sm...-^-f-cos
dy rdp , • dr
L'équation de l'ellipse, en prenant pour unité » n* 2!x , livre II , la moyenne distance du Terre au Soleil, donne
et en différenciant
ai~ i—*» •"&"•
Un a d'ailleurs y par la nature du mouvement elliptique n^ 20 f livre II ,
par conséquent
dr ^^^^ e . sin {y — •) rdif 1/ i — «*
dt ^ i •— €* ^ dt . r *
Si l'on substitue ces valeurs dans les équations (A:); et qu'on suppose ensuite ^ = o , ce qui donne (^ c=s A ; r.= R^ on aura
Xyi — «'.sinA , e.sin(A — «).C08A Y y/ 1 — g' « cos A , « . sin (A — •) . sin A •
Ces équations jointes aux équations (h) donneront les valeurs des quatre quantités X, Y, X^, Y^j on en tire aisément
relations qui nous seront utiles dans ce qtd va suivre, et qui d'ailleurs résultent directement des formules différentielles du mouvement elliptique.
DU SYSTÈME DU HOimE. 37
Si l'on négligie lô cube de r^excentricité de l'orbe terrestre, qui est une très petite quantité^ on aura
X^== — ( ■ ~ * ) • sin A -f-a. sînfA — ûI) .ces A,) ï/= l — R^~) •cosA-f*e.sin(A — û>).sîaA.j
Ces formules donneront avec une exactitude suffisante les valeurs de X, et Y^, lorsqu'on y aura substitué pour eeicd les nombres que ces lettres représentent , et qui dependeqt de lathéoriede la Terre. Ainsi, par exemple, Texcentricilé de Forbite terrestre au commencement de 1801 était de o,oi6853i8, et la longitude du périhélie à la même époque était de gg^So'S''; on aura donc potir les temps voisins de cette époque
û^=99«5o'5^ lôg-('-:^') = 9. 9999584 — logR.
L'exoevtrâdté e diminue de o,oooo4i 8019 par siède, et
la longitude a» augmente de t 'J' k peu près par an •
Ëafin^ ùtk peut observer qu'en Tertû des équalions
(I — - «*\ — ~— jet e. i5in(A — û>)
la relation suivante ,
■i >,av4
Si l'onL voulait négliger leorré^de l'excentricité de IWbite terrestre^ ce qu'on peut «e |>emiettre sans ^n«iir seunble, le calcul des quantités X, et Y, en
a8 THÉORIE ANALYTIQUE
deviendrait encore plus simple, et pourrait mrâaese faire îmmédiatemeat en n'employant que les données des tables. En efiet , soit R' le rayon vecteur de la Terre lorsque sa longitude  augmente d'un angle droit , on aura
I — e. sm. (f^ ■"•)
d*où Ton tire
e . sm (p — a) = ^ — .
On aura donc simplement , en omettant les termes de l'ordre e%
X^ = — . ^ . sin A 4-^-^i^ • cosA,
Y, = ^ . CQs A +(--57--) • sin A.
La détermination des quantités C^, C^ C^ F, G^ H, qui dépendent des observations , n'offrira aucune dif-* ficulté d'après la forme très simple que nous leur avons donnée; il suffira d'y substituer pour a^, b^,a, hya\ V les valeurs des trois longitudes et des trois latitudes observées.
Quant à l'expression du temps qui entre dans les formules précédentes, il faut remarquer qu'ayant pris pour unité la moyenne distance de la Terre au Soleil, le temps doit être représenté par les arcs du moyen mouvement solaire/ conformément à ce que nous avons dit n^ 23, livre IL Si Ton suppose donc que les intervalles 6 sont donnés en jours et en parties déci-
maies du jour temps moyen, comme cela a lieu ordinairement, il faudra, pour l'homogénéité des formoles, multiplier 6 par Tare que parcourt en un jour
le Soleil en vertu de son mouvement moyen , cet arc étant lui-même réduit en parties du rayon. L'année sidérale est de 365^, 25638 ; si l'on représente par ^ le
rapport de la circonférence au diamètre ogg g^og sera
l'arc du moyen mouvement du Soleil en un jour, par leqael on doit multiplier le temps , c'est-à-dire qu'il faudra ajouter au logarithme de 0 , exprimé en jours moyens, le logarithme constant 8,255582i.
9. La forme des valeurs précédentes de X^ et de Y^, permet de faire subir aux formules (i4) et (i5) quelques modifications qui rendent leur usage encore plus commode. En effet, si l'on suppose
P=^. [C^sin(A — a-)~C'sin(A — aO], Q=2g* . [C«cos(A — a«) — C'cos(A— a')], H=;?^ . [C-tangi-- Ctangil,
les valeurs de x^y y^j z^, pourront prendre cette forme
x^ = X^-f-(PsinA-f-QcosA), f, X==Y/ — (PcosA — QsinA). f, z^ = H.f.
£n substituant dans ces expressions, à la place de X^
^Y^y leurs valeurs données par les équations (/), on aura
3o THÉORIE ANALYTIQUE
(I Jtf'\ P.C g-^^l'SinA+tQ.ç— #.sin(A— «jJ.cosA,
j'^ïss— Tp.ç ~* J.cosA-f-CQ*C"~g»sin(A. — «f)J,8În A/^*
Si l'on élève au carré ces valeurs ^ et qu'on les ajoute, l'équation (il) deviendra
Cette équation y jointe à la suivante ^
r* = R* — /.(sR cos c) + f •, (iç()
donnera la valeur des inconnues ^ d'où dépend la détermination des six quantités ^ , 7", 2 , ^sfJu ^r
C'est à ces dernières formules qu'il ccMivîent de s'arrêter, comme étant les plus simples que l'on puisse employer pour les applications numériques. Les quantités P et Q sont, comme on voit^ aussi faciles à former que les quantités F et G que nous avions introduites dans les formules (14) et (x5)i et leur emploi offre l'avantage qu'il dispense de faire un nouveau calcul pour déterminer X/et Y^. Au reste, comme ces formules ne différent entre elles que par leur forme ^ ce que nous avons dit sur l'usage des premières s'applique identiquement aux secondes.
Enfin, pour faciliter autant que possible les opérations du calculateur , tious remarquerons que ^ comme on est libre de choisir à volonté la ligne d'où l'on compte les longitudes sur le plan de Vé-^
DU SYSTÈME DU MONDE. 3i
diptiqae, on peut prendre^ pour cette droite, le rayon mené de l& Terre au Soleil à l'époque de l'observation moyenne ; on aura la longitude de la comète, par rapport à cette ligne , en retranchant l'angle A
de chacune des longitudes a®, a, a\ On détermi*nera, au moyen de ces longitudes factices, les valeurs de X, j, z, Xf, jj, 2,, et il suffira, pour en déduire les élémens de l'orbite relatifs l'équinoxe vraie, d'ajouter l'angle  à toutes les longitudes qui en r^lteront. Or, l'hypothèse précédente dontie A =7 0, et par conséquent, sin Asro et cos A= i. Les valeurs des six quantités a:, jr, z, oc^jjr^, z^, se réduiront ainsi à cette forme très simple ,
a:=R+ f . cos(A — à), cosi, j' =s — / . sin (A — a) . cos i, z =: p.sini,
x'= [Q.f— e.sin(A— û>)], ^ (^o)
Quant aux fonctions que nous avons désignées par C% C, C, D, et aux quantités F, G, H, ou P, Q, H <pi s'en déduisent , il est visible qu'elles ne changent pas de valeur par la transfoi^mation précédente , et ({u'elles pourront servir ^ dans tous les cas, de quelque inanière qu'on les calcule.
10. Voici donc, en résumant ces différens résultats , la marche la plus simple à suivre pour détermine!^, d'après trois (Nervations équidistantes, l'orbite d'une ^mète. Connaissant les trois longitudes ip, a, a' et les
trois latitudes correspondantes 6*, b^ V de la comète ^ ainsi que la longitude A de la Terre dans son orbite , et le rayon vecteur R, relatifs à l'observation moyenne, on commencera par calculer, les trois quantités C% C, C par les formules (C), et Ton déterminera, par leur moyen , les trois quantités P , Q , H. Oa fqrmera ensuite les équations (i8) et (ig)^ et en les résolvant par approxî^mation , on aura les valeurs de r et de f y à l'aide desquelles on trouvera celles des six quantités x^j^Zy x^^jr^y z^y fiar les formules (17) ou (20). Ces quantités^ une fois connues^ les élémens de l'orbite seront donnés par les formules du n'ag, livre II.
Il ne faudra pas perdre de vue, lorsqu'on fera usage des formules précédentes, qu'elles ne sont exactes qu'aux quantités près de Tordre 0', et que par conséquent les intervalles de temps doivent être assez courts pour que les séries (m) soient convergentes , sans cependant être trop resserrés , parce qaCf dans ce cas, le mouvement géocentrîque de la comète étant trop petit, les erreurs des observations ont une plus grande influence sur les résultats. En prenant généralement des observations dont les deux extrêmes soient séparées par un intervalle de temps qui n'excède pas dix à douze jours , on satisfera à la première condition sans tomber dans l'inconvénient d'opérer sur des observations trop rapprochées.
1 1 . Puisque le problème de la détermination de l'orbite parabolique des comètes contient en général plus d'équations que d'inconnues , il est clair qu'on pourra donner) pour le résoudre, une infinité de méthodes
en combinant de différentes manières ces iéqùatîons entre elles* Tontes ces méthodes donneraient des résultats également egta{;ts> si l'on-ponvait compter «sur les données fournies par Tobservation; mais comme leur précîsioti' n^est jamais rîgou+euse, fl faûdî^â', parmi les combiuaisons qu'on peut faire des équations primitives du problème ^ choisir celle qui emploie le moins de cesrdsCKiqées y et qui.> par 'Conséquent , est pins exempte que les autres d^s ;ëiiFèurs :dJ9s observa*^ tions. Il est bon , pour éclairer cette question , de faire quelques remarques inr là sîgpifîc^tipti . des quantités que nous avons désignées par r£^, G*, C, C. Considérons y pour cela^ le triangle . spbérlque formé par les arcs de grand cercle qui -joignent les lieux de la comète dans les trois observations données; soient C'C, C**C% CG% les trois cotés de ce triangle'; et désignons parC,'C,''€!® les angles respectivement opposés. Lès' trois quantités m% 71% p"* représentent les cosinus de ^ L'angle que fedt le rayon /** mené de la iTerre à la comète avec les trois axes coordonnés; les quantîtés:/fr/7î,^'^ et m', n',p^ i^résentent les mêmes cosinus, rçjia^ti^.^ la seconde et à la troisième observation; on aura donc par les théorèmes connus ,
cos (0>C) = m^m +n^n+p^p , cos (C«C) = /i^W-f n'^rZ+p^p'
cos (CQ') = mm^nn-^pp^ ,
Ott bien, en remplaçant dans ces équations 7w% n*, P% etc., par leurs; valeurs n*" 5, -^ • .
