Le grand axe est donné par l'équation

la THÉORIE ANALYTIQUE

Si Ton Bap{K>s€| que l'orbite de la comète est une parabole, on aura - = o , et Tëquation précédente deviendra

^=^x;+jr;+z;. (n)

Qn aura ainsi une nouvelle équation qui pourra servir à déterminer le rayon vecteur r ou à vérifier les valeurs obtenues par les formules précédentes. U sera bon de l'employer à la place de l'équation (lo), parce qu'elle a l'avantage de ne pas contenir la quantité D qui est très petite du troisième ordre par rapport à l'intervalle de temps 6 , comme nous le ferons voir plus bas, de sorte que les erreurs des observations peuvent avoir sur elle une influence sensible. Four la faire disparaître de même des formules (A) ^ je remarque que l'équation (lo^ donne

Les trois premières équations (A) deviendront donc

ainsi

^ zs X -f- f hCds iftCOS a^ \

^ = Y -f- f.cosb.eiaa, \ (12)

z es f.ma à, )

fAcKLTS qui CôSttddent d'ailleurs aVec treUes "du n* 3> et les trois dernières donneront

ap, =: X/ -4- •' ^ . (C* cos a' — C'cosa'),

^, = Y, 4- ^-^.(Osma'-C'sma'), ^(,3)

z, s= l^.<C»tangi'— C'tang*').

Si, pour abréger y on suppose

F = ^.(C«cos«*-C'cosfl'), G = ^.(Csm «•— C MU d\

les valeurs précédentes deviennent

H= ^.<C<>Uug*o-Ctang6'),

jr, = Y, +G.f, \ (i4)

Si Tou élève au carré c)iacaiie de ces valeurs , et <{a'(m la sufartîtue eoBuite dans Téquation ( 1 1 ) » on

aura ; . .

Cette équation^ jointp à Tcqnatioii

r* = R^ — f .(aRcos c) + p* , (i6)

que Ton obtient en ajoutant de même les carrés des yalears de x,jr, z^ servira à déterminer les deux in^ connues f et r.

Si entre ces dêiix équations on ^miilait r ou f ^ f éqoatifm résultante serait du sixième degré ; mais , comme nous Favons dit, il v^ut mieux, pour les txp^ (iicàiions, laisser ces équations Sous cette £^rnae , et ^ résoudre par ks méthodes ordinaires d'«pproxi<* Dïation.

ai THÉORIE ANÀLTTIQUB

Pour diriger les premiers calculs , remarquons que la seconde de ces équations peut se mettre sous cette forme ,

r* =;5Rrsîn\C + (p ~R cos ey ;

par conséquent r est toujours plus grand que R sin c. Désignons par S la valeur minimum de la fonction qui forme le second membre de l'équation (i 5), (valeur

qui répond à la supposition de f = p,^ j^A la fraction - sera plus grande que S ; on aura donc à la

fois r > R et r < ^. Il suffira^ avec ces limites, de

quelques essais pour satisfaire aussi exactement qu on voudra aux équations ( 1 5) et ( 1 6),

Lorsque les valeurs de r et de / seront connues , on aura innnédiatement celles des six quantités

^fj'f ^9 ^19 y 19 ^i9 ^^ moyen des équations (12) et (i5); et c'est un des principaux avantages delà méthode que nous venons d'exposer , qu'elle réduit au plus petit nombre possible les équations qu'on est obligé de résoudre par tâtonnement , de manière que les inconnues qui y entrent une .fois déterminées, les autres inconnues du problème s'en déduisent d'unq p^anière facile par des formules rigoureuses.

8* U tie nous reste plus, pour faciliter l'usage des formules précédentes, qu'à montrer comment se caliml^nt les différentes ^quantités coi^nues qu'elles renferment, et qui dépendient, sèit des lieux dti So-? leil dans l'écliptique , soit des données l'observ^tioa.

DtJ SYSTÈME DU HONBE. a5

Commençons par les premières. Les tables du Soleil feront connaître le rayon yecteiir R, et la lon^ gitude de cet astre pour Fînstant qui répond à Tobsenration moyenne. Si de cette longitude on retranche deax angles droits ^ on aura la longitude correspondante de la Terre ou Tangle A. Quant aux quatre quantités X , Y, X^ ^ Y^ , qui dépendent du mouye* ment de la Terre dans son orbite , les deux premières 86 calculent sans difficulté , puisqu'on a

X = R.cosÂ, Y = R.sinÂ. {h)

Soient maintenant , pour une époque quelconque, peu éloignée de celle de l'observation, e l'excentricité de Torbite terrestre et cû la longitude de son périhélie; désignons par u la longitude héliocen-^trique de la Terre , par r son rayon vecteur , et par a: et/ ses deux coordonnées rectangulaires. L'origine de ces trois dernières quantités étant au centre du Soleil^ Qoaura

x=:r. cos p , jr = r . sin j' ,

d'où Von tire, en différenciant ,

dx • rdff . dr