette iqiportante question , nous allons examiner successivement les variations séculaires des autres élémens des orbites planétaires.

Commençons par les variations des excentricités et des longitudes des périhélies. Pour cela, reprenoiis les expressions différentielles de ces variations, dcmnées n** 46 >

e dm ^

e de

En différenciant par rapport à â> et par rapport à e la valeur (») de F, trouvée n** 53, on aura

dF 3m'.aa',(,a, a)'

tû~~ 4.(o"—fl»)» ■ ' '

+ â.(o-'~ay ''•^^'' ""•^'

Si par conséquent on fait pour allréger

[^-1 ___^ 3/71 • a*û n,(ji^a. ) «,«J— 4.(a'»-a»)» *

— ;-| 3m'. an . [a(/.{a,a') + (a*4- û'').(a,o')']

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