Tome I. a

4oa THÉORIE ANALYTIQUE I

on aura , pour déterminer les variations séculaires ' des excentricités et des périhélies, en ne portant l'ap- i proximation que jusqu'aux premières puissances des excentricités et des inclinaisons , et en ne considérant que Faction d'une seule planète perturbatrice m', les \ deux équations

^ = la,a'^ . é. sin (a>'— û»), j

^ = [a,a'] — \cr,a!\ . — • cos (o)' — où).

L'action des planètes m", rnl'^j etc. , ne fera qu'ajouter à ces équations des termes semblables. Désignons donc \

par [^,/ï'"] y r^,iï J f ce que deviennent les fonctions j \afd ] , [«,«'1 , lorsqu'on y change al et rrJ en a" et w";

désignons semblablement par [û,yx'"] , a,a'"\f ce que

deviennent ces mêmes fonctions lorsqu'on y change a' et m^ en a'" et m'", et ainsi dé suite; on aura , en I vertu des actions réunies de tous les corps m', m'', m!", etc. ,

^ssjfaja'l . e'.sin (cù''^ûi)+\a,a'l.e''.sm (a*'—»)

-4- etc. , ^î=[a,a']+ [a,a'']+etc. — • a,(/] A. cos(û>' — t»)

— [a,^''! • — .cos (û)" — o)) — etc.

De ces expressiopsi il est facile de conclure celles de

de' dJ dé" dm" ^ , * ^ • ^

— ^ "5^^ 57' 'dt^ ' ^^ changeant successivement, dans les équations précédentes, ce qui se rapporte à la planète m dans ce qui se rapporte aux pla^* nètes 172^, v[i\ etc., et réciproquement. Soit donc-

[a^a],[aV^,[aV*],etc,,fa^,a|, ["g^ af\ [aV^'],etc. [a^g^,[a^g],[a^a'^,etc.,[^2], 123' [5?]'®*^*

etc.

ce que deviennent le$ fonctions que nous avooâ désignées par

\a,ar\y {a,a"],[a,a% etc.,[â2|, [a,a^], [â^,etc..

lorsqu'on y change successivement ce qui est relatif km en ce qui se rapporte k m!^ m", etc. , et réciproquement; nous aurpns pour déterminer les excentricités et les périhélies des orbites de m, m% ni'^ etc., le système d'équations 4iiiférentieUes suivant :

dt^

a,a'l .e'4sin(âi'- a>) -f-[^£^*«"-sin(û>*-a>}-4-etc,,

dé'

— =z jV^J.e.sin(ûi -û)') +[V^'Te^sin(ea^'W)-4-etc.i

'^=:\a!',a] .e .sin(û)-a>") +[a^an .e'.sin(û)'-û)'')+etc.ï . . etc.

^ = [a^a'] 4- la,a!^ -f- etc. — \a,a^l . j.cos («'-^û))

— { g^ g j . — . cos (o)"— ey) — • etc. ,

4o4 THÉORIE ANALYTIQUE

— [a',^i" ] A . cos (a>" — û)') — etc., ^= [^>]+[a^a'] + etc.— [^]A.cos(a>-.fl'|

— r^V[' 1 • -^ • cos (ûi' — û)") — etc., etc.

On détermine fort simplement , au moyen de ces formules , les yariatioas annuelles des excentricités et J des périhélies. En effet , pendant ce court intervalle, t on peut supposer constans les élémens e, é^ etc. , I dùj ûû>\ etc. y qui entrent dans les équations différentielles précédentes ^ et les intégrer dans cette hypothèse^ ce qui revient à multiplier par le temps des

valeurs de ^, ^, etc., -r. -^, etc. Les expressions

qu on obtiendra de cette manière pourront ngiéme s'étendre, relativement aux planètes, à plusieurs siècles avant et après Fépoque que l'on aura choisie pour Torigine du temps. Si Ton veut avoir des valeurs plus exactes, on observera que les excentricités et la position des périhélies variant avec le temps, rexcenlricité de Torbite de m, pour un temps quelconque /, sera égale à

et la longitude de son périhélie à

^' ^^ S"' ^^'^-^ '^'^ â' S-' ^*^-^ ^'^^* ^^^*^^^ ^ 1 époque. Or les valeurs précédentes de ^ et de ^ donneront^ en les différenciant et en observant que a et a* y etc. , sont constans , les valeurs de -j^ , ^ , etc.,

"5* ' "dp* ^^ P^^w^si donc continuer aussi loin que Ton

voudra les séries qui précèdent ; mais il suffira , dans la comparaison des observations les plus anciennes qui nous soient parvenues, d'avoir égard, relativement aux planètes, aux termes de ces séries multipliées par le carré du temps.

64. Quoique cette manière de déterminer les variations séculaires des excentricités etdes périhélies suffise aux usages astronomiques, cependant la théorie de ces variations ne serait pas complète, si elle ne donnait pas leurs valeurs finies pour un temps quelconque , ce qui exige qu'on intègre rigoureusement les formules différentielles (o). Leur intégration directe est impossible ; mais par la transformation que nous avons indiquée n"" 46^ et dont l'idée ingénieuse est dixe à Lagrange, on les ramène à la forme d'équations différentielles linéaires du premier ordre que l'on sait intégrer. En effet, supposons, comme dans le n° cité,

6=6.sin â>, Z>'=e'.sinû)', è^=:e^.sinû)%etc.,1 y v c=e,cos o), c'= e' . cos a>', c'^rze'.coscê'^etc. )

£n différenciant ces expressions , .on aura

db . de , ^ ' dtt