CHAPITRE PREMIER

Détermination approchée des orbites des Comètes •

I • Les comètes sont des astres qui différent des pla-nètes y non-seulement par leurs apparences physiques, mais encore par la marche irrégulière qu'ils affectent. Elles parcourent au hasard toutes les régions de l'espace y les unes dans un sens y les autres dans la direction opposée. Les plans de leurs orbites ne sont plus compris dans une zone étroite de la sphère céleste , ils peuvent avoir entre eux des inclinaisons quelconques ; mais les comètes sont^ comme les planètes, assujetties à la loi de la pesanteur universelle, et elles décrivent en vertu de ce principe des courbes rentrantes dont le Soleil occupe un des foyers. Probablement , et Ta-^ nalogie nous porte à le croire, les orbes des comètes, sont, comme ceux des planètes, des courbes elliptiques ; mais ces ellipses sont très allongées, et leurs grands axes presque infinis, puisque nous n'apercevons ces astres que dans une partie de leur cours lorsqu'ils approchent du Soleil y et qu'ensuite ils disparaissent totalement à nos yeux armés de tous les instrumens que l'esprit humain inventa pour en prolonger la portée. Ce ne serait donc qu'une question de pure curiosité, intéressante sous le point de vue analytique.

mais peu importante aux besoins de l'Astronomie, que celle qui aurait pour but de déterminer les élémens de l'orbite d'une comète, d'après les observaùons faites pendant la courte durée de son apparition, si nous ne devions plus l'apercevoir dans la suite, et si elle avait abandonné pour toujours les limites de notre système planétaire. Mais il faut observer que c'est le seul moyen que nous ayons de reconnaître cet astre lorsque, après avoir accompli sa révolution, ilreyiendra vers le Soleil. Il ne faut pas en effet compter pour cela sur ses propriétés optiques; l'étendue du noyau , la chevelure , la disposition de la queue , l'éclat de sa lumière , toutes ces données varient à chaque instant de forme , de grandeur et d'intensité , à me* sure que les comètes approchent du Soleil ou de la Terre, et les circonstances enfin dans lesquelles elles se trouvent changent à chaque révolution , parce que la matière si rare qui compose leur chevelure et leur queue se dissipe graduellement dans l'espace.

Cest donc en comparant les élémens de la comète que Ton observe , à ceux des comètes qui ont été observées précédemment, que l'on peut s'assurer si cet astre apparaît en effet pour la première fois, ou si ce 0 est qu^une comète déjà connue qui revient à son périhélie. Il devient donc indispensable de calculer ses élémens. Newton le premier, dans son admirable ouvrage des Principes, a donné une solution de ce problème, fondée sur des considérations géométriques ^ ingénieuses. Halley, par des calculs immenses^ l'appliqua à toutes les comètes connues de son temps. Ce travail porta son fruit , et ce grand astro-

nome reconnut le premier l'identité des comètes observées en i456, i53i, 1607 ^* i^^ i résultat important ^ et qui valut un nouveau triomphe à la théorie de la pesanteur universelle , en montrant que la marche des comètes , si irrégulière en apparence , est aussi certaine que celle des planètes , et en mettant les géomètres à même de suivre le cours, et de prédire les retours futurs de ces astres , qu'on avait regardés jusque là comme des phénomènes à part, et en dehors de toutes les lois qui régissent les autres corps du système du monde.

La question que nous allons traiter intéresse donc non-seulement les géomètres comme un bel exercice d'analyse, mais encore les astronomes comme un point de théorie qui peut avoir d'importantes applications. Aussi beaucoup d'entre eux en ont &it l'objet de leurs méditations, et nous avons aujourd'hui pour résoudre ce problème plusieurs méthodes qui conduisent par des voies difierentes à des résultats également satisfaisans. Deux de ces méthodes méritent surtout d'être distinguées, comme étant pour ainsi dire les types originaux sur lesquels la plupart des autres ont été construites ; ce sont celles que nous devons à Lagrange et à Laplace. Elles portent chacune le cachet particulier qui caractérise l'esprit de ces deux grands géomètres. Celle de Lagrange semble re$sok*tir plus analy tiquement du fond de la question, et sa simplicité n'exclut pas l'élégance ; celle de Laplace parait plus recherdiée, et résulter plutôt de considérations fondées sur les observations que de la théorie. Elles out l'une et l'autre de grands avantages^

leur application numérique est facile , et leur usage est aujourd'hui justement adopté. Comme l'illustre auteur de la Mécanique céleste à pris soin lui-même d'indiquer les nombreux perfectionnemens que l'expérience a introduits dans sa méthode , et qu elle est suffisamment exposée dans cet ouvrage^ nous présenteroos ici sous des formes analytiques nouvelles une méthode qui dérive fort simplement de celle de Lagrange f m^s qui évite une partie des inconvéniens que cell6<-ci entraînait dans les applications ^ et que ce grand géomètre aurait sans doute donné le moy^n d aplanir y si^ toujours plus occupé des vastes questions de la théorie que des embarras de la pratique , il n'avait dédaigné d'adapter ses formules à quelques calculs numériques.

On sait qu'il suffit en. général de trois observations pour déterminer toutes les circonstances du mouvement d'une comète i Cette question est même susceptible d'une solutîoni rigoureuse; mais les. équations finales auxquelles lelle conduit sont tellement compliquées^ et d'un;degré si élevé ^ qu'il serait absolument impossible d'eu faire usage; aussi a-^t-on pris le parti de recourir aux méthodes d'approximation • Celle qu'on a généraleéient adoptée est fopdée sur la su^ipoh sifion que leBol»er?ations qu'on emploie 90ciflpeitéioi'< gnées l'une de Fautre^ ceqfoi permet de traiter comme de très petites quantités les intervalles de temps qui les séparent..ûn peut alors^ au moyen de trois longitudes et de trois latitudes observées ^ déterminer tous les élémens de rorbitey savoir : l'excentricité, lalongi^ tude du périhélie, et celle de l'époque, l'inclinafeotti

la longitude du nœud, et le grand axe. Ce dernier élément est le seul qui puisse laisser de Hncertitude y parce qull faudrait , pour le déterminer exactement , connaître la durée d'une révolution de la comète , ce qu'on ignore presque toujours : mais on peut remar^ quer que lorsque la comète est près de son périhélie, et cW alors seulement que nous Tapercevons, l'etlipse qu'elle décrit se confond sensiblement avec la parabole qui a son sommet en ce point , et qui est décrite du même foyer , en sorte que le mouyement apparent de l'astre et les résultats de l'observation sont les mêmes que s'il avait lieu sur cette courbe. On suppose par cette raison, pour faciliter le calcul des élémens, que l'orbite est parabolique. La solution du problème contient alors une équation de plus que d'inconnues , et l'on petit en profiter pour choisir , entre les diverses combinaisons de ces équations, celle qui doit conduire à des résultats plus exacts. Lorsqu'on est parvenu de cette manière à une première connaissance approchée de l'orbite, en employant trois nouvelles observations séparées par des interyalles de temps plus considérables, on rectifie les jélémens que l'on a obtenus de: manièpe à satisfaire le plus exactement possible à l'ensemble des observatioi^S'COQinues. Plusieurs méthodes ont été imaginées dans ce but; celle que nous exposerons ici mérite d'être adoptée définitivement par les astronomes qui j&'oqcupent de ces recherches, et qui doivent désirer d'éviter les longueurs de calcul et la perte de temps , que les. autres méthodes occasionent trop sou-»

yew<,

pu SYSTÈME DU MONDE. 7

Après ces notions nécessaires sur la solution générale du problème , nous allons en développer l'analyse; nous donnerons ensuite des exemples numériques qui faciliteront l'application de la méthode que nous exposons.

2. Soient Xy y^ z les coordonnées de la comète dans son orbite autour du Soleil , rapportées à un plan fixe que nous supposerons être celui de l'écliptique ; soit

r=\/a;*+^*+z* sa distance au Soleil.

Soient X et Y les coordonnées de la Terre dans

l'écliptique, etRss v/X*+Y* sa distance au Soleil ou son rayon vecteur. *

Enfin désignons par ^, 19, Ç les trois coordonnées de la comète rapportées à trois axes passant par le

œntre de la Terre , et par f s= v'^*+ >i*+ Ç* la distance de la comète à la Terre ^ en sorte qu'on ait

jp = X+^, j = Y + >», a = Ç. (1)

Soient maintenant a la longitude géocentrique de la comète, et b sa latitude ; soit A la longitude de la Terre dans le même instant ; il est aisé de voir qu'on aura

X=R.cosA, Y = R.sinA, ^s=zf .cosa.cosb, ))=/• sina. cosé, ^ = />.sin6.

Ces valeurs substituées dans les équations (i) donne-*

ront

a:s=:R.cosA»f-/ • cosa .cosb, jr =R. sinA + f «sina .cœb,y (2) 2 = ^ . sin 6.

Chaque observation fournira trois équations semblables; si Ton ajoute ensemble lés carres de ceséqua-* lions , on en tire

r*s= R*+ aRf . cos(A — a) • cps4 + /■ ,

équation que donne d'ailleurs immédiatement le triangle rectiligne formé par le Soleil , la comète et la Terre. En eflfet , si Ton nomme c l'angle entre le Soleil et la comète^ ou ce que les astronomes appellent son élongatiofiy R et f seront les côtés qui comprennent cet angle , et r le côté opposé ; on aura donc

r*=R*~2Rf . COSC+ f . (3)

Or l'angle c a pour mesure l'hypoténuse d'un triangle sphérique rectangle dont b et i8o**— A + ^i sont les deux autres côtés ; on aura donc

COSC=: — C0S(A — a) . COSé,

et les deux valeurs de r* sont par conséquent iden-> tiques.

Les observations font connaître les deux angles a ttb; l'angle A et le rayon R se calculent par les tables du Soleil; les équations (2) renferment donc encore quatre inconnues ^ x^y, zet p, et ne peuvent suffire par conséquent pour les déterminer. Il faut, pour y parvenir, faire quelque hypothèse sur la nature de l'orbite que décrit la comète ; la plus simple est de supposer cette orbite parabolique* Dans ce cas , on peut , n* 5:i , liv. II; exprimer les coordonnées de la comète relatives à une époque quelconque, en séries ordonnées

par rapport au temps^ et ne dépendant que de six quantités supposées connues, qui sont les trois coordonnées de la comète à une époque donnée et les trois coefficiens différentiels de ces coordonnées. Si Ton substitue donc ces valeurs dans les équations (2), elles renfermeront sept inconnues ^ savoir, les six quantités dont nous venons de parler, et l'indéterminée /; mais chaque observation donnant trois équations semblables , si l'on choisit trois observations faites à des intervalles de temps connus, il est clair que les neufs équations qui en résulteront ne renfermeront plus que neuf inconnues , et suffiront par conséquent pour en déterminer la valeur. On aura même , en y joignant l'équation du mouvement parabolique, une équation de plus que d'inconnues , et le problème pourra être, avec ces données, complètement résolu.

Prenons donc trois observations séparées par des intervalles de temps 6 et 8^ assez courts pour que les séries {k) du n* 52, livre II, soient convergentes. Prenons pour l'époque d'où nous comptons le temps /, et qu'on est libre de choisir arbitrairement^ celle qui répond à l'observation moyenne; désignons par a?> jTjzles coordonnées de la comète à cet instant, rapportées au centre du Soleil , et par ar^ss:^, ^^=-^y

z^ = —, leurs trois coefficiens différentiels ; désignons

par o(f yj^ f z^f les coordonnées de la comète qui répondent à l'époque tzrz — â de l'observation quiapré-* cédé, et |>ar x' ^y ^z' celles qui répondent à l'époque ^=;d' de l'observation suivante. Si l'on développe par

la méthode du numéro cité , ces six quantités suivant les puissances de 8 et de 8', on aura pour les déterminer des expressions de cette forme

a;*= va: + vx^ , a:'= v'o: + u'o:^ ,

2'= vz + vZj , z' = v'a + u'a^;

les lettres v^ n, v', u% exprimant des fonctions ordonnées par rapport aux puissances de 6 et de 8% qui renferment en outre le rayon vecteur r et les

quantités j*=^ et ^ relatifs à Tépoque i=o. Les

valeurs de v, u, v', u' se détermineront en faisant successivement <= — 6 et ^=fl' dans les fonction&que nous avons représentées par V etUdansle n" Sa^liv . II. 3. Celaposé^ soient a?, a, a! les trois longitudes géocentriques de la comète, i", A, b' ses trois latitudes^ et f^, f, f' les distances de la comète à la Terre dans chacune des trois observations. Soient de plus A**, A, A' les trois longitudes héliocentriques de la Terre, R% R, R' ses trois rayons vecteurs correspondans , et enfin X' , Y* , X , Y , X' , Y' ses coordonnées rapportées au centre du Soleil, et relatives aux mêmes instans , en sorte qu'on ait

X<>=R^cosA% X=RcosA, X'=R'cosA% Y° = R- sin A% Y = R sin A, Y'= R' sin A'.

En supposant de plus pour abréger :

m° = cosa*cos4*, 7i*=sinfl*cosi*, ^•=sinô*,

m scosa cosb, n =:sina cosb, p =:sin£,

m' = cos a' cos b\ n! = sin a' cos b' , p' = sin ô^.

Les équations (2) donneront pour les trois observations faites aux époques où l'on compte / = o> /= — 6,^ = 6' le systènoe d'équations suivant : Pour la première époque ,

jrz=:Y+nf, > (a)

z —pfi 3

Pour la seconde ^

vx + vx^ = X* + m'^ff

y/ + ur,=Yo+«7% \ (b)

\Z +VZj =;?'f°;

Pour la troisième ,

v' jc + v'x^ = X' + m'/, \

Il ne s'agit plus que d'éliminer entre ces équations les inconnues qu'elles renferment pour avoir les valeurs de celles de ces inconnues qui sont, nécessaires à la détermination de l'orbite de la comète. Or nous avons vu n" 54 9 livre II , qu'il suffisait pour cela de connaître les trois distances f °, f, / et les trois rayons vecteurs correspondans r^, r, r'; en éliminant donc des neufs équations précédentes les six inconnues Xfj", z , ^nXtfZ^ on parviendra à trois équations finales entre f% f, /, au moyen desquelles on déterminera leurs valeurs. Celles de /*, r, / seront données chacune par une équation semblable à l'équation (5) que fournira

chaque observation ^ et Ton pourra par consëquent résoudre ainsi complètement la question. C'est de cette manière que Lagrange a traité le premier le problème de la détermination des orbites des comètes d'après trois observations ; mais cette méthode , qui semble d'abord la plus simple^ est sujette dans les applications^ surtout quand on veut pousser un peu loin la précision , à quelques difficultés qu'il nous a paru convenable d'éviter ^ ce qui est aisé en choisissant pour déterminer l'orbite de la comète les six quantités Xy j y Zf x^j j^y z^y du Hcu dcs six quantités /*, f, f' y f* y Vy iK Nous avous vu en effet qu'au moyen de ces valeurs l'orbite pouvait être parfaitement fixée de grandeur et de position^ et que c'étaient même les données les plus commodes qu'on put choisir pour cet objet; nous prendrons donc ces quantités pour les inconnues dont il s'agit de trouver la valeur , et nous éliminerons des équations précédentes les distances f* y fy f qui ne feraient qu'embarrasser notre marche. Nous parviendrons de cette manière à la solution la plus simple et la plus exacte peut-être qu'il aoit possible de donner du problème qui nous occupé. Si des équations (a), (i), (c) on élimine les trois inconnues f^yf^fyOXL aura

mzz=zp. (x — X), nz:=:p.{j — Y), /w*. (vz-f-uzj=^*^.(vx+ua;^ — X*), n\ (vz+uz^)=/?^ (vj+ur,— Y«), \ (4) /w'.(v'z+u'zj=r;?'.(v'a:+u'a: — X'), ^

Si dans ces quatre dernières équations on substitue

DU SYSTÈME DU MONDE. i3

pour X etjr leurs valeurs en s, qu'on élimine ensuite ^/ ^J, entre les équations résultantes , qu^on fasse vu' — v'u = D*, et que, pour abréger, on suppose

X'u-XV+Xu"= L, Y'u — YV+Yd"=L', 00 aura les deux équations suivantes

mi'.(m'p''-m'p').z^=lrv'.(m''p-7rq>''').p'-Vv.(m'p-mp'):p'''].-

Si de ces équations on tire les valeurs de z et de z^ , et que pour simplifier on fasse

= (in'n — TOn') . p° + («t'^n — TO 7»®) .p + (mil* — ira"/i) . p\

on trouvera L\!'zz=z{ny — /iy)./>.L — (my — m>0-;^ -L' , (5)

AWu\«^=[vu'.(7i«p-n/>*»)./-v'u.(7ip-n/>')./>^.Ii ) ./.. — [vu^(//^"/>-77^p*).p'-v'u.(/7^/>-my)./)*'].'L^J '^ ^

Si Ton élimine entre les six équations (4) les quatre incotinues çc^ j^j^^ 2/ * et que pour abréger on fasse

X'u.^— ^XV. ^ 4^X/vu'. îîl— v'u.-,Wm,

Xu. ^ - XV. ^: 4-X/yu'. g- v'uX)=M',

iTfc 71* \ wr m /

on aura les deux équations suivantes

i4 THÉORIE ANALYTIQUE

uci'.(mV-i»'»").a:^=Cvi/.(iim**-m*«).TO — v'u.(iiwi'-ifi'n). !»•].-

uu'. {m^p'^ m'p^) .xj=: [rv^Çmp^^my) . ot'— v'u.(iiip'-j»'p). i»®] .-

Si Ton élimiae entre elles rinconnue z, on aura pour ' déterminer x^

De même en changeant dans cette équation x^ en y^ , fit yin^ nJ QVLn^^n^ n! , et réciproquenient , et en faisant pour abréger

r.4 - YV.5+Ï.(W. 5 -V,4)=N ,1 Y'o4 - Y.„'.g +Ï.(W. ^ - V,.|;>=^',f

on trouvera pour déterminer jr^ ,

4- Nous voici donc parvenus à exprimer sous forme linéaire les six quantités x^jr, z, x^^ jr^^ Zj, qui doivent servir à fixer l'orbite de la comète en fonction des quantités v, u, V, u', et de quantités toutes connues. Les valeurs de v, u, v', u% sont, comme nous l'avons vu , données par des séries qui procèdent suivant les puissances ascendantes du temps et qui renferment de plus les trois indéterminées

DU SYSTÈME DU MONDE. i5

r,5=-T-et "T. Il faut donc connaître encore les

valeurs de ces quantités ayant de pouvoir faire usage des formules précédentes. Or la première peut aôsément se déterminer au moyen de Féquatiôn (3) da n^ 2 ; en efifet , si l'on substitue dans cette équation pour f sa valeur en z donnée par la troisième des équations (a), qu'on compare ensuite l'équation résultante à 1 équation (5), on aura deux écpiations entre les deux inconnues r et z, d'où Ton pourra toujours conclure par l'élimination la valeur de chacune d'elles « Quant aux deux autres indéterminées set^; nous donnerons le moyen de faire

disparaître la première de ces formules^ et la seconde ny sera pas introduite par la substitution des valeurs de V, u, v', u', lorsqu'on ne poussera les, approximations que jusqu'aux carrés du temps , ce qui suffira dans presque toutes les circonstances; nous pouvons donc ne pas nous en occuper ici , et regarder les formules précédentes comme très propres à résoudre entièrement la question que nous traitons.

Pour développer ces formules, reprenons les valeurs deV et de U données n° 32, livre II. En ne poussant l'approximation que jusqu'aux quatrièmes puissances du temps / , on a

En faisant successivement tssi — 6 et tz=iB', on aura

i6 THÉORIE ANALYTIQUE

les valeurs des quantités que nous avons représentée^ par V, u, v', u'. On trouve ainsi ^ en rejetant les termes inutiles,

et comme u"=vi3' — v'u, on aura

Pour donner à nos formules toute la simplicité qu elles sont susceptibles d'acquérir, il convient d'exprimer les coordonnées X*, Y% X', Y' de la Terre, qui se rapportent aux observations extrêmes, en fonction du temps, et des coordonnées X, Y relatives à l'époque où l'on compte t=o. Nous supposerons donc

X«=VXH-UX,, X'rrzVXH-U'X,, Y« = VY + UY,, Y' = V'Y +U%,

en faisant, pour abréger, X^=-7-, Y^=-7- e*

en désignant par V, U, V, U' des fonctions semblables à celles que nous avons nommées v, u, v', u', et qu'on obtiendra en faisant successivement fc= — ^9 tz=zff dans les équations (m) , après y avoir changé r en-R et ^ en S ; on aura ainsi

* — ^ 2R3 2R5' ^ ~~ * iftS T^ 2fi»'

n— fia- *' j-Sfl* ,y ., 6's ,S6'i

Pour abréger, nous supposerons dans ce qui va Suivre

U"=Vti' — Vu, U/=W-.U'u.

Les valeurs précédentes donneront donc

— g '•V~Rv'

et par suhe

„W=?2^<î±2.(i,-,i,)-«::fcî),.(^-è).

Nous supposerons de plus

Mais dans ces quantités nous n'aurons besoin que de considérer ] es termes du troisième ordre; ou trouvera ainsi

/-«' . (8-0)3 6-3-63 ey.(fl--8)

i'où Ton tire

D ne s'agit plus que de substituer à la place de X** , *%X', Y' et des quantités v, u, v% etc., leurs valeurs dans les fonctions que nous ayons désignées par L,L',M, MSNetN'.

5. Nous considérerons d'abord le cas particulier où Tome II* 2

i8 THÉORIE ANALYTIQUE

les observations sont supposées faites à des intervalles de temps égaux ^ parce (jue les formules qui résultent de cette hypothèse acquièrent une grande simplicité j et qu'on peut d'ailleurs, y ramener le cas général en calculant trois observations équidistantes par des interpolations faites entre les observations données.

Si Ton remplace XP, X% ¥• ^ Y' par leurs valeurs , les expressions de L et L' deviennent

L = (u'— U'O.X + U/.X,, Dans le cas particulier où 6 = 6'^ on a

€* U/= o. Si pour abréger on fait ^ — ^ == ^, on aura par conséquent

L=— flVX, L'= — fl'trY.

On trouverait de la même manière

Si dans cette équation on met pour V , V, U , U', v, v% u, u' leurs valeurs et qu'on néglige les termes du cinquième ordre et des ordres supérieurs ^ on trouve aisément

Oo aurait s^mblablçment

2 Vu' ' nj ' Vn" n'/ '

Si l'on substitue pour L et L' leurs valeurs dans l'équation (5) , qu'on reivplace ensuite 2 par sa valeur dans les deux premières équations (4) , on aura

.T= X-f ^ . [(«y — »y ) . W.X— </»•/?'— n»';»») . OT . Y],

Les trois équations (6) , (7), (9) , en substituant pour L , L', M, M', N, N', leurs valeurs, donneront cje même

/ — [(to>— mp') . m°+ (/7i> — mp°) . m'] . Y J

^— [(m p— Tîip') .p*»4-rj»*>p — twip") .pT .T,

Si l'on remplace maintenant dabs* ces formules les lettres m<>, /ï"*, /?°, ?7i, », ;?, /»', V^p'par les valeurs qu'elles représentent, et que podi' al)Tfég(fr Oit fiasse

C = tang* . sin(A — a') — tangè' . sîa(A — a) , C = tangb' . sin (A— a^) — tang b^ . sin (A -^ a'), ^(c) C=tangJ^.sm(A — a) — tang* • sin(A — a^),

D=tangô* . 8îii(a'-a) +-tang6 . 8m(a«-a')+taiigy . 8in(a--û°) , (D)

ce qui donne

A = — cos J* cos b cosi' . D; / qu'on substitue pour X et Y leurs valeurs

X = R.cosA, Y = R.sinA, on trouvera après des réductions faciles

.Ctang*^

ar,= X,H-5g .(C»cosa«» — C'cosa'), jr,= Y,H-^ .(Cosinao-C'sin^), z,= ^ .(C'tangA--C'tangi');

formules d'une simplicité remarquable. En leur joignant réquation (5) du n^ 2, on aura tout ce qui est néciessaire à la ^éterminatjon des valeurs des six

quantités a?, jr, ,9t^ifJi> «< 6. Si Fou siJ^tae dans la ti

DU SYSTÈME DU MONDE. ai

fsin b, et pour <r la quantité qu'elle représente^ cette formule donnera

Ed faisant donc^ pour abréger ,

, Bl'C

on aura pour déterminer les inconnues f et r les deux

équations

r*=R»— f.(2RcosC)+fV )

On pourrait éliminer entre ces équations lune des inconnues quelles renferment; en substituant^ par exemple y dans la deuxième à la place de f sa valeur^ on parviendra à une équation finale du huitième degré en r, mais qui s'abaissera d'eUe^mème au septième. Cette équation^ résolue par approximation , donnera la valeur de r ; mais il est plus commode dans les applications de conserver les deux équations (B) y et de déterminer simultanément la valeur de f et de r par la méthode ordinaire des fausses positions.

Quand les valeurs de f et de r seront connues^ on aura aisément celles des six quantités a?, ^, z, ^ifTi% 2, par les formules (A) , et l'on en conclura celles des elémens de l'orbite par les formules du n® 29 , livre II.