Tome U

005 (C*C)=scos (a^* — a )cos b° cos b +siaÂ*$m b , COs(GCi )B=icos(a-r-a')cosi cosA^-rf-sîa* sinA', 008 (C^C*) =5 cos {al -r- a*») cos b^ cos A'+ sin A** sin V •

I\epriçilO](]^ ms^in tenant la yaleiir de A ^ numéit) cité,

Si Ton élève an carre cette quantité ^ on pourra écrire ainsi le résultat

— (/»»+ »»+/>•) . (/»^»»'+ /»^//+ />V)* ' — (ro'»+ a'S-/*) • (w'^a 4- »°/> +/>"/>)%

équfitiov cpi $e vérifie, en e(fçt, en la disveloppant. Qr, ofL ^, caxtre Içs quantité m^, /z'^ />%. etc*, ces éqp^tîons àe condition

on auF^ dçpc simpjteDgient ,

A*= i+2.cds(C"C).cos(C*C0.cos(CC')

— cos*(C^C)— cos*(C«C) — cos-ÇCCO-

On a d'ailleurs , n« 5 , D == rr-^ r.- Oa

cos 6^. çoi 6. cos 6

voit donc que )a quantité D n'est qu'une combinai^ son particulière des élémens du triangle C^CC inter- 1 oepté sur la siirface d,e la ^pbè^e par les |;rois liei;ix de \ la comète, et qui résulta entièrement des observatjioiis* On peut donner à la valeur de A une autre forma

qui a Favantage de montrer de quelle manière cette quantité participe aux erreurs dont elles sont affeer tées. Pour cela , remarquons que langle C* du triangle C'CC étant opposé au côté CC, on a

cas(C(r) =cos (C»C) . cos (C^C) + sîn (C»C) . »in (CC) . sîu C*.

Si Ton substitue cette valeur daiis Fexpressîon de A* et qu'on extraie la racine carrée /on trouve

A = sip (pC) . sin (C-C) . sinC' ,

équation pu Ton pe{it d'ailleurs changer C* en G ou C'en C, et réciproquement.

Il est évident maintenant que si les observations sont très rapprochées, comme on lest cibligé de le support pour faciliter la déterfuination des or})ite^ des coniète$j| les arcs C^'C et CH]' çeron^ fort petits et l'angle C* différera peu de deux angles droits. La quantité A, c^ par conséquent D, sera donc une très petite quantité du troisième ordre ^ur laquelle les erreul^ des observations auront la plus grande influence ; il faudra donc, comme nous l'avons déjà dit, éviter autant que pos^ sible l'emploi de cette quantité. On peut remarquer encore que la valeur de D serait rigoureusement nulle, siC' était égal à deux angles droits, c'est-à-dire si le lieu de la copiète dans la troisième observation^ se trouvait dans, le plap du grspid cercle mené pav les liei^x de la première pt de la seconde observation; et l'on sait en e^et que pour que trois pôjnts dont les iMgitudes jid^sfeeûves sont a% ai, al , et les latitudes (&% h y b\ soient âtués dans le {dan d'un même

grand cercle, il faut qu'on ait l'équation de con^ dition .

tang b . sîn (a®— <i)+tang 6° . sm(a' — a) +tang b' . sm(a — a°)^o.

Passons aux quantités que nous ayons nommées C, C**, C, et commençons par la première. Si Tou considère le triangle sphérique SQ^G formé par les arcs de grand cercle qui joignent les lieux du Soleil dans l'observation moyenne, et ceux de la comète dans les observations extrêmes , il sera facile de voir que C est une fonction composée des élémens de ce triangle , de la même manière que D se forme des élémens du triangle C°CC'. Il suffit, pour s'en convaincre , d'observer que la valeur de C se déduit de celle de D en remplaçant , dans cette dernière , les quantités qui se rapportent à l'observation moyenne de la comète par celles qui dépendent de la position du Soleil à la. même époque. Si Ton suppose donc

r=ssin(SC) . sin(SC') • sin S , C sera du même ordre que T, et l'on aura

cosA^.cosô"

on aurait des expressions semblables pour C"" et C, en considérant les triangles sphériques SCC et SG^'C. On, voit, par conséquent, que les quantités C°, C, C sont simplement du premier ordre; elles dépendent d'ailleurs en partie des lieux du Soleil,' qui peuvent être regardés comniie exacts, puisqu'ils se calculent par

les tables : on doit donc les eipployer de préférence à la quantité D qui est du troisième ordre ^ et qui ne dépead que des données de l'observation, et c'est par cette raison que nous l'avons tout-à-fait rejetée dans la méthode eieposée plus haut.

12. Il faut observer cependant qu'il y a des cas où œtte méthode elle-même peut conduire à des résultats incertains? ce sont ceux où les lieux de la comète, dans deux des trois observations, sont situés à peu près dans le même planrqué le Soleil à J époque de l'observation moyenne. On voit, en eflet, que cette circonstance rend très petite l'une des quantités C"*, C , C, et elles ne peuvent plus alors être déterminées avec assez de précision. Le seul moyen de remédier à cet inconvénient , qui est surtout très grave relativement à la quantité C qui entre dans les dénomiijiateurs des valeurs de F, G, H, P, Q, serait de recourir aux équations primitives U) et de chercher à en former une combinaison nouvelle par laquelle on pût éviter de faire usage de œs quantités; mais tes formules qu'on obtient ainsi conduisent à des calculs beaucoup trop longs et trop compliqués pour que la. pratiqué puisse s'en, accommoder. Ce qu'il y a donc de plus siniple à faire dans ce cas , c'est de choisir trois nouvelles observations pour déterminer l'orbite , ou si l'intervalle qui sépare les obsl^rvations extrêmes sur lesquelles on opère ne permet pas, par son peu détendue, d'éviter l'embairras dont il s'agit; de regarder l^élenlens obteims ' par la. méthode précédente * comme unfe première approximation des vrais élément; et de les

rectifier ensuite , d'après Tensemble desdbserv&tiœiSy par les méthodes ordinaires*

1 5. Noos allons maintenant considérer le cas général où les observations données sont séparées par des intervalles de temps quelconques^ mais que noiis supposerons toujours peu considérables. Reprenons les quatre équations (5, 6, 7 et 9% n» 3 : si pour simpUiier les calculs on Suppose

f =cotô*,cosa% / = cot5.cosa, /'=;cot&'.cosû', hf = cot b^ . sin a^f A = cot 6 . sin a, h' = cot h' . sin a', /•=tanga% / = tangû, /'= tanga',

. tang b^ __ tang b , ^ tang^fe'

à^ =cota*, c = cota, c? = cotÀ',

rf.=îi^^ d=:^l, ^'=*^'.

ama" ' sma ' tin a

'ces équations pourront s'ëcrire ainsi, '

A'.tJ*. » = (A' — A«) V L— (/'—/•). L', ■ A'. «nj'w'.a,= CW. (fco — A) — v'd . (V— A)] . L ; : -[W.C/'-O-v'u. (/'-/)]. L',

A" . Wc' .x,= [vu'. (/• -/)- v'tr . (/'-/)] . M' \(2 1 )

^ — [tro'.{rf''~rf)— Vo.(i'— i)].(II-i.L),

en Faisant, pour abréger, .

Développoiis ces formules poui: eii déduite tés va-* fleurs des six quantités ^^ Ti z, x^^j^^ 2,. Afin d'è'vii ter toute opération inutile> nous remarquerons d'abord

que le produit uùV étant da troisième ordre par rapport aux întervàlies 6 et ff, si Ton veut avoir seulement dans les valeurs dea:,/, etc. , les termes du premier et du second ordre par rapport au temps , il saiBra de conserver dans le développement des équa^lions précédentes les termes du cinquième ordre in-

dusivementqui^parladivisionis'abaisserontauseeond^ et l'on pourra négliger tous les autres. Or , les coefficîensdes quantités représentées par L, L', M , M% N, N' étant au moins du premier ôrdrë^ il suffira d'àvôin? égard dans le développement de leurs valeurs aux termes du qu&trième ordre. Cela posé> si pour abréger on ùât

(itl—ff/ ^—8 flr/ » » - £. S y

et qu'on suppose

on trouvera par les valeurs de.L et l/, données n*5,

La première des équatioils (21), en y substituant ces valeurs et en divisant lés deux tnembres par 2^'^ Reviendra

=^|'*K^-*-n.Y.-(A'-.*«).XJ.

4o THÉORIE ANALYTIQUE :

Quant à la seconde , remarquons que les quantités L et 1/ étant du troisième ordre , il suffira de conseryer dans leurs coefficiens les termes du premier et du second ordre en Si et 6' ; on trouve ainsi

Vï/.(A«— A)— Vv. (A'— fc) = fl'.(A«— ft)4-l.(V — A) ]Çn pbservant donc que uu'u"=— aOfl'S'', on aura

La valeur de M donnée n"* 5 , en ayant égard à la signification que nous avons supposée aux lettres U", V'% u', V, U/', V/, peut prendre cette forme

M= i. [(o"u').(/4-/-)- (v"- v) . c/'-z-jJ-x

Pour simplifier les résultats^ nous observerons que todifféretiiife /^'^/•'est uùe quantité très petite de Tordre de l'intervalle de temps 9 + 9' qui sépare les observations extrêmes; en sorte qu'on -peut dans la valeur de x^ négliger son produit par des quantités dépendantes de la ^cinquième puissance du tempsl En sùbistîtuaiit pdur xf' ,W , etc. , leurs valeurs, on aura ainsi

DU SYSTÈME DU MONIffi. 4t

on trouverait par des réductions semblables aux précédentes ,

M'=-ô9'fl".(g'-l-^).X,-Gfl'.(g'-g')-(X,-H-t^fl;'.X),

r''-{f''-f)-^v(f'-fy=^-{f''+f'-^fi-K-if'-f), î

on aura par conséquent

Enfin, on obtiendrait d'une manière analogue

N=— «rfl' .(c'+c") . T,--«' . (,c'—&>) . (T/+ i .«-Î/.T), S'=— ÔTB'. (<i' + <^) . T.r-eô' . (t?— d») . (T, + i.^9/.T), W . (c» — c) — Vu . (,</— c)=6'. (c» +c' — ae)— fl/ . (c' — c») , W.{â'^d)—Vv. (^— </)=»•. (d'+d'—îi)— s; . K— d»),

et par suite

i4* Pour réduire les formules précédentes à une forme semblable à celle des formules (A) n"* 5^ nous observerons d'abord que l'on a par hypothèse

/fa THÉORIE ANALYTIQUE

Or, si Ton &it

le facteur fl/o" pourra être représenté par afl/Ç; car la différence de ces deux quantités ou j(jS^ — ô)*. Ç se trouve de Tordre des quantités que Ton est en droit de négliger. On peut donc mettre les valeurs de X, et Y, sous cette forme plus simple

Y.= e.(Y+f.fl/Y,).

Remarquons encore que les quantités X^^ Y^ se trouvent multipliées dans ces expressions par la quantité très petite ^' , en sorte qu'on peut, dans leurs va^ leurs ^ négliger les termes très petits dépendans de l'excentricité dé l'orbite terrestre, ce qui donnera X^=3 — sinA, Y=+cosA, ou encore X/=3— ILsinA, Y^=R.cosA; on aura donc par conséquent