CHAPITRE V
Moui^emens de Taxe de rotation de kl Terre dans î espace f ou imtation de Vaoce terrestre et précession des équinoxes.
aa^ L$i position ^ par rapport au plan principal de projection , de l'axe de rotation de la Terre ou da plan qui lui est perpendiculaire , et qu'on pomnie Yéquateurj dépend des deux angles 6^ et 4^, dont l'un détermine l'inclinaison de l'équateur sur le plan de projection qui serait invariable sans l'action des forces perturbatrices y et l'autre ^ la longitude de son noeud, comptée sur ce plan, à partir d'une ligne fixe; l'angle (p, détermine la longitude du même nœud, comptée sur l'équateur. Lorsque les valeurs des angles fl^, «vj/^, ^^ sont connues, on détermine celles des angles analogues 6 , 4^ ^^ ^^^ ^^ rapportent à un plan i fixe quelconque , au moyen des trois équations sui- , vantes :
cos 6 s= cos 5/ cos 6^ — sin^ sinfl^ cos^/^j
. ,1 X sîn tf . sin 4/ r
, , X sin y sîn -^
sin,((p, — <P)= ,i„9 •
Pour dëtennjner l<s angles &^ et f^ , noii$ avons les deux équations
sin ô^ cos (p^ =— ^ , sîn fl^ sîn^^= £ ,
d'où Ton tire
sin 9^ = -j .
L angle 8^ est d,u même ordre .i{ue les déplacemens des pôles à la surface de la Terre ^ et si l'on fait abstraction des forces perturbatrices, on aura 9,s=Oy et les trois équations (h) donneront
Ainsi donc , sans Tactioa des forces perturbatrices , rinclinaison 0 de Téquateur sur le plan fixe serait constante , et la longitude '^ de son nœud ne changerait pas; mais l'attriction du Soleilet de la Lutie sur le sphéroïde terrestre fait varier d'une manière très lente lesr angles 8 et ^^^ et ce sont ces variations qui constituent le phénomène de la nutation de l'axe terrestre et de la précession des équinoxes.
Dans les recherches qui opt pour objet la détermination des mouvemens dé Taxe dé rotation ce la Terré, on a coutume de négliger -lès carrés et les puissances supérieures des forces perturbatrices; il suffit, dans ce cas, de conserver daus lès. valeurs de 6 et de %[/ les termes dépendans de la première puissance de ces forces. Or, puisque 9/ èit dupiiemi^ ordre , ' on aura d'abord cos 8^ ^» t , et ensuite , ek
aa8 imficmiE ANALYTIQUE
vertu des équations (o) , n** 55, livre I*',
sîn 6, sin ^,= sin ô, sîn (^,— ^)= ËLfî?^ ^£^±J! ^
En substituant ces valeurs dans les deux premières ! équations (A) , on aura - ^
cose=cos>4-^.(Bycos(p-f-A;>sin(p), '
^ * it Sin ^ 1
La première de ces expressions , en négligeant les \ quantités du second ordre, peut s'écrire ainsi ,
cos fl = cos (> — %«"»<' ^P""»V on aura donc, aux quantités près de cet ordre,
d^___ By C08 ^ + A/> sîn 9 — > — 'jj — ' — — ,
il: , Bç sin ^ — Ancos^
Nous avon^ vu, n^ i5, que lorsqu'on néglige le carré des forces, perturbatrices , on a
. ^ î(ï ^£/V rfV£fV Ac^^û^4.^ dy dê^ dg — '3J*
Que l'on substitue ces valeurs, et qu'on fasse de plus k^=fQn dans les deux dernières formules (Q) du n"* 9^
on aura
, cos f.di dV dû dV
^y — Cn.sJné dp^^ Cn.sini' d^^^ ' dt dV
dx
Cn.Bin i* de*
formules qui ont sur celles du numéro cité, Tavanlage d employer la quantité V sous la forme où elle est donnée immédiatement, c*est-à-dire en fonction des variables ^ , -v|/ , 6.
Différencions maintenant les expressions prà:édentes de 0^ et de -4/^, substituons pour dyel dct leurs valeurs, et faisons k:=Cn dans les termes qui sont , du premier ordre par ra{^rl aux forces per-» turbatriccs ; nous aurons
,>cos9,rf^ dV dt dV
Cn.sinO* <2^ Cn.sinA ' d-^
d, (A/y sin ^ + By oos qi) , .
,, dt dV d.{A,pcos<p — Bosîn^)
^ Cn,smè* d'i Ci.sinÔ
25. Ces formules serviront à djéterminer les valeurs des angles 0 et >j/ qui fixent la position de Téquateur terrestre, par rapport à un plan fixe quelconque. Elles s'appliquent également à tous les corps céfestes, et l'on en peut faire usage dans la théorie de la Lune. On voit qu'elles dérivent naturellement des formules du mouvement de rotation qui n^esl trbublé par l'action d'aucune force étrangère , en suppôâànt variables les constantes que ces fôrrntiles renferment, et en déterminant leurs variations conformément dixx
a3o TWÈmiE ANALYTIQUE
principes généraux de la variation des constantes ar« bitraires. On peut d'ailleurs déduire fort simplement les équations (Q des équations dift^entielles (G) du mouvement troublé. .En effets si l'on multiplie la première par sin (p, et qu'on l'ajoute à la seconde multipliée par cos (p , qu'on multiplie ensuite les mêmes équations , la première par cos ^ , la seconde par sîn ^^ et qu'on les retranche l'une dé l'autre^ on aura les deux équations suivantes :
Aiip sin ^^Bcfjcos^+(A/>èos^B^ &îq^).rûfi-f-Cr,(sîn^jw'l-cos^/KX/)
~ iitiT ' dp ^ sine' d^' k(ipQosfi^Bdqm^{Apùnp+BfCX}sp).rdt+Cr. (oos^g^^4-^ii ppdi) ^ dV
"^ sin 4' de*
Si r^n néglige l^s carrés des forces pertorbatrices, on peut supposer r = ;i et rdt «=s dp dans ces équations, en observant, de plus, qu'en vertu des for- , mules (a) , n* I , on à
sîu p.qdl'^cos <p.pdt=zdA,
cos <p •çdt'^ an p. pdizss sin 6.ef%[/.
On voit ' qu'elles sont identiques avec les équatioes (Z) , auxquelles nous sommes parvenus par une ana* Ijse moins, directe, mais qui. nous a servi à d^on^ trer l'invariabilité 4es pôles à la surface de la Terre ^ et qiû nous sera çncore utile pour. réduire, dacs ce cas 2 ces formules k une foroie plus simple.
24* ISn efieti tous ^s termes des valeurs de d& et d4 SQntii;iseasib]lesren enx-mèn^, puisqu'ils sont de l'ordre
DU SYSTÈME DU HONI»:. a3i
des forces perturbatrices ; maisil se peutque quelquesuns d'entre eux deviennent sensibles dans les valeurs» de d et 4 , soit parce qu'ils s'y trouveront multipliés par le temps t hors des lignes sinus et cosinus , soit à cause des petits diviseurs que l'intégration leur fem acquérir. C'est donc k ces teriifies seuls qu'il fout avoir égatd , et Ton peut rejeter tous les autres des valeurs de «fi et de «Î4* ^^f ^^ ^* évident que Ton doit supprimer d'abord la partie de ces valeurs qui est une différence exacte, parce que les termes qui la composent sont encore après l'intégration de l'ordre des quantités ;:; et ^ , et par conséquent insensibles. Si l'on substitue ensuite , dans la fonction V, qui est du premier ordre , à la place de <p, sa valeur nt+i, ilidé^ pendante des forces perturbatrices , il faudra rejeter des valeurs de d&etde d^ tous les termes qui dépendront des sinus et des cosinus de cet angle, puis-^ cpi'il n'en résulterait dans 0 et 4" que des inégalités dépendantes du mouvement diurne de la Terre , et qui, par conséquent, seront toujours inappréciables. Supposons donc qu'on ait développé la fonction V * eu une série de sinus et de cosinus de l'angle (p et de ses multiples ; soit F le premier terme an développement , ou la partie indépendante de l'angle <Pp <m pourra substituer F à la place de V dans les expressions de dB et de d^y ce qui les réduit, en supprimant en outre les différentielles exactes , à
Gn*sind ' d^ \ / \ ., dt rfF^W
a3a THÉORIE ANALYTIQUE
Ces formules f les plus simples que l'on puisse em«plojrer pour déterminer la nutation de Taxe terrestre et la précession des équinoxes^ sont duesà M. Poisson. Elles dérivent directement , comme on voit , de la discussion des formules (P) du n^ j, de sorte que les lois des mouvemens de l'axe de la Terre , soit dans l'intérieur du globe , soit par rapport aux étoiles, sont toutes contenues dans ces formules.
25. Pour développer les équations (m), reinrenons la valeur de V du n"* i , nous aurons
x', y, z' étant les coordonnées de l'astre L relatives aux trois axes principaux qui se croisent au centre de gravité de la Terre , a:,f,z les coordonnées de l'ëlé^ ment iim rapportées aux mêmes axes ; enfin , le signe intégral S étant relatif à la molécule dm et à ses coordonnées, et devant s'étendre à la masse entière de la Terre,
Si dans cette expression on fait , pour abréger ,
on aura
V/[/»— 2 . {xx' + yy' -f.«2i') + '*]'
Les distances des centres des forces perturbatrices au centre de la Terre étant fort grandes, relativement aux dimensions de cette planète, il en résulte quon peut réduire la fonction V en une série très couver-
gente , en la développant suivant les puissances descendantes de r'. Si Ton observe en outre que les six intégrales Sxdm, Sjrdm, Szdm, Sûçjrdm, Sxzdm , Sjzdm sont nulles par les propriétés du centre de gravité et des axes principaux , on aura , de cette manière,
V=-r»S.rf/n — x.-TT.S./'^J/?!
+^^.{x'\S.x*dm^y^.S.ydm + z'\S.z*dm).
Nous omettons^ comme on le fait ordinairement, les termes de ce développement jqui dépendent du produit de trois ou d'un plus grand nombre de di«^ mensions en x,jr, z, lesquels termes sont du même ordre que le cube et les puissances supérieures du rap-
port -, , c est-à-dire de la parallaxe de l'astre L : de
sorte que , relativement aux puissances de cette parallaxe , l'approximation suivante est bornée au carré iadusivement.
Nous avons désigné par A , B, C les trois momens d'inertie principaux du sphéroïde terrestre respectivement relatifs aux axes des x, des y et des z; on aura donc
d'où Ton tire
S.z*dm=^
La fonction V deviendra donc, en y substituant ces valeurs ,
+ |^,.[*'V(B4^A)+y.(A+C-BH-2".(A4-B-C)];
Pour introduire, dans cette expression, les angles ip , 4» ^^ ^^ ^^^* transformer les coordonnées x' ,y, z' de l'astre L, en trois autres x , y , z relatives à des axes fixes. Nous prendrons, pour plan fixe dés x, y, le plan de récliptique à une époque déterminée; 1 angle fl sera , par conséquent , Tinclinaison variable de réquateur sur Técliptique, Tangle 4 '^ longitude de Fintersection de ces deux plans , ou de la ligne mobile des équinoxes , et (p l'angle com*pris entre cette intersection et l'axe principal des x; on aura, par les formules du n® a,
x'=:(xcOs4-YSÎn -vj/). C08^+Q(xsîn4f+YC08'v|/)cosS-ZSÎDtf].sill^,
y=(Y sîû^-x cos 4)«^înf + [(xsin4+YCos%^) cos6-2sîn^].cos^, z':=(xsin'J/4"Ycos'4/).sîn 8+« cos Ô.
Avant de substituer ces valeurs dans l'expression de V, remarquons que le rayon vecteur r' de l'astre h doit être indépendant des angles (p, 4, 6: les termes qui ne contiendront que ce rayon vecteur disparaîtront donc dans les valeurs des différences partielles de la fonction V relatives à ces angles ; on peut donc les supprimer d'avance et donner à l'expression de V cette forme
Si l'on élève au carré les valeurs de ody fj z\ ci qu'on les substitue dans cette équation, en faisant, pour abréger,
x'=xcos-n|/ — y sîn 4> y' = X sin •>!. -|- ycoS'4/,
€ten observant que la relation a:'* + j^'* + z'*= /' donne
x'»+ (y' cos fl— z sin fl)*=r'* — (Y'sin6+z cos fl)% on aura
V=- p^. (A- B). { [x'»-(y'co8 9-« sin 6)'] . cos i^+2x'. (Y'cosfl-as sîn9) . sina^
+ f^5.(A+B-2C).(Y'sîn9+zcosô)*.
Si Ton rejette les termes dépendans de l'angle ^, la fonction Y se change dans la fonction que nous avons désignée par F; on aura donc simplement
F = ^,,(A+B — 2C).(Y'sinÔ + zcos6)*.
En différenciant cette expression, on formera les
valeurs des quantités ^ ^t ^r qui entrent dans les
formules (iw) ; mais pour rendre possible Fintégi'ation de ces formules , il sera nécessaire d'exprimer les coordonnées x, y, z, de l'astre L, en fonction du temps U
Pour cela , nommons y rinclîoaison du plan de Torbite que décrit l'astre L dans sou mouvement autour de la Terre sur le plan des xt ou sur Vécliptique fixe ; soient de plus a la longitude de son nœud et i/ la longitude de son rayon vecteur comptées sur le même plan à partir de Taxe des x; eu désignant par / la latitude^ on aura
x ssr' . cos u' . cos s', y == r^ . sin c^' . cos/, z = r' • uns.
On a d'ailleurs tangy=tang^,sin (u'-^ci); en obser- i vaut donc que y est généralement un très petit angle dont on peut négliger les puissances supérieures à la seconde^ oii trouvera
on tire de là
et au moyen de ces valeurs , on trouve
-f-y* . 8inX^''a).[cos»ô-sin*8,sin V+4)]-
Si Ton substitue cette valeur dans lexpression de F, qu'on remplace ensuite r' et / par leurs valeurs relatives au mouvement elliptique de l'astre L, et dé«veloppées en séries de sinus et de cosinus des multiples de son moyen mouvement mt, il sera facile de réduire en séries semblables la valeur de F, et par suite celles
^^ 'dS ^* ^^ 31 > ^^^ expressions différentielles de 8 et
DU STSTÉyHE DU MONDE. a37
>}/ se trouveront donc développées en une suite de termes dont chacun sera intégrable séparément.
Soient e l'excentricité de Torbite de L, et ^j sa moyenne distance à la Terre; désignons par € et^ ai les longitudes de l'époque et du périhélie j comptées de la même origine que 4 ! on aura , par les for mules du mouvement elliptique, n® 25, livre II ,
-= I +5.e*— tf.cos(i»^4'«""*')— î:^*«oos2(wi*+i— #)-|-etc., — î .y* . 8În 2(w»*+ 1 — •) + etc.
L'excentricité de l'orbite de L et son inclinaison sur 1 ediptîque fixe étant toujours peu considérables , e et y sont de très petites quantités; nous négligerons en conséquence le carré de la première et le cube de la seconde, ainsi que leurs produits de trois dimensions. Nous observerons , de plus , que les termes de la valeur de y qui dépendent du mouvement de l'astre L dans son orbite , ne produisant dans les valeurs de 0 et de •>!/ que des inégalités périodiques qui sont nécessairement très petites, comme les observations l'indiquent, on peut n'avoir égard qu'aux plus considérables d'entre elles; en conséquence, nous ne considérerons parmi ces termes que ceux qui sont indépendans de Téxcentricité e et de Finclinaison y. Cela posé , il est facile de se convaincre qu'il suffira de faire dans l'expression de Y
a et /=i7t^-f«€;
on trouvera amsi
238 THÉORIE ANALTTiQUE
3L F=g-j . (A-4-B-aG) { 8in*^-f*2y .sÎD^.oos <.008(at-|-4)+>'** [cos"^-ain*< .gos^(«-
d'où en différenciant , on tire
^=|^.( A+B-aC). I sînS.cosfl. { i -yV [i+cos'(A+4)]-cos2(/iit+f +4) }
+(oos*â-sin*fl).ycos(flt+4) > , y- = - -— (A+B-aC) . { sîn9.[cosfl.y.sin(flr '{"^y^ini,sin:2{mt+$ +4)
Ces valeurs , substituées dans les équations (m) , en négligeant dans une première approximation les termes périodiques et ceux qui dépendent du carré
de ^, et ea faisant^ pour abréger^ ^=^ 1»% donneront
.. 3ni^di; /2C— A— .B\ u . , I i\
., 3//t»rf^ /2C— A— B\ r . .cos*9 — sin»9 , , .,n|('
^^"lirC — c— >U^*^ — -sûTî— ^^(•+^a)
26. Considérons les quantités 5^ sin ( a + 4 ) > ^* 5^ cos (ût + >I^) qui entrent dans ces expressions. Elles représentent, comme il est facile de le voir,, les produits de rinclinaison de l'orbite de L sur l'écliptique fixe, par le sinus et le cosinus de la longitude de son nœud, comptée sur ce plan à partir de son intersection avec l'équateur , ou de la ligne mobile des équinoxes. Si l'on développe 1^ premier de ces- produits , on a
Dans cette valeur , y sin aety ces a sont les produits de rinclinaison de l'orbite de L sur réclîptique fixe 9 par le sinus et le cosinus de la longitude de son nœud, comptée à partir d'une ligne fixe. Ces quantités ne sont pas constantes, elles sont sujettes à des variations séculaires qu'il n'est pas permis de négliger, parce qu'elles peuvent devenir très sensibles par Tinté* gration dans les valeurs de 6 et de %{/• Or, nous avons vu, dans le n^ 69 du livre II, que si Ton nomme y l'inclinaison de l'orbe d'une planète quelconque L sur ua plan fixe , et a la longitude de son nœud ascendant , comptée à partir d'une ligne fixe, le produit tang y sin a est exprimé par un nombre fini de termes de la forme, B sin (bt-^C) et le produit tang y cos a par la même suite de termes dans lesquels on change le sinus en cosinus. Nous représenterons la première suite par 2 . B sin (b t+ S), et la seconde par 2.B cos(^^/+Ç) . En observant donc que l'inclinaison y étant supposée très petite , on peut prendre cet angle pour sa tangente, on aura
ysmaz=:E.Bsm(bt^€), 7COsa=2 .Bcos(bt+€).
Ces valeurs, substituées dans l'équation (o), donnent
7^sin(aH-4)= 2.Bsin(At+4+^)>
doù Ton voit que pour avoir y sin (a 4-4) f ^^ suffit d'augmenter de la quantité >}/ les angles des différens termes de l'expression de 5^ sin a, c'est-à-dire qu'il suf&t de rapporter ces angles à la ligne mobile des équinoxes. Nous verrons que la valeur de •>{/ se compose d'un terme croissant comme le temps /, et d'un^
a4o THÉORIE ANALYTIQUE
suite d'inégalités à longue période dii même ordre que la quantité B; on pourra donc, si dans les valeurs de 8 et «xl/ on néglige les quantités très petites de l'or-' dreB^, substituer à l'angle 4» <^^ l'expression pré-* cédente^ le moyen mouvement des équinoxes. La valeur de y sin(a+ 4) sera exprimée alors par un nombre fini de termes de la forme Bsin(ci^C), qui ne difiereront des termes de l'expression de sin^ sin a, qu'en ce que les angles bt seront augmentés du mojen mouvement des équinoxes. On prouverait, de k même manière , que y cos(ct 4- 4) ^^^ composé de la même suite de termes, dans lesquels on changera seulement le sinus en cosinus; d'oii il suit qu'on aura généralement
y sîn(tt + 4) = 2 • Bsin(£?r ■+• €) , y cosÇa -f- 4) = 2 . B cos(c^ +€).
Substituons ces valeurs dans les équations (n) , elles (Reviennent
rfd =— — A J.oostf.S.Bsiii(c^ + Ç)>
27. On peut, dans la valeur de ^, regarder ces 6 comme constant, parce que les termes qui résulteraient de sa variation seraient des quantités de l'ordre B^ que nous négligeons ; on aura donc en intéjgrant
fl — ^^,^^\^^+^-^<^)xosfl,2.°cos(g/+g); h* étant une constante arbitraire. Pour la déterminer,
■if:
DU SYSTÈME DU MONDE. i»4t
désignons par h rincltnaisoa de l'équatear à l'éclip-^ tique fixe, lorsque t est égal à zéro, on aura, pour cet instaiit
A=^'H — ^Y "^ ^"^^ \co8/i«2>— cos^.
En faisant donc pour abrégerj
on aura , aux quantités près de l'ordre B' ,
BZ
ô= A — 2.— .[cos (ctr{-Q) — cos€]. (ï)
Passons à l'expression de d'\^. Il n'est plus permis ici de regarder comme constant l'angle fl qui entre dans cette différentielle, parce que ses variations peuvent devenir sensibles dans la valeur de 4* On voit, en effet, qu'elles y produisent des termes qui sont du second ordre par rapport aux forces perturbatrices, mais seulement du premier par rapport à la quantité B. Si l'on n'a, égard qu'à ces termes , et ^i l'on néglige , comme nous le faisons, les quantités de Tordre B% c'est uniquement dans le' premier terme de la valeur de d^ qu'il sera nécessaire de considérer la variation de l'angle 6. Nommons donc cTd cette variation déterminée par la première des formules (/?), en sorte qu'on stit 6=:i%-f-/8; en
négligeant les quantités de l'ordre eT^d, on aura
<x>s ^ssicwh. (i .— ' tàng /(./d) , TOMB II. x6
x>u bien^ en mettant pour /O sa yalear^
cosfl =cos.ri 4-tang A.2.— •cos(c^-+*€) |.
Si dans le premier terme de Texpression de d^, on substitue cette valeur^ et si l'on remplace par /la quantité que cette lettre représente , on trouvisra
^4 = rZ+S.B/,.cotA/i+^aang» A\cos(c«4-ff
d'où l'on tire , en intégrant ,
4«i=/^+fH-2-|Wft.(i+^.tang^A,sin(c/+^),
V étant une constante arbitraire. Nous prendrons pour origine de l'angle 4 ^^ des autres longitudes comptées sur le plan de l'écliptique fi^e ^ l'équinoxe du printemps, à Tépoque d'où Ion compte I0 temps, en sorte que 4 ^^^ ^^ ^^ même temps que <; on aura ain$i
p s=/' + 2, -^•cpt6Yi+-^*tang* Aj.sin ^, èl;par conséquent .
4 ;:;=: //+2. -.cpt A. ( i +» -^.tang*À\[gia(c«+Ç-sinf|.
Ces valeurs de 6 et de. 4 serviront à déterminer les mouvemens de l'axe terrestre pa^f rapport aux étoiles; jointes a la valeur ^ = »^ + ê» elles fournissent toutes les dpnaées; nécessaires pour fi^Ker à chaque
nu SYSTÈME DU MONDE. a4»
instant la positibu de k T^re autovr de son. centra de gravité. . .
a8. Jl est imporUkit de naofqter que l'on. serait parvenu àdes formules très diffërentéa des précédentes^. si rpn avait négligé de tenir con^te^ dans les .va^ leurs de ^0 et d-)^^ di^ yarîiatiaiis séculaires des qùan« tit^ ysmoL et ^rcosiBe. En effets il est aisé^ide voir que si l'on désigne: par //:1e moyen mouvement dea équinoxesi en sorte qu'on ait . i ' .
les produits de la tâtigente de Finclinaison du plan de Torbite dèTastre L sur i'éclîptîqûé fixe, partie sinus t)u le cosinus de la longitude de ison nœud^' comptée dé Téquinoxe mobile ,' isférpnf dans ice tas , *
En 'substîttiânt ces ^valeurs dans^ les équations (^) iîu n* 25, et en leur appliquant ensuite ï'analj'sê prédédente , oh trouve • "
Ces formules ont jpté données d'aly>rd par Lagrange dans les Mémoires *de Berlin pour Tannée 1800^ et on les retrouve dans plusieurs ouvrages d'Astronomie qui ont paru depuis ; on voit qu'elles dérivent naturelleinent des valeurs de Q et de ^|.'; n^'^^^^en sàp^ posant q^W>égacd,:dai» ces ^aiens.iU'aplatisseme;it dêla:Tfine y ^m j^iili.^'il pfoà^iph :pf:^fismm
moyenne /^ des équinoxes ^ mais qa^peut négliger l'effet de cet aplatissement combiné avec le dépla* cernent séculaire du plan de Torbite de l'astre L. Or^ cette hypothèse n'est pas suffisamment exacte, et l'on Terra plus ba» que les formules (q) ne peuTent servir que pendant un siècle au plus, à partir de l'époque doit l'on compte le temps t, mais qu'audelà elles donneraient :de8 résultats fort différens des phénomènes observés.
29. Nous avons rapporté jusqu'ici les angles 8 et 4 à un écliptique fixe ; mais pour comparer la théorie aux obseryatioqs ^ il faut avoir les. valeurs de ces angles par rapport à lecliptique mobile, puisque c'c;st en effet de ce plan que nous les observons* Supposons que Tastreti^ dpnt nons avons considère lao tion sur le sphéroïde terrestre, soit le Soleil , et considérons le triangle formé sur la surface d'une sphère décrite du centre de gravité de la Terre avec un rayon arbitraire, par l'écliptique fixe, Téquateur et le-plan mobile de l'orbe solaire , ou l'écliptique vraie. Si l'on désigne par 8' l'inclinaison de l'équateur à l'écliptique vraie, les trois» angles de. i:e tri^^ngle seront B, y, 'ieQ^'.'^^^f^tl'^àT^o^.^r^ Wa Je çitJéiipposé à Tangle 1 8o* — fl'; on aura donc , pour déterminer cet angle,
" 'cos8';=.cosÔcos7^ — sîn 8 sî'n^^CQs (*+<>},).
ÇeXtf équartipn dpnp, aux quap.titéspi^s de l'ordre 7, é'-f;=.ôf si:.rpîi néglige. seule;nen;t les quantités de
'd'^ ^oty tir!e , eti )$ubstitt»nt pùtxryc<>6(d^4py, sa
W STSTiMfi DU MONDE. ^45
valeur, et en négligeant toujours les quantités du second ordre, !
Ô' = 94-2.Bcos(cf+C)- (5)
Désignons, dans le même triangle sphérique,^ par b, le côté opposé à l'angle y, nous aurons
sm X c= — -^— .— H ^. (r)
Nommons 4' I^ distance de l'intersection de Téqua-r teur et de Técliptique vraie , projetée sur Técliptique fixe, à l'origine invariable d^où l'on compte 1 angle 4/ sur ce dernier plan, et considérons le triangle sphérique rectangle dont a: est l'hypoténuse, et dans lequel Ô est l'angle adjacent au côté 4 """^'i nous aurons
tang (4 — 40 -^^ ^^s ^ *^^g ^*
La supposition de ^=o donne ar=i:o, et par conséquent 4'= 4* ^^ ^'^^ substitue pour tang x sa valeur tirée de l'équation (r) , et qu'on néglige seulement les quantités de l'ordre y*, on trouvera
tang (4 — 40 = cot 9 . 7 sin (a + 4) >
d'où l'on tire, en mettant pour y sin(a + 4) ^ valeur et négligeant les quantités du second ordre,
4'=4 — cotA2.Bsîn(c^4-^). (4)
Nous avons représenté par y l'inclinaison de Yé-^ cliptique vraie sur l'écliptique fixe ; par les équations {^)f on a généralement
246 THÉORIE ÂNAITTIQUE
>• = [2 . B sîn (c^+ ^]» + [2 . B cos (c^H- f )]\
Prenons pour plan fixe celui de Técliptique au commencement du temps t;y sera nul pour cette époque, puisque alors Fëéliptique vraie coïncide avec Técliptique fixe ; on aura donc
S.Bsinésso, S.Bcos^&so.
Cela ppsé ^ si, dan^ les ëquatipns (5) et (4) p on rem^ place 8 et •>{, par leurs valeurs données par les forinules (i) et (2), Qu aura, .pour détenmner ^ et 'l/, les deux formules suivantes :
û' =3 A — S.?fc^.[cos(e« + ê)— cos^,
