CHAPITRE II

Correction des élémens de V orbite déterminés par une première apprr>œinuztion. ' .'

i8. Après avoir développe, avec tout le détail né-* cessaire, une méthode très simple pour arriver à liae connaissance approchée des élémens de l'orbite dé la comète, nous allons donner le moyen de corriger- ce& éiémens avec toute la précision que les observations comportent. < •

Pour cela, on choisira trois observations éfoignéesentre elles , et au moyen des élémens, résultant 'âë làpremière approximation ,' on déterfirinera! les "trois anomalies t'*, r, v^ et les rayons vecteur* r*, r, r', qui se rapportent respectivement àf l'époque de chaque observation. Il suffira, poiircela,decox4iaitreàpeuprèsla distance périhélie et Pinstant da passage de la comète par ce point, et cest en quoi consiste le principal avantage de cette méthode » qui n'emploie que deux des élémens de Torbite pour les rectifier tous.. On àé^ ^era par Y ,et V les angles que comprennent entre eux les rayons r®, r, /, en sorte qu'on aura V=v — t'*, etV=(p' — i^»' ei en coniiparant œs quantités wx inèmes angles résultant de l'observation directe de la comète , la différence sera l'erreur due à l'incorl'ectioQ des élémens employés.

. Les observation»^ il est vrai^ ne font pas connaître immédiatement ces angles , mais on peut les déduire très aisément d4es données qu'elles fournissent. En effet, on a, par chaque observation de la comète , sa longitude et sa latitude gëocentriques, c'est-à-dire relatives à la Terre; on en conclura aisément, par la Trigpnpmiçtrie , ses longitudes et ^es latitudes hélio^ centriques, c'est'SMiire relatives au Soleil. Pour cela, désignons par S le Soleil , par T 1% Terre et pai' C 1^ comète , et soit C la prôjecâon de C suc le plan dQJ'éçlip^ique. Si Yoik considkre la pyramide tnangu- \jl\t^ mt^tceptéb entre ces quatre pointe, on aura d'à-* l^^^TG^^^f Ipag. 0 ----long, càmèie. En nomitumt, ^V9fn^ prél^deâuEiient^ 6 la btitude ^ocentrique de la comète , ce qui donne CTC = i , on ean conclura cos CTS.î=x€ps SG'T . G08*. Maititeaant^ diu» le ^}^.^^^^u^.Ç^l^&^ ^^ > ^^ oonQ9Jit les deubt. côtés T^S^^zp R et, es q?»/: ^lii ftont les distances respeétîres <^.la !]^6YTe^et 4^ Jlfi compte, au Soleil; oij coniïalt de pli|^ l'aile CT$ oppDééià./t.) ou.pûnnrifc donc calcfll^Fi J^aïigle ^T par J4 foioiuk , ^

;'^: : • : sinSGt=="^isint:ts, ' . (i)

etlfoh ea:cotidvrft k ttH^siètne angle CST du mèrn^ tnàxMj^.. •'•

€ela posé, nommo^BiS A Ul latitude et ^ 1à longitude Ivéliocéntriqiie dç la comète :^ en cotiftidératit la pyramide triangulaire CC'ST, on aura A = €SC' et l'on tirouvera aisément

'. . sm^ stiiGST ^ r^/crri cos CST / \

sm A = — . ^„,g , et cos C ST ?= — , (2/

sinCTS ' - cosA

L'angle C'ST étant donné par la dernière de ces formoles, si Ton nomme A la longitude héliocentriijue de la Terre, on aura

(p±=a+c'st; (5)

On déterminera, de cette manière, les latitudes et les longitudes héliocentriques de la comète pour les trois époques données ; voyons comment On en conclura les angles V et V. Désignons par C% C, C les lieuxrespectiÊ de la. comète correspondant a.ux trois obsenrations , par C^*, C,., C/, les projections de ces points sur l'éclip tique, et considérons le triangle sphérique formé par les deux lieux C^ C% et par le pôle de l'écliptique. On connaît dans ce triangle les deux côtés de l'angle au pôle qui sont les complémens des latitudes héliocentriques C*SC*^ et CSC^ , ainsi qne langle compris qui a pour mesure l'arc C*^C^ décrit du centre du Soleil ; on aura donc pour déterminer le côte opposé C^'C , que nous désignerons par U, la formule

cosUcs iîos(f — ■^).cds A cos A.^ 4- sin A sJn Vf ; (h)

de même en supposant C'C* = U', on aura

cosF=cos (^'— * <p*) . cos A^ cos A'' 4- rfii A* sîh A^

Les deux angles U et U^, correspondant à ceux que nous ayons nommés V et V et que nous avons obtenus par les formules directes du mouTement ellip* tique , on aura , si les élémens employés sont exacts,

V=U et Y' = U'.

Mais y comme ceB-ëlémens ne sont qu'approches ^ ces 'équations n'auront pas lieu rigoureusement^ et pour que les valeurs de V et U, V et U' puissent être égales, 11 faudra faire subir quelques corrections à cesélémens. Soient J'Y, JW JtJ et JV les variations correspondantes des angles V^ \', U , U'^ on aura

Voici donc deux équations au moyen desquelles on pourra déterminer les corrections à faire à la distance périhélie et à l'époque du passage de la comète jpar ce points pour satisfaire aux observations donï)ées; il ne s'agit que de développer ces équations.

19. Pour cela, teprenons les formules du mouve- .mçnl parabolique '

i=;?Dî. N/a.(lang^c/ + ^,tang»f<^),

Supposons que Ton fasse subir à la distance périhélie D^ :età rÎQstant du passage p^^r le périhélie ^ de très petites variations que nous désignerons par la caractéristique eT i ëh différenciant logarithmiquement les formules précédentes , on trouvera

On aura par ces équations les variations du rayon vecteur et de Tanomalie correspondantes a celles que

subissent D et t. Il s'agit de détenniner maintenant les variations qu' éprouveni simultanément la latitude béliocentrique A et 'la longitude béliocentrique ^. En différenciant logarithmîquement l'expression de sin A trouvée plus haut, et en observant que les angles b et CTS ne varient pas , on aura

J^AsstangA.cotCST-J', (CST); en différenciant de même l'équation (2) on trouve

«T . (SCT) = — tangSCT . Ç ,

el par suite

/. (CST) = — J^ . (SCT) = tang SCT . ^ ; on aora donc enfin

<rA = lang X . tangSCT . cotCST . — . (a) La longitude ^ dépend de la formule

cosCST

cosTSC =