CHAPITRE IV
Déplacement des pôles à la surface de la Terre et variation de la vitesse de rotation.
i5. Nous supposerons 9 dans ce qui ya suivre , que sans Faction du Soleil et de la Lune , la Terre tourne^ rait rigoureusement autour tjle son troisième axe prin^ cipal, en sorte que les écarts de Taxe instantané de rotation ne peuvent être attribués qu^à l'action des forces perturbatrices. Cette hypothèse est fondée sur les résultats du chapitre précédent^ où nous avons démontré que les oscillations de Taxe de rotation de la Terre^ dues à l'état initial du |mouvemeDt, demeureront toujours insensibles. ^
Il suit de là que les quantités pelq sont de Tordre des forces perturbatrices , puisque la fonction
■■ .^ ^ ^zs=^ qui exprime le sinus de l'angle formé
par l'axe instantané avec le troisième axe principal, doit être nulle en même temps qu'elles.
Cela posé , la troisième équation (C), n® n^ donne, en l'intégrant et en négligeant les quantités de cet ordre, r=:7z. La constante n exprime, aux quantités près du premier ordre , la vitesse de rotation de la Terre,
car cette vitesse est égale à sjp^ J^q^^j^^ qui ne diffère de r qu'aux quantités près du. second ordre.
Les deux dernières équations (û), n* i , montrent que les différentielles'<i{9 et d\ sont du même ordre que ;7et ^; les angles 0 et 4 sont donc constans quand on néglige les quantités du premier ordrei. Dans ce cas ^ la première de ces trois équations se réduit à d^^=^ndt^ d'où l'on tire ç =: /ï^ -f* £ , € étant une constante arbitraire.
Les équations (o), n* 35, livre P% qui déterminent la position de l'équateur j^ par rapportau plan principal de projection, ou au plan qui serait invariable saus^ Faction des forces perturbatrices, donnent
sîn fl^ sin (p^ = — -£ , sin 9,cos(p^ =— ^ ; on tire de là
sm u^ s=3 ' ^ ' — i-.
L'angle 6^ représente l'inclinaison de l'éqnateur $ur le plan principal de projection : €et angle est^ comme on voit, de l'ordre des forces perturbatrices; on pourra donc le supposer nul ^ lorsqu'on néglige les quantités de cet ordre, et l'on aura alors ^ n"* 55, livre!",
ee qui doit, en effet, résulter de la coïncidence de Téquateur et du plan pi*incipal de projection. 16. Reprenons maiu^enant l'équation (m) à laquelle
ai4 THÉORIE ANALTT»^
nous sotnines parv<eau9 n* 14^ savoir :
A.(A — C).;5'-HB.(B — C).9';^A* — CA. (m)
Cette ëquation . étant tme intégrale première dea ëqusftiôû^ (a) , doit encore subsister danos le cas ou Yùti a égard aux forces pertfirbatrices. Sx o»la SSé" Fêiicië en y traitante et .^ comme variables ^ on ànra /
four abréger, Taisons jb* — CA=2K; en fBfierencîant et en substituant pour dk et dh leurs valeurs ,
Si l'on néglige les quantités du second ordre par rapport aux forces perturbatrices, et qu'on regarde y comme une fonction donnée des variables ^ , 4 ^ 6, il suffira, dans l'équation précédente, de substituer dans y, qui est déjà du premier ordre ^ pour ^y ^|/, 6, leurs valeurs indépendantes dés £barpesper-^ ttirbàf rices ; on pourra donc mettre (p^^-^'^^SLisL^lBce de ç, et a et yk la place de ^ et deâ. Or, on voit, daprès les valeurs de ^^ et de >}^^ données n* 55, livre P% que la différence ?y— ->>|^/ est égale à la constàinte g augmentée d'une (^rtaine fonction de p, q , r, h, ki et comme les valeurs dép, y, r ne renferment aucune des troisi cofïatanfes a^. y, g, il s^ensuit qu'on aurd
pu STSTÈME DV MOÏSDE. aiS
D'ailleurs , en n^ligçant Le$ .forciîs perturbatrices ^ oa af = /»/4*^; f^^ Goaséqueot»
Quant à la constante k qui multiplie une quantité dupremier ordre dans'Véquatîôii(/2), nous remarquerons que si l'on néglige les quantités de cet ordre, p et ç sont nulles, et Ton a r=7ij Téquation t = A*p* -j- B*^* + C V donne donc , dans ce cas , i=C/2. L'équation (/î) deviendra, par la substitotion de ces valeurs ,
dK^C.^.ndt — C.rf'V = o.
Eq observant que dY désigne la diflTérentielle de V prise en ne faisant varier que le teiïifis Y introduit par la substitution de la valeur de ç , c^est^àniire qa'au*tant qu'il est multiplié par la constante n.
La quantité K est donc constante , tant qu'on n'a égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices j voyons maintenant ce que devient la variation dK y lorsqu'on considère le carré de ces forces* Dans t;e cas,, il faut,, dans l'^q^atioii (fz), substiti^r Cw + cTA: à la place de A;, et Y + J^V à la plaqe yde V, cf A: désigpant une quantité du premier .ordre .et (TV une quantité du second ; on aura ainsi , en négligeant les quantités du troisième ordre,
ai6 THÉORIE ÂlfÀLTTIQUE
Nous avons trouvé , n* 1 1 , en négligeant les quantités d'un ordre supérieur au second ,
Dans les différences partielles deV^ on peut substituer nt'-i^éklai place de ^^ et regarder 4 ^t 0 comme constans; il faut aussi avoir soin , en prenant la différence partielle de J' V par rapport sl g^ de ne point faire varier la quantité g introduite par la substitution des valeurs de cTA^^ cT/^ etc. Si l'on différencie de
cette manière ^ et si 1 on observe que "T" = '^r
aura évidemment
,on
d.i^Y d.itY t j, nxr
ag nat n
L'équation (n), en remarquant que ^^.cT^s^-^*^) donnera donc simplement
d'où , en intégrant, l'on tire
La quantité K sera donc toujours une quantité du second ordre. L'équation (m), en y substituant cette valeur, devient
A.(A — C).;?»H-B.(B — C).9»=cr;t».
Il en résulte que quelques variations qu'éprouvent dans la suite des siècles les valeurs de;» el de y, ces
quantités resteront toojoui's du même ordre que «TA:, c est-à-dire de l'ordre des forces perturbatrices > etp(ar conséquent insensibles.
Nous avons prouvé, d'une manière générale , dans le n** 1 1 , que les inégalités séculaires que renferment les valeurs dep etq sont de l'ordre des forces perturbatrices; nous voyons ici que dans le cas particulier où l'on considère le mouvement dç rotation de la Terre, toutes les inégalités périodiques que ces quantités contiennent sont aussi du même ordre , d'où l'on doit généralement conclure qu'elles ne peuvent être sujettes à aucune espèce d'inégalités qu'un long inter-* valle de temps puisse rendre sensibles.
17. Nous n'ayons, il est vrai, considéré dans la va-leur de dk que les termes dépendans du carré des forces perturbatrices; mais il est aisé d'étendre la même analyse , et les conséquences que nous en avons tirées, à toutes: les approximations suivantes. En effet, désignons en général par ^iV les termes de la valeur de V qui sont de l'ordre 1 + 1 , par. rapport aux forces perturbatrices; par J'i^g k les termes du même ordre de la valeur de k, en sorte qu'on ait
rf.cTj^iA: = — ^ — ,dt.
L équation (n), en ne considérant que les termes de Tordre «+i, donnera
dg
9i8 THÉORIE ANALYTIQUE
II est aise de prourer^ comme nous Farons fait n^ i6^ que Von a y généralement, quel que soit i^
dg
L'équation précédente, en yertu de cette relation; donaera donc , en l'intégrant y
On voit que tous les termes du secoad membre sont de l'ordre f+i , que par conséquent la valeur de K n'augmente pas par l'intégration, et qu'elle reste toujours du même ordre que sa différentidfe.
Concluons donc que l'axe de rotation de la Terre coïncidera toujours, à très peu près, avec son troisième axe principal, et que les pôles et l'équateur répondront , dans tous les temps , aux mêmes points de sa surface.
1 8. Considérons maintenant la vitesse de rotation de la Terre j si l'on nomme / cette vitesse , ffdt sera le nombre de degrés que décrit dans le temps / l'un quelconque des méridiens du sphéroïde terrestre; il en résulte que si f contenait un terme proportionnel au temps ty l'intégrale 7/^^ en renfermerait un croissant comme le carré du temps, et la lîJïigueur du jour en serait à la longue sensiblement altérée. Il est donc extrêmen^ent important d'examiner, avec le plus grand soin , la valeur de dfy et de démontrer qu'elle ne renferme aucune inégalité séculaire susceptible de s'abaisser au premier ordre, par la double
DU SIESTPIË Da MOJIfDE. ^ig,
inlégpsdoni tpate sabit ceffe quantité dans rexpresslon fdtfdf.
On Si, par ce qui {H^écède^
N(His. venons de yoir que pet q ti'auront jamais de valeurs appréciablçs| la vitesse angulaire de rotation de la Terre sera donc toujours, à très peu près^ égale à r, et si elle subit quelques altérations, elles ne proviendront que des variations auxquelles cette quantité peut être assujettie. NoUis allons- donc examiner quelles dont les inégalités que doit contenir Texpression de r.
Reprenons, pour cela, Téqûai^oii
Si l'on difievëncie cette équation en y faisant varier à la fois les variables et les constantes- qu'elle ren-% ferme , on en tirera
Si Ton néglige les quantités du second ordre jiar rapport aux forces perturbatrices, les diflférçntielles dp^ d^y dr étant déjà. du premier, ordre, on pourra,^ dans cette équation, suppriiher' lés deux premiers ternies, puisque p et q sont de l'ordre des forces; perturbatrices j faire rsa /î dans le troisième , et subs-^ tiluer pour dh sa valeur donnée jJar là fonnul^ (/)• Oa aura ainsi •
lao THÉORIE ANALYTIQUE
et dans le second membre ^ il faudra mettre n/ -f- € à la place de ^, et regarder •>!. et 8 comme des constantes. Si Ton suppose donc la fonction Y développée en série de sinus et de cosinus des multiples de langle (p ou de l'angle nt-j-'i, les termes du développement qui ne le renfermeront pas disparaîtront
par la différenciation dans -t- : la valeur dr ne contiendra donc que des termes périodiques dépendant de langle nt^€, et par conséquent rexp:*ession d( r ne renfermera que des inégalités journalières qi resteront toujours insensibles et de l'ordre des force] perturbatrices.
19I Voyons maintenant quelles sont les inëgalil qui peuvent résulter, dans l'expression de la vitesse de la considération des quantités dépendantes du cai des forces perturbatrices. De l'équation Çp) on tir(
Si l'on substitue dans cette équation n -f- «T/* à place de r, /ir étant une quantité du premier oi déterminée par l'intégration de l'équation (q), aura
drz=:.^^,.d^V.0V+'dh^
aC/t
Examinons successivement les différentes inqgaiiU que peuvent renfermer chacun des termes de la v^ leur de dr, en rejetant toutes celles qui dépendroi de l'angle nt-^i, puisque nous sommes assui d'avance qu'elles ne peuvent devenir sensibles.
DU SYSTÈME DU MOIfMS. aat
Pour que l'angle nt^^s puisse dîsparalti^ dans le premier terme de cette valeur, il faut combiner ea-7 semble les ternies de ses deux facteurs qui renferment le même multiple de cet angle. Or, si dans l'exprès* sion de la fonction V développée en série de cosinus [dangles proportionnels à ^, on considère deux: termes dépendans dû même multiple i^ , on aura
|V=H.cos(i•(p+/^4-^)+H^ cos{i(p+ft-\-g'),
, H', i y y, f\ g:, ^ étant des constantes arbitraires lont les deux premières sont de l'ordre des forces per-
rbatrices. Si l'on substitue nl'^i à la place de ç^ m aura
= fiS?- ^ • "" (^+"+^+^)-'-i;ïXf/ • H'. cos(»«H-»-.+// +50
l'on combine ensemble ces deux expressions , on
ira
rejetant tous les termes dépendans de l'angle li -+- 26 dont la période serait à peu près d'un demi-
)tir.
Les deux termes que nous avons considéi^és dans produiront donc, dans la valeur de rfr, le terme
^\ n'est pas susceptible de s'abaisser auprepaier
ai4 THÉORIE À» ALTTIQUB
Or^ les inégalités séculaires que renferme r étant toutes du second ordre , il s'ensuit qu'elles ne peuvent s'abaisser qu'au premier dans la valeur de l'intégrale frdt. De même, puisque les inégalités que contiennent p et q Sont toutes de Tordre des forces perturbatrices, comme nous l'avons démontre n^ i6;
si ^ et — renferment des inégalités séculaires , elles
sont du second ordre et ne pourront s'abaisser qu'au
premier dans les intégrales f ^.dt, f^.dt.
Les inégalités séculaires dont peut être affecté le mouvement de rotation de-la Terre sont donc toutes^ de l'ordre des forces perturbatrices; on peut, par conséquent, en faire abstraction sans erreur sensible, et considérer ce mouvement comme parfaitement , uniforme. I
2 1 . Concluons donc, enfin, que l'action du Soleil et de* la Lune sur le sphéroïde terrestre ne produira' jamais dans la position des pôles à sa sùrfaeè, au-^ | cun déplacement appréciable, ni aucune variation sensible dans la vitesse et dans l'uniformité de son mouvement diurne de rotation ; résultats împortans qui assurent a jamais la stabilité des latitudes terrestres ret rinyariabilité' du jour sidéral. .
On verra, 4an6 le cîhapitre suiyailt, que ces. mêmes a^U*esJ qui sont impuissant pour produire aucnn de^ rangeiperit. «dans la position de lax^ terr^$tr(e dans l'intérieur du globe, font varier au co^traiise^ \d une manière très sensible, sa position dans l'espade^ en sorte. qu'il ne- correspond |>as,dans tous les^ecks, aux mêmes points du ciel ; d'où résultent , comme
DtJ SYSTÈME DU MONDE. 226
nous l'ai^DS dit ^ les} phénomènes de la nutation et de la precession des ëquinoxes. On peut se rendre raison de cette différence^ en renâarquant que les oscillations de l'axe instantané de rotation , par rapport au troisième axe principal de la Terre , dépendent simplement des quantités p et q , tandis que les mouvemens de ce dernier axe> par rapport aux étoiles , dépendent des angles 6 et •>[. qui résultent , comme on le voit par les équations (a) , n* i , Sme double intégration des valeurs différentielles àep et 7. On conçoit donc comment ces quantités, d'abord insensibles , peuvent ensuite devenir considérables par les très petits diviseurs que l'intégration leur fait acquérir.
TouB IL
.ta6- THÉORIE ANALYTIQUE
settatsa^
