X.t=RÇ.(cosA— |8;siïiA), Y,=R0.(sîiiA-Hfl/cosA
Si l'on substitue ces valeurs dans les ëxprèsâons de Zf ^t> ^i>fif qu'on y reitaplaceTÇ g^, A, /, c, d, etc.,^ les quantités que ces lettre^ représentent , qu'dn suppose pour abréger
C/= tang^ . cos(A — ^) — tang b^ • cos (A — tf), C^ = tangft' . cos(A --* a?) -^ tang b"" . cos (A — a^, C/= tango", cos (A — a) — tang b . cos (A — a'),
en faisant attention aux valeurs de A, A^, A% n° i5;
Dtr SYStÈME DU MONDE. 43
00 trouvera d'abord
et les formules {22) (^5) (24) donneront ensuite
1 =X,+ ?g-, [C^cosa^»— Cowa' + 1»/ - (C/cosôf— C/cosa')]
+^-^^ + 5^'- C,)co6a + R$é;; cosA,
+5§^''.(C + 59/. C,)8Îna + Bfi;.rinA,
Si dans ces formules on suppose 6=0', ce qui donne 8'=:fl> fl/=o et ^zsi^o'^ on retrouve lés formules (A) <1q n" 5, ce qui peut servir à confirmer leur exâctitade. On peut d'ailleurs faire prendre aine formiiles précédentes une forme plus simple encore; en effet, SI Ton suppose
C'-Hfl;.c,''s=c.% c+|«;.c^„ c'H-|«/.c/=c.',
la valeur de z devient
z=-^.C,.tang*, et les trois formules (A') idonnent
44 THjSORIE ANALYTIQUE
^.=X,+i^.(C,«cosa«-<:/co8aO+^^C,cosa+R$ô;.cosA,
Pour éliminer du dénominateur de ces formules le| coefficient D, dont Finexactitude doit faire autant que possible éviter l'emploi, observons que la valeur
de z donne -rr = ùJt^ — : z> ou, comme z=fsini,
D ob C, . tang 6' ' '
■^ = y^. Si l'on substitue donc cette valeur dans les formules (D) , en faisant pour abréger
F, =^ • [•' • (C.°cosa«— C/cos a^+^/X. co» a+ô/.D cos A], ^'^wè • '^®'' • ^^'° sina»— C/ sin a') +e;.C, sîn a+é/.D sin A], H,=g^. p\ (C,»taiig^o- C/tangy) + i;.C.tang«,
OU aura simplement
jr, = Y, + G'./, z,= H'./».
Si l'on forme les carrés de ces trois valeurs , et qu'on
les ajoute en observant que leur somme est égale à -j n° 7 , on aura
?=i- 1 + a/.(F,X-H G,Y) Jhr- (F/+ G/+H/).
DtJ SYSTÈME bu MONDE. 45
Cette équatioQ jointe à l'équation.
r'sssR^-ï—f . (aRcosc) «4- f',
servira à déterminer les valeurs de /vet de f.
Enfin si Ton veut faire prendre aux valeurs de x. , J^i z^ y la forme que nous leur avons donnée n^ 9 » on
fera
:^.[e'.[C,«sîn(A-a«)-C/8m(À-a')]-f^/.C,sm(A-û)}, =j^ .p'.CQ^tangt*— C/tangô') + é/. C. tàngi].
En substituant ensuite pour X^ et Y^ leurs valeurs dans les expressions de oc^^y^y z^, on trouvera
(I — -«'\ P^.^ gi-^.8ÎnA + [(X.C— «.«înCA— 4r)].cosA,
P^ . e g^- j cosA+[Q^ . ç— i? . sin (A— •)] . sin A,
Si Ton ajoute les carrés de ces valeurs , on aura
H'""^«C^'- *-^+Q..««n(A--»)]+ç*.(P/+Q/+H;), (ce)
cette équation , jointe à Téquation ordinaire
r*=R»— ./'.(2Rcosc)4-/'% (ë)
fournira toutes les données nécessaires pour la détJir- Diinatioa des deux inconnues retf.
i5.Lesforinulesqui sei'vent à déterminer 1|3$ valeurs des six quantités Xyjr, ^9 ^^fj^j^ ^,f sont donc parfaitement sein\)l£|bleSy soit que Ton considère des observations équidistantes 9 ou des observations séparées par des intervalles de temps quelconques. Les copfficiens F^ , G^ , H^ ou P^ , Q^ , H^ seront seulement dans le second cas un peu plus compliqués que leurs analogues F,G,HouP,Q,H, Quant aux quantités que nous avons désignées par C,® , C, , C/ , leurs valeurs peuvent se former très simplement; en effet > si dans la valeur de C,®, par exemple, on met poi^r Ç* ^tC/ les fonctions que ces lettres représentent, on à
C.« ="Ung i.[smX^ — « ) + !C- co«(A. — a')] — tang 6'. [s in (A — a) -f- §•/ cos (A — ày]*
Or, il est évident que cette expression peut prpndre cette forme '
C.» ;= tfing 6 ,Mij ( A^|«;^fzO-rr ta^)g&^ sîd(A+^;V fl) , {^^^
puisque nous négligeons les t^rm^ déperf.4ans du carré et des puissances isupérieures de fl'^ La même observation s'applique aux valeurs de C^ elG/; il suffira donc de substituer A +36/^ au lieij de A dans les équations(C),n°5,quidonnerbntalorsimmédiatenient
les valeurs des troi^ quantités C,®, (J^y G,'., Quant à la partie |6;*ou ^-Cfl'-^ ^), elle doit être exprixtiée en parties de l'arc que décrit dans un jour le moyen mouvement du SeleiL Pour feîne cette réduction, on n'aura qu"a multiplier la quantitp |^.(9' — 8), dopnée en jours et fractions décîihàles du jour temps moyen, par le
nombre 355 ^33 » ^^f c^ ^ï^^ revient au mêrnC; au
DU SYSTÈME BlU MONDE. 47
logarithme de |«(6'-— 0), on ajoutera Iç logarithme coostant 3.55pô073, et Ton aura la partie |. (6'— 6), exprimée en secondes..
Il est superflu de répéter ici Tobservation que nous a^OQS déjà faite sur la convergence des séries (m) ; nous ajouterons seulement que comme , dans les for-* mules précédentes, nous ayons regardé 6' — 0 comme une très petite quantité , il faudra que les intervalles de temps qui séparent les observations qi^e Ton a choisies, quoique inégaux , ne soient pas très diffé-r rens entre eux; on satisfera k cette condition et a celle du n® lo , en prenant des observations faites à cin(| ou six jours de distance l'une de l'autre.
On pourra donc, pour former les données nécessaires à la détermination de Torbite des comètes, se servir , selon qu'on le jugera convenable , de la première ou de la seconde méthode que nous venons d'exposer. SI la dernière entraine dans des calculs plus compliqués, cet inconvénient est peut-être compensé par les opérations préliminaires d'interpolationsauxquelles il faut recourir, lorsqu'on fait usa^e de la première, pour calculer des observations équidistantes. Il faut remarquer encore que, comme les observations factices qu'on obtient ainsi sont toujours moins exactes que des observations réelles , on doit attendre de la première méthode des résultats toujours plus incertains que ceux que donnera la seconde, qui a l'avantage de s'appliqaer immédiatement aux données de l'observation.
1 6. Q^ell^ que soit au reste la méthode que Ton omploie pour détenniner les six quantités x, j^, 9, o?^, Ja z^, il sera facile d'en conclure par les fonnule3 ch^
chap. V, livre II, les élémens de l'orbite de la coméfef. Pour cela, on commencera par former les trois quantités xy^ — ^iJ'> ^2/ -^ ^yZ , yz^ — yf^. La première qui , multipliée par dt^ représente Taire que trace petidant cet instant la projection du rayon vecteur de la comète sur le plan de l'édiptique j fera connaître, selon qu'elle sem positive ou négative , si le mouvement de cet astre est direct ou s'il est rétrograde. On calculera ensuite la quantité ocxi^yj^-^zz^^ ou du moins on s'assurera du signe qu'elle doit avoir, patce que ce signe fait connaître si la comète a déjà passé' par son périhélie ou si elle s'avance vers ce point. En effet, on a
di . t
Si la quantité xx^^jy^-^- zz^ est négative, le rayon vecteur via en diminuant , et par conséquent la comète tend vers le périhélie; elle s'en éloigne au contraire si cette quantité est positive.
Si l'on nomme i l'inclinaison de Forbite sur l'écliptique , et oc la longitude de son nœud ascendant , le mouvement de la comète étant supposé direct , on aura , n** 29 , livre lï ,
0^/— x^7=î cos i • V^D , ]
xz^ — x^z === sin i • cos a . V^^D, V (27) yz; — y^z ^= sin i .sipa^ \/iî). J /
On déterminera immédiatement par ces formules ks valeurs de la distance périhélie D et lés angles 9 et et. On aura d'abord
DU SYSTÈME DU MONDE. 4g
LU
La tangente déterminée par la première formule convient également aux angles a et i8o^ + a. Pour savoir lequel des deux on doit choisir^ on observera qae les astronomes supposent que Tindinaison i des orbites ne varie que depuis zéro jusqu'à 90^ , c'est-àdire qae l'on compte cet angle dans des sens opposés, selon que le mouvement est direct ou rétrograde; l'angle 1 devant toujours par conséquent être positif et plus petit qu'un angle droit, cette condition déter^ ^ine le signe de sin a, et par suite la valeur de a. Cet angle est la longitude du nœud ascendant si le mouvement de la comète est direct ; c'est celle du nœud descendant si la comète se meut dans le sens contraire, et il faudra, dans ce cas, l'augmenter de deux angles droits pour avoir la longitude du nœud ascendant.
Lorsque les angles i et oc seront connus, on aura la distance périhélie par la formule
2 cos' i
On pourrait d'ailleurs la déterminer indépendamment de ces angles par la formule
qu'on obtient en ajoutant entre elles les trois équations (37) après avoir élevé chaque membre au carré. Tome II. 4
5o THÉORIE ANALYTIQUE
G)nnaîssant la distance périhélie D et le rayon vecteur r, on calculera l'anomalie vraie v de la comète au moment de la seconde observation par Téquation
COS*ïi^ = — •
On cherchera dans la table des comètes le temps T qui répond à cette anomalie , et en faisant ensuite
on aura le temps t employé par la comète à parcourir l'anomalie v. Ce temps ajouté à Fépoque de l'observation moyenne si la comète s'avance vers son péribé- Ire , ou en étant retranché si elle s'en éloigne ^ donnera l'instant du passage par le périhélie. Il sera même eo" core plus simple de calculer directement le temps t parla formule du n"" 26^ livre 11^
t = (aD^)^ . (tang k^ + \. tang« \ v\ (28)
en observant d'ajouter au logarithme de t le logarithme constant i ,76441 79 > q^i est le complément de 8,2355821 pour que le temps t soit exprimé en jours moyens.
Enfin , pour déterminer la position du périhélie ^ on calculera d'abord la longitude héliocentr^ue 9 de la comète par la formule ,
tang(p = ^,
en ayant soîck de chojsir entre les deux angles f et
DU SYSTÈME DU MONDE. Si
180'+ (p, auxquels cette tangente convient également, celai qui rend sin p de mâme signe que / et ctiâ ip de même signe que x.
Ensuite , en daignant par € la distante angulaire delà comète au nœud dotit la longitude est a, € sera lliypoténuse d'un triangle sphérique dans lequel I est l'angle adjacent au côte ^ — a. On aura donc, pour la déterminer,
et la distance du périhélie au nœud ascendant augmentée de la longitude de ce nœud , ou ce que les astronomes appellent le lieu du périhélie sur l'orbite , sera flt-f-^ + «^ si la comète s'avance vers son péri- Mie, ou a -|- ^ -^ i' si elle Fa déjàt dépassé.
17. Tous les élémens de l'orbite se trouveront ainsi déterminés; maiscommeonn'a employé pour cela que trois observations peu distantes entre eUes, et que d'ailleurs beaucoup de termes ont été négligés dans les formules pour faciliter les calculs , on ne doit regarder ces âémens que comme une première approximation , et chercher à les corriger de manière à satisfaire le plus exactement possible à l'ensemble des observations connues. On a proposé pour y parvenir {^usieurs aiétkodes dont l'esprit est le même, mais qui difiarent en ce qu'elles emploient divers éléttuetis del'orbite supposée connue approximativement; celle qaenous allons développer, et qui nous semble la pltis simple f suppose que les |)Temiers calculs ont donné d'ane manière approchée la distance périhâîe et Vini^
5a THÉORIE ANALYTIQUE
tant dtt passage de la comète par ce point. U est utile par cette raison d'avoir le moyen de déterminer ces deux quantités indépendamment des autres élémens de l'orbite ; c'est ce qu'on peut faire très simptenient de la manière suivante. On a ^ n* 4 >
Cette équation, en substituant pour ^ , x,f7,y^f^^^ Zg leurs valeurs n** 9, donnera
/ «= ç*. [P . 8in(A — û) + Q . cos (A — a) + H . tang J] . cos^, — Ç • ] — îT^ .sîn( A— fl)4-^.sin(A — a») .cos( A-a) 1 . cos WJR — R . « • sin (A — •).
Si le signe de s est positif, la comète s'éloigne du périhélie; elle marche vers ce point si s est une quantité négative.
La valeur de s étant connue, on aura la distance périhélie D par l'équation
On en conclura l'anomalie v par Téquation de la parabole.
COS*tP=:— , a r '
et l'on déterminera , au moyen de la table du mouvement des comètes, le temps employé à décrire l'angle v. On ajoutera ce temps à celui de l'époque si la comète s'approche de son périhélie, ou bien on Ten retranchera si elle s'en éloigne, et l'on aura l'instant du passage par le périhélie •
