De ce que nous avons démontré dans le n

DU SYSTÈME DU MONDE. ^^g

II résulte que la stabilité du système solaire .est as^ stirée relativement aux inclinaisons des orbites planétaires , comme elle l'est par rapport aux excentriités. L'action réciproque des planètes les unçs sur les autres^ k laquelle sont dus les déplacemens séculaires de leurs orbites, ne cause dans leurs inclinaisons mutuelles que des variations comprises entre d^élroites limites qu*elles ne pourront jamais dépasiser; elles resteront par conséquent toujours très petites y comme elles le sont aujourd'hui. La position des noeuds pourra au contraire éprouver dans la suite des temps des altérations considérables, et Ton ne devra pas regarder leurs mouvemens comme uniformes. Enfin , quelles que soient les altératiotis que subissent les inclinaisons des orbes planétaires , elles seront toujours assujetties à la condition suivante : La somme de leurs carrés y multiplies par les masses des corps du système et par les racines carrées des grands axes de leurs orbites j démembra constamment la même.

]^ous étendrons bientôt ces résultats , qui ne sont exacts qu'aux quanti tés près du second ordre par ràp« port aux excentricité , aux inclinaisons et aux masses perturbatrices, au cas où l'on a égard au carré de ces icnasses.et à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons.

43o THÉOBIE ANALTTIQtm

yariation séctdaite de la longitude de Vépoque.

«jS. Il nous reste, pour compléter la théorie des variations séculaires , à considérer les variations du sixième élément des orbites planétaires, de celui <{ai| dans Tellipse non troublée , dépend de la position delà planète à une époque donnée , ou , ce qui revient au même , de Tinstant de son passage par le périhélie.

Pour bien concevoir Timportance de cet élément ^ il faut remarquer que c'est de la variation séculaire de la longitude £ de Fépoque, que dépend celle de la longitude vraie de la planète dans son orbite, ces^ à- dire dé la coordonnée la plus nécessaire pour la détermination exacte de sa position dans l'espace. En effet, en nommant v cette longitu(îei on a^ par les formules du n* ^4 #

vissint'^û'\^Xf

en désignant par x une suite de sinus des mtdtiples de l'anomalio moyenne ni ^ê^^ m multiplia parles puissances de l'excentricité e. Or, si ron regarde comme variables les élémens elliptiques, -et qu'on ne considère que la partie non périodique de la varia^ tion de X , il est évident que cette partie sera une fonction des élémens de la planète troublée et de la planète jierturbatrice de l'ordre rrl\ en sorte que si Ton y regarde de nouveau ces élémens comme variables, en vertu de leurs variations séculaires, les termes da second ordre contenus dans cette fonction seront sim^

ïAement proportionnels au temps t, et s'ajouteront ^u moyen mouvement ni dans la valeur de i; ; et les termes dépendant du carre du temps t, les seuls, comme nous le dirons, qu'il importe de considérer, seront du troisième ordre et pourront toujours être négligés. Nous avons vu d'ailleurs que le moyen mouvement nt n'était soumis à aucune variation séculaire; la seule variatioii de cette espèce dépendante du carré du temps p dont puisse être affectée la longitude v, est donc celle qui provient de la varialion de la longitude € de lepoque , et c'est une raison , par conséquent, de l'examiner avec soin,

74* Reprenons la valeur de di donnée par la troisième des formules (ii)^ du n^ 4^.

à===îîii»^^\ (i- VIi:r^^ Ça)

Si Ton différencie la valeur (m) de la fonction F , n** 55 , relativement aux constantes e et a^ et qu'à la place

des différentielles partielles -^j- > -j — # "T*"^

substitue leurs valeurs données en fonctipn de B^^) et . B^"^, par le n^ 52, savoir,

da^^ a'^-^a* ^ da a*— a* '

on trouvera

43b THlgORIE ANALYTIQUE

si Von substitue ces valeurs dans Téquation (a),, en négligeant les puissances de e supérieures à la seconde et en faisant , pour abréger,

(^)ga TO'.a«/>.(a.BCo)-.|/.BCO), •

/ — yx m' . aVi» . (3flw'.BC<>)4.a* . BCO)

quantités que Ton peut exprïmer aussi en fonction àe(a,cr) et de (a,ay pour les avoir sous la même

forme que les quantités analogues [a^a'^y |g,aj,En

effet, il suffit pour cela de remplacer B ^*^ et B^*^, que nous n'avons introduits que pour la commodité du calcul, par leurs valeurs données n*5i.

Les quantités (£1, fl') et (a,a!y représentant, comme on sait , les coefficiens des deux premiers termes da développement de («•— r 2aa\cos ^ +^'*)^en série, de sorte que Ton a

{a* — aaa' . cosf -f* û'*)* = («/*') + («>«')' • cos ^ + etc.

-7^ m .. an . [aa* , (g, d^ + 3aa^ * (a, a"^/]

-7\ ?7i' . a» . f 1 2 . a^cl . (a ,fl^y-*'3 . (Sa^a"^ aa'^) . (a.a')']

-jx m\an.[6a*a'''. ja^a) — 3a?a\(a/iy'}

aura

+ &y\ip' -Fr' + W -qY- ^''Y \

On voit par celte expression que si dans la valeiir \ dé on n'avait égard qu'aux ternies du premier *dre par rapport aux excentricités et aux inclinai-^ ms^ comme nous lavons fait pour la détermination es variations séculaires des autres élémensde Forbitef î second membre de l'équation précédente se réduiaitàune constante, dans le cas même où l'on Consière le carré des forces perturbatrices. Il en résulsrait par l'intégration dans la valeur de 6 un terme proportionnel au temps qui s'ajouterait au moyen ïiouvement nt dans la valeur n^+ € de la longimde fioyenne, nous verrons bientôt que les termes de Çtte espèce demeurent toujours insensibles ; d'où l'on oit conclure que si la longitude € de l'époque est outoise à une variation séculaire, elle ne peut dépendre que des termes de la valeur de de, du second rdre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons; est par cette raison que nous avons conservé ces ermes dans l'équation (i).