COSA

en différenciant logarithmiquement , on en tire cr.(TSCO=cotTSC' . [langCST . cP. (eST)-tangA . J^A]; d ailleurs J^. (TSC) == «T^ ; on aura donc enfin

^ = cot TSC . (tang CST . tang SCT . tang a . iTa). (b)

On déterminera Txar les formules (a) et {b) tes varia-

tious de la latitude et de la longitude héliocentriquesi relatiyes aux époques des trois observations que l'on a choisies pour corriger l'orbite. Maintenant si ^ pour faciliter le calcul dé l'angle U , on suppose un angle auxiliaire A déterminé par l'équation

sin*7 A = cos^K^ — ^•) . cps A* . cos A, ce qui donne en différenciant

/A=— langiA. [tangK<p-^").(<^^-^<P*')+tangA^/A•+tengA.lrA], (^; on aura sin4U = cosi(A + A° + A).cosi(X+A* — A),

et par suite

^U-,.tang,U.j^^^g^^^^^,^j^^^^,^j^^jJ (c)

En substituant d^ns cette équation pour J^ A , J^A"* et J^ A y leurs valeurs précédentes ^ on aura celle de J^U exprimée en fonction de J^D et de //é On déterminera de la même manière cT V , en observant que Ton a ^y z=^Su — JV**, et que cTc/ et JV* sont données par la seconde des formules (o'). On aura donc entre les variations eTD et' JV deux équations de cette forme :

d'où, en observant qu'on a cTU — J^V = V — U, on tiré

DU SYSTÈME DU MONttE. 59

Oa trouvera une équation semblable en combinant la première observation avec la troisième ; on aura donc deux équations qui ne renfernieront d'inconnues (pe les variations cTD et S^t^ et qui suffiront par conséquent pour les déterminer. Si le calcul était exacte on aurait ainsi immédiatement les valeurs de la distance périhélie et de l'époque du passage qui satisfont le plus exactement possible aux trois observations données} mais comme on a négligé dans la for-nution âe l'équation {é) les quantités du second ordre^ ilfaudn^ à l'aide des élémens corrigés^ recommencer les cdlculs précédens ^ et Ton déterminera ainsi les coitectiûfis de ces houveaux élémens. Dans certains cas, on set*ai même obligé de répéter une troisième ibis ces dpéi^ations; mais elles n'ont rien d'embarrassant) et le calcul des premières correotiotis facilitera celui de$ suivantes.

20. Quand on sera ainsi arrivé à une connaissance sQffis&ttiment èxaùte de la distance périhélîe et du temps dtt passage, voici comment on déterminera avec le même degré de précision le$ autres élémens de l'orlite. On ^utetStùeta dans leséquatiooô (rt) et (b) pour h et cTD lait^ Valeurs résultantes des dernières opéi*atiotis/ct Fon eÈ( tôfiiclurâ les Valeurs exactes fie la loftgitedè et At k ktitttdè héliocentriqués dé là co- «iète |K)iir les époque& des observations données.

Si Ton comparé ensttîte entre elle* Il première et la dernière^ ôia aura pour défentiitiér finclinaigou i de Toriniié de lii conlèté et la lôugitude (l de son uœud s^r le plan dô Féélii^i^ \ \t^ deUic formules

6o THÉORIE ANALYTIQUE

COS l S=5 -T-7^^^ 2U . cos A • cos A*,

sin (^ *— a) = tang ^ . cot «.

Dans la première de ces formules^ il faut avoir soia de prendre l'angle p — p** de même signe que Ç — ?% i parce que l'inclinaison i est toujours supposée moindre que go®, La seconde donnera pour l'angle (p — « deux valeurs comprises entre o et i8o*^ et il en résultera par conséquent deux valeurs de a. Pour déterminer laquelle il faut choisir, on remarquera que par la première observation^ on a pareillement sin (^* — ^) == tang A* . cot i; on prendra donc la moyenne entre les valeurs correspondantes de a ^ et Ion saura, par. ce qui a été dit n* x6, si c'est au nœud ascendant ou au nœud descendant de l'orbite que cette longitude se rapporte.

Le signe de ç> — (p"" indiquera^ selon qu'il sera positif ou négatif, si le mouvement de la comète est direct ou s'il est rétrograde. Enfin on aura le lieu du périhélie 9ur l'orbite par la formule (39) du n? 16.

; 2 !.. La méthode que nous venons de donner pour corriger, par les formules différentielles, les élémens de r9rbite qui résultent d'une première approximation, est très exacte et très sûre, mais les calculs< qu'elle ^ige demandept quelque attention ; celle qu'on trouve da^s Ja Mécanique céleste a l'avantage d'êtk'^ pour ainsi dire mécanique;, les mêmes calculs se replroduisant toujours piendant toute l'opération. Voici en quoi elle consiste. On suppose connus à peu près la distance

DU SYSTÈME DU MONDE. 6i

périhélie et l'instant du passage par ce point ^ et en partant de ces ëlémens et des observations , on déter-* mine y comme on l'a vu plus haut, les différences d'anomalies de la première à la deuxième observation, et de la première à la troisième. Soient U et U' ces deux angles ; en les comparant aux mêmes différences d'anomalies que donnent immédiatement les deux élémens approchés, et que nous désignons par Y et \', on aura

On fera varier d'une très petite quantité la distance périhélie , et Ton calculera les mêmes résultats dans cette seconde hypothèse. Soient n et n' ce que deviennent alors les quantités met m' ; enfin, en conservant la distance périhélie de la première hypothèse, on altérera un peu l'instant du passage au périhélie, et Ton calculera encore les angles U — V et U'— V, Dans cette troisième hypothèse , désignons par p et ;?' ces angles, et soient u et t les nombres par lesquels il faudrait multiplier les deux variations supposées dans la distance périhélie et dans l'instant du passage pour avoir les véritables , on aura les deux équations suivantes

(m -— ») . Il -{- (m — p).t=sm, \ ^.v

On tirera de là les valeurs de u et / , et l'on aura par conséquent les corrections de la distance périhélie et de rinstant du passage de la comète en ce point. Si les valeurs qui en résulteront n'étaient pas suffi-* samment exactes, on recommencerait avec cçs deux

élémens corriges les calculs précédent ^ et, après quelques essais , ou parviendrait à connaître la vraie distance périhélie et Tinstant du passage au périhélie qui répondent aux observations données.

22. Si l'on voulait déternainer l'orbite avec encore plus de précision^ au lieu d'employer dan&le cakuldes corrections de la distance périhélie et de l'instant du passage y trois observations seulement^ on choisirait, parmi les observations de la comète, celles que Ton supposerait les {dus exactes , et en les comparant deux à deux, on formerait un système d'équations semblables aux équations (d) ou aux équations (e). On combinerait ensuite ces équations de la manière la plus avantageuse pour en tirer les valeurs des quantités qui doivent servir à la correction des élémens de la première approximation , et l'on déterminerait ainsi Torbite qui satisfait le plus exactement possible à l'ensemble des observations connues de la comète.

Il peut arriver dans certains cas que, malgré les précautions que nous venons d'indiquer, Forbîte corrigée ne représente qu'assez imparfaitement encore les résultats de l'observation; c'est qu'alors sans doute le mouvement de la comète n'a pas lieu dans une parabole, comme nous l'avons supposé, et que son orbite est elliptique ou hyperbolique. Cette dernière espèce d'orbites intéresse peu rAstronomie. Quant auK élémens de l'orbite elliptique, on peat les déterminer par une méthode d'approximation sem*' blable à celle du n^ 2 j ,> lorsqu'on a déterminé par les méthodes précédentes la parabole qui représente i à peu près le mouvement de la comète. Pour cela,

on choisit quatre obseryatîons exactes qui embrassent toute la partie yisiMe de Torbite ^ et Ton calcule les angles Y et U relatifs à ces observations dans quatre hypothèses^ d abord en employant les ëlémens approchés de l'orbite parabolique^ ensuite en ^sant varier la distance périhélie; troisièmement en changeant seulement rinstant du passage^ et enfin, en conservant la distancé périhélie et Finstant du passage de la première hypothèse et en supposant une orbe elliptique très allongée, en sorte que la différence i — - e de sou excentricité à lunité soit une très petite fraction. Les formules du n^ 26, liv. II, serviront, dans ce cas, a déterminer le rayon vecteur r et l'anomalie u correspondans'à chaque observation. Gela posé, en nommant respectivement u, t, s ]es nombres par lesquels il faut multiplier les variations supposées dans la distance périhélie dans Finstant du passage^, et la quantité I — e , " pour avoir leurs véritables valeurs , on formera trois équations semblables aux équations (d) qui renfermeront chacune ces trois inconnues, et qui serviront à les déterminer.

Nous ne faisons qu'indiquer ici cette méthode, parce que les résultats qu'elle donne laisseront toujours beaucoup d'incertitude sur la durée de la révolation de la comète qui est surtout importante à connaître , et que le seul moyen certain de la déterminer est d'attendre que l'on ait observé un nouveau passage de cet astre à son périhélie*

Pour faciliter l'usage des méthodes que nous venons d'exposer, nous allons en faire Tapplication à deux comètes, dont l'apparition a été assez longue pour

fournir un nombre d'observations suffisant à la détermination exacte de leurs orbites*

Détermination de Vorbite de la comète de x^n^.

23. Parmi les observations connues de cette comète, nous avons choisi les suivantes. Les époques sont évaluées en temps moyen à Paris^ compté de minuit.

Août. LongUodes obsertées. Lalitades obwnrées.

\& 95508, û' 237" 27' 12", *°55* 19' 45" B. 2s,9oi53, a 23o.3i.33, h 57«4^.22, 28,87972, 224» 6,3o, 59.33,58.

On a calculé au mojen des tables du Soleil la longitude et le rayon vecteur de cet astre pour l'époque de l'observation du 22 août , et l'on a eu

long, du 0 + 180**, log.R,

Ensuite, pour faire usage de la méthode exposée n* 5, et avoir des observations équidistantes, on à déterminé la longitude et la latitude de la comète pour l'époque du 28"^*,86998, au moyen de la formule d'interpolation connue

Z =3 — ■ . a — — r ; — r . O -p — ; ~ • CL ,

dans laquelle a*" , a , a' sont trois longitudes ou trois latitudes observées aux temps ^ — /w, /, ï + tï respectivement , et z la longitude ou la latitude corres-

pondante à un temps quelconque t +p intermédiaire entre ceux-là.

On a trouvé ainsi, en employant les trois observa^ lions précédentes,

Ao&t. LoDgitnde interpolée» Latitade interpolée.

Au moyen de ces valeurs et de celles que renferme le premier tableau , on aura les suivantes

0=5^,96845, A — a*c= 93Mi'a5",

A — fl= 99. 7. 4, A — a'= io5.3i.5i.

Au logarithme de 9 on ajoutera le logarithme cous* tant 8. 23558:21 , ce qui donne

log . 6=^9.0114457»

Gela posé, on commencera par calculer léS trois quantités C"" , C et C au moyen des formules (C), .n^ 5. On aura d'abord

sm(A — a') • . . 9 • 985857 5 sin(A — a) • . . 9 . 9944776 tang 6... 0.1992660 tang&' 0.2309548

, !■■■■■ -~ * «^.«BMiABiiB^H— sawa»

nombres •+• 1.524485 —1.680476

C*S=:^ — Ot 155991.

On troaveifait de h même manière ,