CHAPITRE
Inégalités périodiques du rayon secteur ^ de ht longitude et delà latitude dépendantes des puis^ sances supérieures des excentricités et des incli-^ naisons.
88. Quoique là méthode que nous avons suivie jus- ^'ici dans la théorie des perturbations planétaires , et qui consiste à regarder l'orbite troublée comme Une ellipse dont les élémens varient à chaque instant> loît extrêmement ingénieuse^ et semble résulter nn-turellement des phénomènes observés ^ on ne peut disconvenir cependant que^ lorsqu'on se propose simplement de déterminer les inégalités périodiques E[ai résultent dans le mouvement des planètes de leurs actions mutuelles^ il ne soit plus exjpéditif de les déduire directemeni; des équations différentielles du mouvement troublé. Les varisrtioTis des trois coordonnées , d^où dépçnd à chaque instant la position de la planète ^ sont alors données immédiatement sous leur fdrmo la pjlus simple , sans qu'on soit obligé de recourir aux réductions pénibles tfu'exigent les autres méthodes, et il ne ineste plus.
qu'à appliquer ces corrections au rayon vecteur, à la longitude et à la latitude calculés dans l'orbite elliptique. Comme ce procédé est très en usage yjparmi les géomètres , et qu'il peut être utile dans beaucoup d'occasions p nous allons en développer ici les formules.
Désignons par r, v^ s les trois coordonnées qui déterminent dans l'orbite elliptique la position de la planète m , c'est-à-dire son rayon vecteur , sa longitude et sa latitude', et par r 4- J^r, p + cT^ , s + S's ce que deviennent ces trois quantités en vertu des perturbations qu'éprouve cet astre dans son mouvement autour du Soleil. Nous avons trouvé , j>ar une première approximation , les valeurs du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, en faisant abstraction des forces perturbatrices ; dans une se* conde approximation , nous aurons simplement égard aux termes du premier ordre, par rapport à ces forces, et nous négligerons tous les autres* JV^ J'Vf cT^ seront alors de très petites quantités du même ordre , et ce sont ces quantités qu'il s'agit de déterminer.
8g. Reprenons pour cela les trois équations diffé^ rentielles (A) , n** 57 ,
" dz*
de^ r^'
dR. -dy*
dR
T — TîZff (^)
Si l'on multiplie ces équations, la première par
2dXy la seconde par î^dy, la troisième ptr âdki quW les ajoute ensuite^ et qu'on intègre leur somme 1 on trouve
a étant une constante arbitraire qui représente le demi grand aie de l'orbite dans le mouvement elliptique; et ^'R désignant, comme précédemment, la différentielle de la fonction R prise par rapport aux seules coordonnées de m, ou au temps introduit par la substitution de leurs valeurs, en sorte que l'on a
Si l'on ajoute les mêmes équations après avoir nral' tîplié la première par x, la seconde par j", la troi^ sièmeparz, on aura
2? ^r—'^' Kir} W
En observant qu'aux quantité près du second ordre^ par rapport aux îndinaisotis, on a
et qu'en prenant pour plan fixe dea x, y tthi dr rotbhe primitive de m, 00 peut n^i^^ee^ifMMH' tîtés qui sont de Tordre da carre dea foreea pertodbi^ tries», ce qui donne, dafBsee cas.
Si Von ajouts entre elles les équations (i) et (s) ^ en
observant que l'on a
xd^x -{-ydy + zd^z + ^•+ dj^ + dz^
on trouve
Si Ton désigne par ds^ l'angle comprît entre les deux rayons vecteurs consécutifs r et r+ dr, on aura ^•+tiy-*+rfz' =5 r*rf^'+rfr*, et par conséquent,
xd*x+fdy+zd*z=d.(xdx+jd/+zdz)^(la:*'i^^ L'équation (2) peut donc prendre cette fbrme
1? •" ; ~ ^'\dfJ'
d'où l'on tire
■5? "■ rd^» ■" r'^'^r* \dr)' ^^^
Si l'on suppose nuls les seconds membres des équar tions (5) et (4), on aura l^s valeurs du rayon vecteur et de la longitude qui se rapportent au mouvement elliptique; en y substituant donc r-f-cTr et p + «^^ à la place de r et u, et en effaçant la partie relative à ce mouvement qtd serait nulle d'elle-même , d'après l'hypothèse , la partie restante servira à déter* miner les valeurs de J'r et de J'i^. Nous ne nous occuperons ici; comme nous l'avons dit, que des in^-^
lit» da premier ordre, par rsj^rt imx niasses perturbatrices; en effectuant donc la substitution précédente et négligeant les puissances de JV et dis cTi^ supérieures à la première, ce qui revient à différencier , par rapport à la caractéristique cT" , les équations (5) et (4)^ on aura les deux formules suivantes :
La première déterminera la variation du ^ rayon vecteur r, et la seconde donnera celle de l'angle ç, lorsque J^r sera connu. On peut faire prendre à cette dernière équation une forme plus simple. En effet, si
Ton élimine à l'aide de la [première la quantité -3- ,
et qu'on remarque que par les formules du mouvement elliptique on a r*rf^ = \/fia.(^i — €*).dt et jx= a^n*, on trouve
d.jfàrd.if+dr.ir) an P. . /^<^M
d'oii , en intégrant, on tire
Nous avons nommé di^ l'angle compris entre deux positions consécutives du rayon vecteur r, cet
49ÎX THÉORIE ANALYTIQUE
angle doit se compter par conséquent dans le phn même de l'orbite troublée ; mais il est aisé de voir qu'il ne diffère de sa projection sur le plan fixe des X, y qu'aux quantités près du second ordre , par rapport aux inclinaisons; nous pouvons donc ^ puisque nous négligeons ces quantités, le prendre pour cette projection même. L'angle ^ représentera alors la longitude de la planète m comptée sur le plan fixe , et réquation (6) donnera aisément ses perturbations, lorsque celles du rayon vecteur seront déterminées. Il nous reste à considérer les inégalités du mouvement en latitude. Supposons que l'on prenne pour plan fixe celui de Torbite primitive de. m, et qu'on nomme J^s la latitude au-dessus de ce plan résultante des perturbations ; on aura z = rJ^s, et en substituant cette valeur dans la troisième des équations (A), elle donnera
Cette équation servira à déterminer J's : si ron veut rapporter ensuite la position de la planète à un plan très peu incliné à celui de son orbite primitive, en joignant à la valeur de <^s celle de la latitude de la planète dans le cas où elle ne quitterait pas le plan de si première orbite , on aura , à très peu près , l'expression de sa latitude au-dessus de ce nouveau plan.
go. Il ne s'agit donc plus que d'intégrer les formules (5) et (7). Occupons-nous d abord de la première. On verra plus bas qu'en ordonnant l'équation (5) par
DU SYSTÈME DU MpNDE. 493
rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons y on peut toujours faire dépendre la détermination de la valeur de rJV de l'intégration d'équations de cette forme :
-^;r + ri'^ràr — P = o,
P représentant une fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus d'angles proportionnels au temps t. Si Ton intègre cette équation linéaire par les méthodes ordinaires, on aura (Lacroix, Élémens de calcul différentiel , n** 28a )
rh-sr^c sin nt + e co&nt-^ ^— /Pd/cos nt . /Pûft sin ni .
c et c' étant deux constantes arbitraires.
Il suit de là que chacun des termes de P étant de la forme H • sin {mt + ^ ^ il en résultera , dans la yaleâr de r^r , le terme suivant :
m* — n* cos
Si m = /^ , le terme H sin (m^+ €) produira dans
ri'ry 1°. le terme — ^ 7-^ . {nt + &) qui se trouve
compris dans ceux qu'ajoutent à la valeur de rJV les constantes introduites par l'intégration, et qui par conséquent peut être négligé ; o!^. un terme de la
foitne rfc — . * (71^ + ^), le signe supérieur se rapportant au cas où le terme de l'expression de P est
un sinus, et le signe inférieur, au cas où ce terme est un cosinus. On voit ainsi comment s'introduit dans la valeur de r^r le temps t^ hors des signes sinus et cosinus 9 quoiqu'il ne se trouve pas sous cette forme dans réquation différentielle qui la détermine. La considération de ces termes, proportionnels au temps ^ , a d'abord embarrassé les géomètres ; mais ils ont bientôt reconnu qu'ils n'existaient pas réellement dans la valeur rigoureuse de rS'r, et qu'ils n'étaient que le développement en séries d'une certaine classe de sinus et de cosinus qui y sont contenus. Les termes de cette espèce, quelle quô soit la lenteur avec laquelle ils croissent, rendraient à la longue fautive l'expression des variables qui déterminent la position des planètes ; aussi a-t-on cherché à les faire disparaître, et Ton a imaginé pour y parvenir plusieurs moyens ingénieux, qui conduisent par une voie nouvelle à la détermination des variations séculaires des élémens de l'orbite elliptique. Comme nous avons donné, dans le chapitœ VIII, la théorie complète de ces inégalités , nous n'y reviendrons pas ici, et nous ferons abstraction, dans l'expression de rSt^ de l'espèce de termes dont nous venons de parler , ce qui revient à supposer que, Côtifonnément aux Usages astronomiques, lès élément de l'orbite elliptique qu'elle renferme, sont déjà corrigés de leurs variations séculaires.
L'équation (7) étant absolument de même forme que l'équation (5), ce que nous venons de dire relativement au rayon vecteur s'applique identiquement à la Valeur de la latitude.
DU SYSTÈME DU MOlMDE. 496
91 . Gela pofiëi déterminons les variations du rayon vecteuri de la longitude et de la latitude de m, en portant l'approximation comme nous l'ayons fait n^' 84 et 86, jusqu'aux termes de l'ordre, du carré des excentricités et des inclinaisons. Reprenons d'abord l'équation (5) ,
D'après les formules du mouvement elliptique , on a
3=39»^ , rs=Ba.[l— tfCOs(/i/-|-é— a)].
L'é(]aation précédente ^ au moyéïi de ces valeurs, devient
de
En ne. poussant fappfoximation que jusqu'aux termes -'du premier ordre , par rapport aux excentricités et aux încliûaisons , on a, n^ 81 >
