CHAPITRE II

Du mou^ment de la Terre autour de son centre de

grawté.

.12. Hipparque parait être le premier, parmi les astronomes^ qui ait remarqué que les étoiles ne sont pas fixes p relativement à nous ^ et que leur position rapportée au plan de l'équateur varie dans les différens 3iècles« En comparant ses propres observations à celles de Tymocharis, faites 1 55 ans auparavant, il s'aperçut que, dans ce mouvement, leur hauteur au-dessus du plan de l'écliptique restait la même, en sorte que leurs latitudes n'étaient point altérées, tandis que leurs longitudes, rapportées à l'équinoxe, augmentaient chaque année d'une quantité à peii près constante pour toutes les étoiles. Il conclut de là que la sphère . céleste a un mouvement autour des p61es de l'éclipti* que, d'où résultent les changemens observés dans les ascensions droites et les déclinaisons, des étoiles ^ et l'invariabilité de leurs distances à ce plan, comme l'observation l'indique. Copernic, occupé toute sa vie k substituer aux mouvemens apparens des astres > leurs mouvemens réels et à redres^r des erreurs nées des illusions de nos sens et d'un sentiment exagéré de notre importance, reconnut que les mêmes.

phéoomèmes pouvaient s'expliquer ^n supposant aux pôles de la Teire un mouvement circulaire de rotation autour des pôles de récliptique. Pendant ce iiK>uyemeni9 l'indinaison de l'équateur à lediptique reste la même, mais ses.' nœuds, ou les équjnoxes, rétrogradent uniformément de 5o" environ par an, d'où résulte par conséquent un accroisr sèment égal des longitudes des étoiles rapportées â ces points. G est en cela que consiste le phénomène désigné sous mom de la précessîon des éqidnoxes,

L'Jbypothèse de Copernic suffirait donc pour expliquer de la manière la plus simple, les variations bb? seryées par Hipparquç dans la position des étoiles , et confînnées par tous les astronomes qui sont renuis après lui. Mais les rapides progrès de l'Âstronoixii^ depuis l'invention des lunettes firent bientôt découvrir de nouveaux {^énomènes dans jees variations; il fallut, pour les expliquer, supposer divers mouvcmens^à Taxe de la Terre, et c'est ainsi que Bradle^^ fut conduit à la connaissance de leurs véritaMeé lois, • i

Ce igrand astronome, par la précision de ses obser^' valions, reconnut dans la position des étoiles une va-' riatioo aiwuellè qu'il suivit pendant une période de dix-lniit années , après laquelle elles lui semblèrent revenir à la même position. La coïncidence de cette' période avec celle du mouvement des nœuds de la> Lune lui fit penser que. l'axe de la Terre avait,» par rapport aux étoiles, un mouvement périodique' dépendant de la longitude de ces nœuds ; et pour représenter en conséquence le vrai mouvement de »

aoo THÉORIE ANALYTIQUE

Taxe terrestre, il: suppose .que rextremité de cet axe prolongé jusqu'au ciel, se meut sur la circonférence d*une petite ellipse tangente à la sphère céleste , et dont le centre^ qu on peut regarder comme le lieu moyen du pôle de l'équateur , est situé sur un petit cercle de la sphère parallèle à récliptique , et décrit annuellement d'un mouvement uniforme lin arc de 65" siir ce cercle. L'obsei^vation fait con^ iialtre les dimensions de cette ellipse , et les lois da mouvemêxit du 'pôle sur sa circonférence , d'où résulte dans l'axe terrestre cette espèce de balancement qu'on a nommée sa nutation.

, Ainsi , l'observation devança , s^r ce point , la théo* rie, et tous les phénomènes qui dépendent des déplacemens de Taxe delà Terre étaient parfaitement connus avant qu'on eut tenté d'en approfondir les causes. Kepler avait avoué l'inutilité de ses^rechercfaes à cet égard, et c'est à Newton qu'il était réservé de nous montrer comment ils se lient, par la loi de la pesan* teur universelle, aux autres phénomènes du mouvement des corps célestes, avec lesquels, jusque là, ils j ne semblaient avoir aucun rapport. U fît plus, il essaya d'en déterminer les lois par là théorie. Considérant la Terre comme un sphéroïde renflé à son équateur, il la suppose composée d'une sphère dont le diamètre est l'axe des pôles , et de l'excès du sphéroïde terrestre sur celte sphère disposé sous la forme d'an anneau autour de son équateur. Il regarde ensuite chaque molécule de cet anneau comme un astre adhé* reut à la Terre et qui fait sa révolution autour d'elle QQ vingt-K{uatre heures, et de là il conclut que Tac*-

tien du Soleil sur chacun de ces astres^ et par con* séquent sur l'anneau entier y devait produire le même effet que celui qu^il produit sur la Lune ^ et faire ré* trograder Jes nœuds de son orbite sur le plan de l'édiptique. Le mouvement rétrograde se communique à la Terre entière ^ à cause de l'adhérence de l'anneau à la sphère qu'il entoure^ et il s'ensuit que TintersectioQ de l'équateur terrestre et de l'écliptique , ou la ligne des équinoxes^ doit avoir^ par l'action du Soleil^ un mouvemeat rétrograde comme les observations l'indiquent; mais, quelque ingénieux que soit cet aperçu^ il y avait encore loin de là à une théorie approfondie et complète des lois du mouvement de l'axe terrestre. Newton lui-même se trompa en voulanï les en déduire pai* des considérations purement rationnelles^ et l'anal jse 9 ce puissant auxiliaire de l'esprit humain^ pouvait seule montrer, dans cette ques-^ tion dâicate^ l'accord parfait de la théorie et de l'ob* seryation ; mais il fallait auparavant en reculer les limites* D'Alembert eut la gloire d'y réussir, et la solution qu'il donna le premier du problème de la pré-^ cession des équinoxes doit être regai^ée comme une des plus beUes conceptions de son génie inventif, si Ion considère l'insuffisance des moyens qu'oflfraiebt alors pour cet objet l'Analyse et la Mécanique.

D'41embert explique par la théorie les divers mouvemens de l'axe terrestre, par rapport aux étoiles, çt montre que la nutatién observée par Bradley en est une conséquence immédiate. Il détermine le rapport exact des deux axes de la petite ellipse que décrit k pôle^ et la loi de son mouvement. sur son. el-

lipse. En comparant ensuite ses expressions de la nutation et de la précession aux observations , il en conclut le rapport de la masse de la Lune à celle du Soleil ; mais il observe^ en même temps p qu'il suffirait d'un très petit changement dans ce rapport, pour altérer considérablement les lois de ces phénomènes. Enfin 9 il donne, d après les mêmes expressions , la loi de décroissement de densitédes couches de la Terre çt détermine son ellipticité.

Tels sont les principaux résultats de la théorie éta* blie par d'Alembert. L'Analyse , en se perfectionnant, a depuis permis de la présenter d'une manière plus sîmfde et de l'étendre à des points qui n'avaient point été abordés par ce géomètre.

Le premier de tous ^ par son importance , est la déterminatîon des mouvemens de l'axe instantané de ro^ tation de la Terre dans l'intérieur du globe. Cette question , comme il est aisé de le concevoir , est pour ]e moins aussi intéressante pour nous que celle qui a pour but de déterminer les mouvemens de cet axe, par rapport aux étoiles , la seule dont d'Alembert se soit occupé. En effet, si l'axe de rotation variait dans l'intérieur de la Terre, chacun de ces mouvemens déplacerait son équateur, et toutes les latitudes géographiques en seraient, à la longue, sensiblement altérées ; il J a plus, les mers, troublées daod leur équilibre^ suivraient les mouvemens de l'équateur , et descendant vei*s la partie de. la TeiTe qui s'est abaissée souselles^ laisseraient dans^ la partie opposée de nouvelles régions h découvert. Les observations, il est vrai; montrent bien que l'axe terrestre n'est soumis à au*

DU SYSTÈME DU MONDE. ao3

cnne variation sensible dans l'intervalle d'un jour et même de plusieurs années ; mais s'il était sujet à quelque inégalité à longue période du genre de celles que nous avons nommées inégalités séculaires, les observations astronomiques, qui ne comprennent encore qu'un assez court intervalle de temps , ne suffiraient pas pour rassurer sur les conséquences de ces variations , et ne sauraient rien nous apprendre sur leur marche. C'est donc à la théorie seule qu'il était ré-* serve d'éclairer cette grande question , et M. Poisson est le premier qui l'ait traitée avec tout le soin que son importance exigeait.

Il a montré , par une savante analyse , que l'action du Soleil et de la Lune n'introduisait dans l'expression des variables qui fixent la position de l'axe ter-* restre dans l'intérieur du globe , aucune inégalité à longue période que la suite des siècles puisse rendre sensible , même lorsqu'on a égard à la seconde puissance des forces perturbatrices. Il en est de même de l'expre^ion de la vitesse de rotation de la Terre autour de cet axe. Il en résulte que cette vitesse est constante , et que les piMes de rotation et l'équateur terrestre sont inaltérables à la surface 'de la Terre.

Nous confirmerons , d'une manière nouvelle , ces deux résultats importaiîs ; nous examinerons ensuite les mouvemens de Taxe terrestre par rap'port aux étoiles, et nous déduirons des formules exposées dans le chapitre précédent , les équations très simples d'où dépendent les lois de sa nutation et de la précession des équinoxes.

La durée de l'année , qui se mesure par le retour

du Soleil au même équinoxe ou au même tropique, serait constante si le mouvement des équinoxes e'iait uniforme, mais ses inégalités doivent le faire varier dans les différens siècles. Cette longueur est plus courte lorsque le mouvement s'accélère ; c'est ce qui arrive actuellement , el la durée de Tannée tropique est de nos jours moindre d'environ lo" qu'au temps d'Hipparque. La même cause , jointe aux variations de l'obliquité de Técliplique et de la précession des équinoxes, introduit des inégalités dans la durée du jour moyen solaire, et leur détermination serait importante si elles pouvaient devenir sensibles, parce que toutes les tables astronomiques étant calculées dans rhypothèse d'un jour moyen constant , les longitudes et les latitudes qu'on en déduirait ne s'accorderaient bientôt plus avec celles qui résultent de l'observation directe. Il était donc important de s'assurer par la théorie de l'invariabilité du jour moyen solaire, et nous verrons, en effet, que ces inégalités ne s'élevant pas à quelques secondes en plusieurs millions de siî'cles, leur considération esta peu près inutile aux astronomes.

Enfin, pour compléter l'exposition analytique des phénomènes de la précession et de la nutation , nous réduirons en nombres les formules qui les déterfninent , en employant les données les plus exactes q ue nous ayons sur les masses des planètes , et nous les comparerons ensuite à quelques observations anciennes, qui , par leur accord avec les résultats de c es formules , montreront la précision de la théorie.

Les phénomènes de la précession et de la nuta-

DU SYSTÈME DU MONDE. 2o5

tion dépendant de la figure et de la constitution du sphéroïde terrestre, il en résulte qu'on peut, au moyen de l'observation de ces phénomènes , établir le rapport qui doit exister entre les lois de la densité et de Tellipticité des couches de la Terre. On verra que Fellipticité qui en résulte s'accorde très bien avec celle qu'on a conclue des observations du pendule à différentes latitudes et des autres phénomènes qui en dépendent. Les lois de la précession indiquent de|plus une diminution dans la densité des couches du sphéroïde terrestre , en allant du centre à la surface ; résultat qui s'accorde avec les expériences de Cavendish , sur l'attraction des montagnes, et avec les principes de l'hydrostatique qui exigent que si la Terre est supposée avoir été originairement fluide, les parties les plus denses soient en même temps les plus rapprochées de son centre. L'admirable concordance de tous ces phénomènes si étrangers Tun à l'autre , montre évidemment qu'ils ont tous pour principe la même cause, et l'on doit la regarder comme la preuve la plus ixTécusable de la loi de la pesanteur universelle.

i3. Pour traiter dans toute sa généralité la question du mouvement de la Terre autour de son centre de gravité , nous supposerons d'abord qu'aucune force accélératrice ne trouble le mouvement de rotation résultant de l'impulsion primitive qu'elle a reçue, et nous verrons quelles ont dû être , dans ce cas , les circonstances initiales du mouvement, pour que les résultats de la théorie s'accordent avec les phénomènes observés. Nous considérerons ensuite l'action pertur-

2o6 THÉORIE ANALYTIQUE

batrice du Soleil et de la Lune y et nous détermine-* rons les altérations qu'elle doit produire dans les mouvemens de l'axe de rotation de la Terre , soît dans l'Intérieur du sphéroïde, soit relativement aax étoiles.

Les intégrales (J), n® 5, s'appliquent évidemment au cas que nous allons considérer, et les résultats qui s'y rapportent pourraient s'en tirer directement; maïs il est plus simple de les déduire des équations diffé* rentielles dont ces intégrales dérivent. Reprenons donc les trois équations (A) ; en faisant abstraction des forces perturbatrices, c'est-à-dire en regardant comme nuls leurs seconds membres, on aura

A^/? -4-(C— B).yr.rfi^ = o, ) 'Rd(ji + lPL—C).rp.dt = o, \ (î Qdr+{R^k).pq.dt^o. î

L'axe instantané de rotation de la Terre s'éloîgnant toujours très peu de son troisième axe principal, comme les observations l'indiquent , p etq sont de très petites quantités dont on peut, sans erreur sen^ sible, négliger le produit dans la dernière des équations précédentes , ce qui d'ailleurs est d'autant plus permis , que la figure de la Terre étant à très peu près celle d'un sphéroïde de révolution, la différence B — A des deux momens d'inertie B et A est aussi une fort petite quantité. Cette équation se réduit ainsi à dr=: 6, d'où l'on tire r:=zn, n étant une constante qui représente la vitesse moyenne angulaire de rotation de la Terre aiitour de son troisième axe principal. Si l'on substitue cette valeur dans les

pu SYSTÈME DU MONDE/ 207

deux premières équations (a) ^ on aura

kdp+{C — B).n^.dt=Of Bdq-^ÇA — C).np.dt=o,

On satisfait à ces deux équations, n** 34 » livre I", en prenant

p = K.sin (nV + é) ^ 9 = iK.cos{n't + 0 >

K et € étant deux constantes arbitraires , et n! et i deux quantités données par les équations

'^ =''V ÂB ' ' — V (B3: qT.'b- .

Déterminons les mouyemens de Taxe de rotation dans l'espace. La seconde des équations (a) du n"* i, donne

^ = y sm ç — /? cos ^.

Si Ton néglige, comme nous le £dsons , les quantité très petites du second ordre , par rapport kp et k y, il suffira de substituer pour ^, dans cette équation, sa Taleur indépendante de ces quantités. La première des équations (a) dk>nne, dans ce cas, d<p:=sndt, et par conséquent ^zssnt^ l, l étant une constante arbitraire. L'équation précédente , en y mettant pour p et ^ leurs valeurs , deviendra donc

^^=^^J^.sin{nt+n't+l+t)+^^^^ ;

doù l'on tire, en intégrant,

2o8 • THÉORIE ANALYTIQUE

h étant une constante arbitraire.

Il suit de celte analyse ^ que si la constante K avait une valeur sensible^ les pôles feraient à la surface de la Terre des oscillations d'une étendue arbitraire, dont la période dépendrait des momens d'inertie du sphéroïde terrestre, et serait, d'après les données que Ton a sur les valeurs de A , B , C , d'environ deux années. L^angle 0 changerait aussi de valeur durant cet espace de temps ; il aurait de plus des inégalités dépendantes de l'angle /lï, c'est-à-dire qu'il varierait même dans le court intervalle d'une journée : or, les observations les plus précises n'ayant jamais fait apercevoir dans la hauteur du pôle aucune variation de ce genre , il en faut conclure que K est insensible, et que, par conséquent, on peut supposer que les oscillations de l'axe terrestre qui dépendent de rétat initial du mouvement sont depuis long-^temps anéanties , et qu'il ne subsiste maintenant que celles qui ont une cause permanente.

i4- Comme les valeurs que nous avons trouvées, n** 34, livre P', pour ;k? et ^, ne sont qu'approchées, il pourrait rester quelque doute sur l'exactitude du résultat précédent ; mais il est facile de la démontrer d'une manière tout-à-fait rigoureuse, par les considérations suivantes. En intégrant directement les équations (a), nous avons obtenu, vP 35, livre I", ces deux intégrales , .

hp^ -f- B^* H- Cr* = A , A>* H- "RY + C V = k\

Sij après avoir, maltij^é la première par C, on la retranche de la seooyitde , oa aura.

ea représentant , pour abréger , par D* la quantité constante CA — A:*. ^

On voit y par cette écpiation , que si^ les valeurs de ;? et f sont supposées très petites à un instant quelconque, la constante dti second membre sera aussi très petite^ les . quantités /? et ^ demeureront donc toujours. peu considérables, puisque chacune d'elle^ sera moindre que . la constante D« Par conséquent > si ces quantités n'ont que des valeurs ittiappréciabks; comme cela a Heu à l'^poquô où nous sommes > <m peut être assuré qu'elles resteront éternellement iki^ sensibles; on aura , dans tous les temps,

€t Taxe de rolâtfion de la Terre; coïncidera toujours à très .peu près avec son: troisième, axe principal. .; • Ce . xésultat . suppose tous; les termes da .premier membre de. Téqûatioii (jn) de -même signe , ce qui exige; que C soit k. pSus grand- ou le plus petit des iQomtsns. d'inertie relatifs aux axes principamc cpi\ 'se croisent.au centre.^ gravité dii corps* C'est, en eilFet, œ qui a lieu pour la Terre > sa ^ figure étant celle d'ui^ sphéroïde a|daliv^rs ses pôles, Taxe autour duquel «Ik semble- tourner, à très peu près, est le ^us(pe^ ^it de ses trois axeç principaux:^' et par conséquent «elui Auquel se iTajqpoirfe le plu^ grand mconnent d-îner- Tome IL i4

aïo THÉORIE ANALYTIQUE

tie« Danô \à cà» oerotnake, on né pourrait rien con^ dure de l'équation (m) relietîyebittat aax quanthés V et .fir ; mais çn voit ^ussi qu!alors les sinus et cosinus que renferment les valeurs de^ et q se changent ^Pi ,«?^pon^fttFe|lQ3j elles pourraient .donû croitre.indéfînîment avec le temps, et Tëquilibre du globe terré3tr^ en serait ;à la longue entièrement bouleversé. . ;.J>J(>upr:n'aurQq^ donc plus à nous oœu)Msr désorinaist que de ^actipn de^ forces pertujrbatrices sur le sphiéroïde terrestre;: vuous/exaixiîaérons dans les chapitrés sudtvans leur inftuence àur les.déplaceraensdes pôjes à là surface .de .la Terre> sur les variaitions de ça vileisse de natation,, jBt,çirfîaL^ur les.mouvemens de fi^ ^axiçs priuQÎfï^ux Autour dui centre de gravité. Ces différentes qu^^tîppsc^nfef meiit des r^ukats extrêmement impor^ans pOur la théorie du système du monde. Des deux premières dépendent la permanence des latitudes géographiques ; l'invariabilité du jour sidéral , cette donnée si précieuse pour tous les caléùis astronomiques; /enfin ^: la* stabilité même de Tuniver^i La dernière . compErend tous les • phénomènes ^relittifs aux moavemeosc 4e :réq[iiateiir, par rapport, aux étoilè^r, (Test-^i-dirè la précessioti des éc|uih03i?s et la' nutation ,de F^e de rOtatîonu^ ^ Terïîç. On verra 'la^solutioai: 'de; :ces questions iq^ avait fixi^Jjisqu^'icL tous. les: efforts: de l'analyse la plus cûtmpliqûe&v résuLtei; dela.mànière la plus simi^e icfeila plus ^complète d^/fôrmuiesigériérales que nous -avons i^ vélopp^erd^tts \^ chapitre |yrëcédeht ; ces i^" 3aaulps^;(Himnxf toDi^srliavonfiÊ dit^ns^â^pliqueât égale** ineni arv)(nionveniej^t;dq U Lu«][e; troublé iparlW

DU SfïBTÈHB DU UtOlTDE. sit

lion de la Terre ; mais les conséquences que nous allons en tirfer ne doivent pas Vëtendre à cet astre , à cause du rapport commensurable qui existe entre le moyen mouvement de r(^Udn dé la Lune et le moyen mouvement du centre de la force perturbatrice.

f • • • ta

V'^ ' ^ '11'.- Il" •»!•'. : ' I f

t ■ ' jf • • 4 . » , • • !•«

JW

iX. •

aïs THÉORIE ANALTTIQITE