Tome I

4i8 THÉORIE ANALYTIQUE

Variations séculaires des inclinaisons et des longitudes des nœuds.

68. Déterminons maintenanllesyariations séculaires des noeuds et des inclinaisons* Leur théorie a la plus grande analogîe avec celle des variations séculaires des excentricités et des périhélies.

En désignant par ç Tangle que forme le plan de l'orbite primitive de m avec un plan fixe que nous supposons très peu incliné au plan de cette orbite, et par cl l'angle que fait leur commune intersection avec une droite prise à volonté dans le plan fiie, en donnant à ^' et a' des significations analogues relatives à l'orbite de m' , et en supposant , afin de , simplifier les formules ,

p sstang^ «sinA ^ ç ssstang^ .cosa, p' =s tang ^' . sîn ot% y'sss tang fi' • cos a! \

nous avons trouvé dans le n* J^6, pour déterminer les variations difierentielles des quantité p et^,\^ équations suivantes : 1 1

dp:=: -^^.^.eft, 1^

dq^ ^^= ^ A,

Si l'on différencie par rapport aux variables ;i et ^ » valeur de F du n* 53, on aura

DU STSTËBOS DU MOHSE^ 419

5F~ 4.(a'*-a»)' '^P^PJ'

dF 3m'. oif . (q/^y > /\

En faisant donc pour abréger, comme dans len® 65 ,

on âtira, en négligeant led carré» des excenindtéit et ies indinai&OQS,

U est aise de conclure de là les ranatiôii^ diffeMo^ tîelles de (p et de a. En effet, le$ valeurs que nous a?ons supposées aux q«antitës/i et 9^ dottnent •'

tang<ps= V>'-hV% tanga»!, ;.,/,

Cn différenciant, et en phierya^t que QOus nptfjjrtfiiTifr ies carres d^s inclinaisons^ ce qui dpnu^ cob^^sbz i , on trouve

^^ = sîna.494.cosa.a;7, da=:S2îîLfc!™îLuè

Si l'on substitue pour dp et rfy leurs valeurs données par les équations {a) , après y avoir remplacé p, q, P'p ff par les quantités qée ces lettres représentent,

4mo TBBORIE AIIALTTIQCIB

OQ aura

g sa [a ,<| . tang f ' . sin (« — «')»

5=-[«,<H.[^,,a'].*^ . cos(«-«0;

valeurs qu'on aurait pu d'ailleurs déduire directement des formules (5) et (6) du n* ^2, comme il estaisé de le vërifier,

' w J^UmB n'ayons considéré jusqu'ici que l'action dW seule planète perturbatrice m'; l'action des r planètes m", m"'f etc. , introduirait dans les seconds membres des équations ^précédentes des termeis semblables à ceu^ qu'ils renferment. Si dans ces équations on change ce qui. a rapport à m dans ce qui est relatif à m'p et réciproquement, on aura des expressions analogues pofeir ~ > 37 # ^* J^'^ trouverait de la même . • ■ ' * . ■ •■

manière les valeurs des différentielles 7 /-^ > ^f etc.;

relatives à m", m'", etc.; d'où Ton peut conclure qu'on aura généralement pOur déterminer les variations séculaires des inclinaisons et des lonintudes des pérHiéuesdes orbites des planètes m, ntf^nPp etc.|k SFystème- d'équations difféirentielles suivant

^==[a^a].Ung^.8m(•'-*)+^:a^a^.taIlg9^«ÎIl(«»*-«•H-etci,

^==[a^a],Ullgf,»ln(«•-*)+[a^<I.tang♦^.8m(«'-i*0+ete.:,/'(*)

etc.

Ces équations sont de forme absdiument semblable à celles qui nous ont servi k déterminer les yariations séculaires des excentricités et des périhélies; la seule différence qui existe entre elleS;^ cW que les symboles

[fl?j •* I ^> ^^n > ^*^* » ^^®* ^^^ remplacés par les symboles [a, û^ , [^#^"3 y etc.; les quantités e, e' ,e'p etc., partang^, tang^% tang^'', etc. ^ et les angles ai, ù/ , etc. , par a, a/ , etc. Nous pouvons donc appliquer aux équations précédente$ les mêmes^cônsidlérations qui nous ont guidés dans les n* GSJet^suivans , ce^qui ^régera beaucoup ce que lEious avons à dire ^ur cc^ ^bjet.

69. Nous voyons d'abord que si Ton intègre les équations Çb) en y regardant les angles (p, ^\ etc., «t^ À^, etc. , comme constàns, on aura pour les variations séculaires des inclinaisons etdesnœuds.des expressions ^ui ne sont rigoureuses que lorsque le temps t est in« iment petit, mais qui pourront cependant smmir

TBQËOIIIB AHÂLTTIQIS

pour les planètes pendant an long intervalle. Si l'on yeut avoir des valeurs pins exactes de ces variatîoiis, on réduira en séries ordonnées par rapport au temps les expressions de ^, et, (p' , af , etc., et en difieren^

ciant les valeurs précédentes àe^, -j. ^, etc., on

pourra oontinuer oes séries aussi loin que Ton voudra. Déterminons les expressions rigoureuses des inclinaisons et des noeuds. Il faut pour cela intégrer complètement les équations (b) , ce qui exige qu'on leur donne d'abord une autre forme* Faisons , comme précédeomient,

p Bstangip .sin* , ç sstang^) • cos« , ;i^8stang^.siaa% ç' zestMng^\x:maf, etc, etc.

Différencions ces expressions, et substituons ponr dç, da, d^pdA% etc., leurs valeurs, nous aurons

•J= {Cay]+[«,<I+et&}.p H;«i«']-P^— E«7«']»/--«^' ^=-{[a^a]+Ca^(0+etc.}.9''+[a^^^

DU STSiTÉME DU MONDE. 4a3

Ces expressions résultent d'ailleurs immédiatement de celles que nous avons trouvées directement pour

èpt^ n«68

On obtient aisément plusieurs intégrales du système d'équations précédentes. En effet ^ si Ton multiplie

respectivement ces équations par m\/a • p , n^Ja . tf^

wl\/d . jf , wlsjal . (f f etc. , qu'on les ajoute ensuite et qu'on intègre leur somme, en faisant attention qu'en vertudesvaleursdesquantités[a^a^y[â'^a], etc., on a

\afa''\.m\/a — ^ [a', cî\.fn! \^d = o,

etc.

on aura ,

Si l'on multiplie ces mêmes équations, la première

par m . \/a^ la troisième par rrl . V^# 1^ cinquième

par ni^ . \/^ ^ et ainsi de suite, et qu'on les ajoute, on aura, en vertu des inémes relations ,

i^V/â.J^+mV^.^+m^V^.^Vetc. ::==o,

d'où l'on tire en intégrant

m S/a.p^rrt \/ci ip^^ nf V^a". //'•+• etc. es const. On trouverait d'une manière analogue, .

m \*a .q-\-rr{ \/a' • q^'^ni' V/?. 9"+ etc. = const.--

Nous étions déjà parvenus dans le chapitre VII à ces diverses équatiotîs qui expriment des relations qui

4a4 THËORIB AKALTTIQUS

doiveot toujours exister entre les quantités /i, q^f'f

q\ etc. 9 quelques changemens quelles éprouyent|et

qui pourront servir par conséquent à vérifier leurs

valeurs.

Le système d'équations différentielles linéaires (c) étant d'ailleurs parfaitement semblable à celui des équations (P) du n^ 64^ on pourra appliquer à leur intégration la même analyse. On trouvera ainsi

p =N .sîn.(A/+/)+N, .«D.(//,«+A)+N, .8În.(*»*+4)+cte> ^ =N .oo8.(At4-0+N, .oos.(A,^^/,)+Nft .co8.(Aft^|-/•)-|-etc•j

el<5.

hfh^f h^, etc., étant les racines d'une équation d'un degré égal au nombre des corps agissans du système, et les arbitraires N, N', N", etc., /, /., /., etc., des constantes qui dépendent de la positicm des orbites à une époque dcmnée. ^

Si les racines A, K^Kf etc. , sont toutes réelles et inégales, les valeurs de /?, q^p'^q'^ etc., ne sauraient contenir ni exponentielles ni arcs de cercle« Or c'est une conséquence que l'on peut tirer dé l'équation {]^ comme nous l'avons fait voir dans le n® 65, pourvu que les corps m, ml , m', etc, soient supposés circuler dans le même sens; d'où l'on doit conclure que ks inclinaisons des orbites planétaires sur un plan fixe, si elles ont été très petites à une certaine époque i demeureront toujours peu considérables , et ne feront qu'osciller entre d'étroites limites qu'elles ne pourront jamais franchir. La position des nœuds, au

CX)D traire^ pourra éprouver dans la suite des siècles des "Variations considérables^ et leurs mou vemens devront être regardés comme n'étant pas uniformes.

La stabilité du système planétaire est donc aussi assurée relativement aux inclinaisons des orbites qu'elle l'est par rapport aux excentricités.

70. Les expressions de p et ç, données par les formules (e/) y offrent un moyen facile de construire géométriquement les valeurs de ces quantités par le moyen des épicycles.

En effet, que l'on imagine un cercle dont le rayon soit N, et fftik partir d'un diamètre fixe on prenne sur ce cercle un arc qui comprenne l'angle ht^^l, qu'à l'extrémité de cet angle on place le centre d'un nouveau cercle dont le rayon soit N„ et qu'on prenne à partir d'un diamètre mené parallèlement à celui du premier cercle un arc qui réponde à l'angle A,^ -}" '• ^ qu'on place à l'extrémité de cet arc le centre d'un nouveau cercle dont le rayon soit N„ et qu'on prenne de même sur ce cercle, à partir d'un diamètre parallèle aux précédens, un arc qui soutende l'angle A^i + Z» et ainsi de suite; si de l'extrémité du dernier arc, on abaisse une ordonnée perpendiculaire au diamètre du premier cercle, cette ordonnée sera la valeur de p, et l'abscisse correspondante , comptée à partir du centre du même cercle, sera celle de q.

En effet, ilest visible, d'après cette construction, que la première de ces deux coordonnées sera exprimée par

N . sîn(A/+/) +N. •sin(A,<+/,>+-N,.sin(A»f +/,)H-ete. ^

4a6 TIfiâORIE AKALTTIQUE

et la seconde par

N . cos(A^+/)+N, .cos(A,£+/,)4-N.,cos(A,i-f-4)+ett,

On voit de plus que si du centre du premier cere7e; on mène un rayon vecteur à Textremité de l'arc pris sur la circonférence du dernier cercle , ce rayon sera l'expression de tang^, et l'angle qu'il forme avec l'axe des abscisses sera égal à l'angle a , puisqu'en effet on aura ainsi

tangç=: V)>' + 9*# tangas=-.

En appliquant la même construction aux exprès^ sions de 6 et de c du n"* 64» on déterminerait géométriquement les valeurs de l'excentricité e de Foririte et de la longitude cù de son périhélie. La première serait égale au rayon vecteur mené du centre du premier cercle à l'extrémité de Tare pris sur le dernier épicycle ^ et la seconde à l'angle que forme ce rayon avec l'axe des abscisses.

7 1 . Jusqu a présent nous avons supposé fixe le plan auquel nous avons rapporté la position des orbites pla* nélaires, mais les asti*onomes ont coutume de la rapporter au plan mobile de l'écliptique ou de l'orbite que décrit la Terre autour du Soleil dans son mouve^ ment annuel ; c'est en effet du plan de cette orbite que nous observons tous les mouvemens célestes. Il est donc nécessaire , pour rendre les formules précédentes immédiatement applicables aux usages, astronomiques, de montrer comment elles peuvent être modifiées de manière 4 détei^miner .directemeut les

su ST5TÊMB DU MONDE. 4^7

\ariatioQS des noeuds et des IncliaaîsoQS des orbites ^es corps m^ ni ^ nr ^ etc«f par rapport à Torbite mobile de Fun d'entre eux pris à yplonté , relativemept à l'orbite, de m^ par exçmple. Soient donc a/ ^ If' f^ les trois coordonnées de ni rapportées à un plan fixe quelconque; soit z l'ordonnée d'un point situé sur Torbite de m et répondant s^ux mêmes abscisses v! cty; nous aurons

Si l'on suppose très petite l'inclinaison mutuelle des deux orbites ainsi que leur inclinaison sur le plan fixe, la différence z' — ^2==>--(/?'---/^) .a/4-(/ — q).y des deux oidonnées zT et z exprimera à très peu près la bauteur de /Ti^au-dessua de l'orbite de m. Or, si l'on désigne par z/ cette hauteur, et par ^/ et ce/ l'inclinaison et la longitude du nœud de Torbite de ni sur l'orbite de /it, on a aussi , à très peu près,

z\ s= — tang ^'^ . sin a'^ . a/ •+• tang 9'^ . cos ci^ .y , d'où rpu conclura

et .par conséquent ■.■ .

On déterQiinera ai^éaient, au moyen de ces deux ^uations, le lieu du nœud commun et l'inclinaison mutuelle des deux orbites.

Si Voxx su{^se que J0 plaa fixe auquel se fappor^

tent les quantités p^p^^q^ q' soît celui de Forbite de 171 à une époque donnée y on aura pour cette époque p = Of q=^o. Mais les dîjBférentielles d^ et <^ ne seront pas nulles et en différenciant les valeurs précédentes on aura

, {dpf — dp) . coa«' — (dur' — dq) , sina'.

aet ss' 7 /^ ' ' •

' tang çr

En substituant pour dp^ dq, dp\ dq' , leurs yaleiiis précédentes y on trouvera

-^ = { [oT, a"] — [a, a^ ) . tang^* • 8În • («' — «0

+ { [ûSa*]— [a,a*] } . tang^* . sin • (ii'~ a*)*M& , ^ = {[a',a] + [a',a''] + Ca',û-3+etc.)-[a,fll.

On obtiendrait de la même manière des formules semblables pour déterminer les variations des inclinaisons et des nœuds des orbites de ni', m'", etc.| relativement à l'orbite de m. Quant au degré de précision de ces réductions^ il est facile de se con^ vaincre qu'elles sont exactes, aux quantités près du troisième ordre, relativement aux inclinaisons mutuelles des orbites; en sorte qu'on pourra toujours les employer comme tout-à-fait rigoureuses, tant qu'on ne voudra pas pousser au-<lelà les approxima-* tions.