smû).^+e.cos
4o6 THÉORIE ANALYTIQUE
de de • <im
^=co8».3-— e.sm».^^,
db' • I de , f / dtt
•^-= sm a>' . -y- -f-e .cos a . -77 ,
dl dû ^ dt ^
dd f de' / . t d»
etc.
o- j / .• y de dci de' d» .
oi dans ces équations on remplace j-f-iif^t^ "^ * ^ '
par leurs valeurs, on aura, pour déterminer j-, . , etc.^ les équations différentielles suivantes :
5^ {[«^û^]+[«/»^rHtc.\.c--ra,a'J.c'— [ûjaM. c*— etc., ^=-^1 [a,a'] + [tf,a"] +etc, \.b+ [^ .&'+[^].ô''+etc., — = |[a>]+[a',aT+etc.|.c'— fa', fl].c— ['a',a'^.c'--etc,
etc.
On peut d'ailleurs déduire directement ces équations des formules (12), en y substituant pour F sa valeur en fonction de b, b', c, c', etc., donnée n? 53,
Les équations précédentes sont linéaires et s'intègrent par les méthodes connues. Lorsque, par leur moyen, on aura déterminé les valeurs des quantités i, c, h\ c'p V\ d'^ etc. , on obtiendra celles des excen-
trichés et des longitudes des périhélies^ en remar^ quant que les équations (a) donnent
e'=l^F+?y tang •= - , /= ^/^ »+c'% tang-»'=4,
etc.
Il ne nous reste donc plus qu'à opérer Tintégration des équations précédentes ; pour y parvenir, faisons
^ =:M. sin(A<-f-/), c =M,cos(A<+0»
è' = M', àvijit -\-l), c' = M', cos (Ai-f- ï) ,
b"=z M". sm(A<+0» c"=M".cos (Â<— Z),
etc. etc.
M y M', M", etc. y étant, ainsi que h et /, des quantités constantes indéterminées.
Si l'on substitue ces valeurs et leurs différentielles dans les équations (P), il en résultera entre les indéterminées M, M', M'% etc., A et /, les équations de -'^^ condition suivantes :
MA =1 [aSa] +[a, a^+etc. | .M — [û^ M'— [^'].M"--etc., i
M''A={[aV]+[aV]+etc. }-M"— [^].M — [^l.M'-etc. A etc.
Le nombre de ces équations sera égal à celui des coefficiens M , M', M', etc. ; mais comme chacun des termes qui les composent est multiplié par l'un de ces
4o8 , THÉORIE ANALYTIQUE
cœiEciens , il s^eusuit que Ton ne pourra dëterminer^ par les équations précédentes^ que le rapport de ces quantités entre elles , de sorte qu'il y en aura toujours une qui restera indéterminée. En éfiet , soit i, par exemple ^ le nombre de ces équations de condition ; il est aisé de voir, d'après leur forme , que si , au moyen des f — I premières , on élimine de la dernière les i — I coefHciens M', M", etc • , le coefficient M en disparaîtra de lui-même ; de sorte qu on arrivera à une équation finale en h du degré i, qui ne contiendra plus que cette constante dlnconnue, et pourra servir par conséquent à la déterminer. Cette équation sera toujours d'un degré égal au nombre des coefficiens arbitraires M, M', M'', etc., ou des corps m, m', m", etc., du système; elle aura donc un nombre égal de racines qui , substituées tour à tour dans les i—- 1 premières équations (k) , serviront à déterminer chacune un pareil nombre de coefficiens arbitraires M; M', M% etc.
Soient donc h, A, , A, , etc. , les racines de l'équation finale en h; soient M, M', M'', etc., M, , M'^, M'',, etc., M., M'., M''., etc., les difïërens systèmes de coefficiens indéterminés qui cpiTespondent respectivement à chacune de ces racines , les valeurs de i, i', b^', etc. , de c, c', c", etc. , qui en résulteront^ satisferont toutes aux équations (P). Or l'intégrale complète d'une équation différentielle linéaire est égale, comme on sait , à la somme de ses intégrales particulières; on aura donc
£>=:M.sm(A^4-/) + M,.8!n(Ai^-|-/,) + M,.sin(Aji«+/0 + etc.,
fe'=rM'.sin(/if+/)+M'i.sîn(A,i+/i)+M',.sm(7i.<+/,) + etc.,
etc.
c?=M.cos (A^+/)+M, .cos(A,«+/i)+Ma.cos(Aaf+4)+eta,
c=M'.cos(:fet+Z)+M',.cos(A,^+/i) + M^.cos (/*at+/a)+etc.,
etc.,
I9 l%9 Lf ctc.^ étant.des constantes arbitraires.
Ces équations renferment autant d'arbitraires qu il y a d'équations différentielles (P) ; car chaque système d'indéterminées M f M'^ etc. , contient une arbitraire^ et il y a de plus i arbitraires l, /,, l^, etc. Ces équations sont donc les intégrales complètes des équations différentielles proposées. Quant aux 21 constantes arbitraires qui entrent dans ces équations^ on les déterminera au moyen des observations. Elles ne donnent pas directement ces constantes , il est vrai ; mais elles font connaître , pour une époque fixée , les valeurs des excentricités et des longitudes des périhélies des orbites , et par suite les valeurs des quantités b^ Vy etc. , Cf c\ etc. ; on pourra donc toujours en déduire les valeurs des arbitraires inconnues.
65. Il résulte , de ce qui précède , que les excentricités et les longitudes des périhélies des orbites planétaires ne sont plus^ comme les grands axes, assujetties à de simples inégalités périodiques; les variations de ces deux élémens contiennent des termes indépendans de la situation mutuelle des corps du système , et par conséquent la forme des orbites et la position des grands axes peuvent éprouver dans la suite des altérations considérables ; mais les ellipticités , en vertu de leurs variations séculaires, sont-elles susceptibles de croître indéfiniment? S'il en était ainsi, les orbites, aujour-
4 1 o THÉORIE ANALYTIQUE
d'huî presque circulaires , deviendraient à la longue^ fort excentriques , et pourraient même finir par chan^ ger entièrement de nature. L'invariabilité des granc^ axes ne suffirait plus alors pour assurer la consery^^ lion de notre système solaire , qu'une pareille progression nenacerait dans la suite des siècles à!vn bouleversement total. L'équation (e) à laquelle nous sommes parvenus, n^ 54, montre heureusement que ces changemens sont à jamais impossibles; mais il ne sera pas superflu d'examiner ici avec plus de détail cette question , puisque c'est sur elle que repose l'une des conditions essentielles de la stabilité du système du monde.
Pour cela, reprenons les expressions que nous avons trouvées pour déterminer les valeurs des quantités b,elc, savoir :
i=M.sîn(Ai+/)+M. .8in(h,t+l,) +M..sin(iiat+/a) + elc , c=M . cos {ht+l) + M, . cos {hit+li) + Ma . cos (hat+h) + etc.,
les quantités^, h^ph^, etc., étant les racines d'une équation déterminée d'un degré égal au nombre des corps agissans du système, et M, M, , M., etc., /, /,, 4 , etc. , des constantes arbitraires dont la détermination dépend des valeurs de è et de c, à une époque donnée.
Substituons ces valeurs à la place de b et c dans l'expression de l'excentricité de l'orbite de to; ona e*=6*4-c*; on aura donc
^*=M»+ M,*+Ma»-f etc. +2MMj.cos [(fti — A).t + /i-^ + etc.
DU SYSTÈME DU MONDE. 4ii.
t-ie premier membre de cette équation est constam- «aaent plus petit que (M+M,4-M.+ etc,)% tant que* les cosinus qui entrent dans le second membre sont tous réels; ainsi donc^ toutes les fois que les racines ^, ^1, h^y etc., sont réelles et inégales^ l'excentricité e de Forbite de m ne peut jamais surpasser la somme des, coeffîciens M ^ M, ^ M«, etc. , pris avec le même signe ; et si l'on suppose ces coefSciens fort petits à une époque donnée, comme cela a lieu en effet dans la nature^ elle demeurera toujours peu considérable.
Mais il n'en serait plus de même, si quelques-unes des racines de l'équation en A devenaient égales ou imaginaires. Ces racines introduiraient, au lieu de sinus et de cosinus , dans les expressions de b et de c, des arcs de cercle et des exponentielles , et ces quantités étant susceptibles d'augmenter indéfiniment avec le temps, il en résulterait que les valeurs de 6 et de c ne seraient plus resserrées entre des limites qu'elles ne doivent pas dépasser ; que par conséquent les orbites pourraient dans la suite des temps devenir fort excentriques, et que les résultats auxquels nous sommes parvenus jusqu'ici, fondés sur la petitesse des excentricités et des inclinaisons des orbites cesseraient d'être exacts. Il s'agit donc de montrer que les racines h^ KfKf etc., sont toutes réelles et. inégales; c'est ce que Ton peut faire d'une manière fort simple, et sans être obligé de former l'équation dont elles dépendent dans le cas où l'on suppose que les différens corps m m!, m!', etc., du système, cîrculenttous danslejmême sens.
En effet, reprenons les équations (o) du n* 63.
4i2 THÉORIE ANALYTIQUE
Si Fon multiplie respectivement ces équations paa
m s/a.Cy ni K/cT.e^ w!' \/d.e% etc. ; qu'on les ajoute et qu'on remarque que
8in(<i»— # ) =r — sin (-»'—«»), sin («»—«»')=— Aïï{/ — «»), etc^
et qu'en vertu des valeurs de [«,^'1 ^ \a\ al etc. ^ données dans le n"* 65 , on a généralement
etc., cette somme se réduira à l'équation suivante
m s/a.ede-^m! \/a\e^de'+m' \/^.e''de''+-etc.z=:o.
Si l'on intègre cette équation , en observant que les grands axes a , af, etc. , sont constans, puisqu'on n'a égard qu'aux variations séculaires, on aura
m\/a.e*+m' \/a! .e^^+m" v/â^,e''*+etc.=const. {e)
Les corps m , m', etc. , étant supposés tourner dans le même sens, les radicaux V/a, \/a', \/c^ devront être pris positivement, et chacun des termes du premier membre de cette équation sera par conséquent positif. Nous sommes déjà parvenus à cette équation, n^ 54; mais nous avons voulu montrer comment elle résulte des équations différentielles (o) .
Supposons maintenant que l'équation qui détermine h ait des racines imaginaires, quelques-uns des sinus ou cosinus qui entrent dans les expressions de b
DU SYSTÈME DU. MONDE. 4i3
île, se changeront en exponentielles^ de sorte que la iraleur de by par exemple, contiendra un nombre fini de termes de la forme Ce*', c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et C une quantité réelle puisque b ou sa valeur e sin cù est une quantité réelle. Soient De*', C'c^', D'c*', etc., les termes correspondans de c, b\ d, etc. , D, C, D', etc., étant aussi des quantités réelles , la valeur de e* contiendra le terme (C* + D*) . c**', la valeur de e'* contiendra le terme (C'* + D'*).c***, et ainsi de suite. Le premier membre de l'équation {e) l'enfermera par conséquent le terme
+m' v/^'.(C'*4-D''0+etc.].
^î c** est la plus grande des exponentielles que renerment les expressions de b, c, b', c', etc., c**' sera ^ plus grande des exponentielles que renfermera le ^i^emier membre de l'équation (e); le terme précédent ne pourra donc être détruit par aucun autre erme de cette équation j en sorte que pour que son Premier membre se réduise à une constante , il faudra lue le coefficient de c**' soit nul de lui-même, ce qui lonne
+ 111' \/â. ((/•H-D'»)-f-etc.=o;
fquation qui ne peut être satisÊiite, à moins qu'on l'ait séparément C=o, D=o, C'=o, D'=:o, etc.,
Ȕ Ton suppose que les radicaux sja^ \Ja\ s/d'^ etc..
4i4 THÉORIE ANALYTIQUE
sont de même signe , c'est-à-dire que les corps m^ m\ jri'y etc.^ circulent dans le même sens; d'où suit que les valeurs de b, c, b% c\ etc. , ne renfe:^ ment pas d'exponentielles^ et que par conséque^^?. l'ëquation en h ne contient pas de racines imagi. naires.
Si cette équation avait des racines égales , il en résulterait des arCs de cercle dans les expressions de hy c, 6', d y etc. L'expression de è, par exemple^ renfermerait un nombre fini de termes de la forme Cf. Soient \ii% Ç!t\ Ji't% etc. , les termes correspondans des valeurs de c, b'^ c', etc. , C , D ^ C, D', etc. , étant des quantités réelles, le premier membre de l'équation (e) renfermera le terme
et si f est supposé la plus haute puissance de t que renferment les valeurs de è, c, b', c\ etc., /^'serala plus haute puissance de t qui entrera dans cette équation; il faudra donc, pour que son premier membre se réduise à une constante, qu'on ait
m v/â.(C*+D*)+m' v/7.(C'»-f-D'^)+in" V^?.(C''*+D''*)+etc;=:o;
ce qui est impossible lorsque les corps m, m', m", etc., circulent dans le même sens, à moins qu'on n'ait séparément C==o, D=:o> C'=:o, D'=o, etc. Lesvaleurs de b, c, b\ c\ etc. , ne peuvent donc contenir ni exponentielles ni arcs, de cercle, et l'équation en A a par conséquent toutes ses racines réelles et inégales.
DU SYSTÈME DU MONDE. 4i5
Le cas particulier que nous ayons examiné est :elui de la nature^ où toutes les planètes circulent dans le même sens autour di^ Soleil. Il suit donc^ de ce jue nous venons de démontrer, que les excentricités des orbes planétaires n'éprouveront pas par la suite des siècles d'accrois.*emens considérables^ et qu'elles resteront dans tous les temps très petites, comme elles le sont aujourd'hui.
C'est d'ailleurs ce qu'on peut conclure immédiatement de l'équation
m S/'a.e^'^ni \/â\e'*+ni' V/7'.e"* + etc, = C.
En efiet, tous les termes du premier membre de -ette équation étant positifs, lorsqu'on suppose que es corps m, m% ni' y etc., tournent dans le même ens , chacun de ces termes est plus petit que la consente du second membre. Si Ton suppose donc à une •poque donnée les excentricités e , e' , e" , etc. , très Petites , la constante C sera une fort petite quantité ; •hacun des termes de l'équation précédente restera lonc aussi fort petit , et ne sera pas susceptible par -onséquent de croître indéfiniment. Mais les considé* *ations précédentes montrent comment l'éternelle ;>etitesse des excentricités des orbites des planètes ^ésulte de la forme même de leurs valeurs, et nous ivons cru devoir les développer ici , pour ne rien laisser à désirer sur une question aussi importante.
66. Considérons maintenant les équations d'où dépend la position des périhélies. Si l'on remplace dans
l'équation tang û) = -, A et c par leurs valeurs, on
4i6 THÉORIE ANALYTIQUE
aura
M ,8m(ft/4-/)-f M, .8in(ft,/+/0+Ma.8in(fta^4-/O+e ^"^*^M • cos(A^+/)+M, . cos(^ H- ^i) +M . . cos(A,^-f-4)+e
Si de l'angle ûù on retranche langle ht+ l, en obsey*. vant que ,
en vertu de l'expression précédente , on aura
Si le coefficient M est supposé plus grand que la somme de tous les autres coefficiens M,, M«, M3, etc., pris positivement^ le dénominateur du second membre ne sera jamais nul; tang(a) — ht — Z) ne pourra donc pas devenir infini , l'angle co — ht — / n'atteindra jamais le quart de la circonférence, et cet angle sera compris par conséquent dans les limites + go"* et — go^, entre lesquelles il ne pourra faire que des oscillations plus ou moins grandes , de sorte que ht+l exprimera le vrai mouvement moyen du périhélie!
Mais de ce cas particulier il est impossible de rien conclure en général sur la nature de l'angle a>; on doit donc regarder les mouvemens des périhélies comme n'étant pas uniformes, et comme pouvant j éprouver dans la suite des siècles des variations dont J on ne saurait assigner les limites ; on a seulement la 1 certitude qu'en vertu de la première des équations (r) n® 54, ces variations seront toujours très lentes, comme elles le sont aujourd'hui.
DO SYSTÈME DU MONI». ^i/j
67. Concluons de ce qui précède que la stabSité du ystème du inonde est assurée relativement aux exentricités comme elle l'est par rapport aux grands ixes. Les orbites des planètes , en vertu de leurs avions mutuelles, et en ne considérant que les variaions séculaires , ne font qu'osciller autour d'un état Doyen d'ellipticité dont elles s'écartent peu, de sorte pie ces orbites dans les siècles à venir conserveront oujours à peu près la forme circulaire. Les grands ues des orbites demeureront constamment de la nème grandeur , les moyens mouvemens qui en dépendent seront toujours uniformes, et la position de ^ grands axes pourra seule éprouver dans la siiilte les variations considérables; enfin les excentricités, [Uelques altérations qu'elles subissent, seront sans ^sse assujetties à la condition suivante : la somme de curs carrés, multipliés par les masses des corps du Tstème, et par les racines carrées des grands axes fe leurs orbites , restera constamment la même.
n faut bien remarquer que ces résultats, du moins [Uant à ce qui regarde les excentricités et les périhélies, ne sont exacts qu'aux quantités près du. second ^rdre par rapport aux excentricités, aux inclinaisons taux forces perturbatrices. Nous montrerons bientôt omment on peut les étendre aux secondes dimenions de ces forces et à dès excentricités et des inclilaisons quelconques.
