Z/+2.?^xotA.(i+^.tang*A)[sin(c/+e).sinQ

lès constantes hei l ayant la même signification qne dans le n® 27.

5o. Ces formules sont celles que nous emploierons pour déterminer les variations d'obliquité de l'écUptique vraie , et la précession des équinoxes relatives à ce plan. Pour les comparer à celles qu'on obtiendrait en négligeant leffet de raplatissement de la Ten*e combiné avec le déplacement séculaire deTe^ cliptique , substituons dans les équations (3) et (4) pour Q et •>{. ^ leurs valeurs données par les équations {ç), et nommons^ comme précédemment^ h l'obliquité de l'écliptique lorsque /est nul; nous aurons ainsi

DU SrSTÈME DU MONDE. a47

^ =£:A*f-2.B[côs(^<4-Ê;— C09(fo+^)], 1 ^(,'=f= &— 2 . Bcot A[sin (^/+^)~sm (fo+ Ç). ] C*)

Ces formules s^accordent asses bien avec les précë*dentes, lorsque le temps t^ que Ton suppose exprî*mer un nombre d'annces tropiques , n'excède pas cent; elles donnent également en effet, en les déve-^ loppant par rapport à / ^ et en négligeant les termes de Tordre /*, pour la yariatioii' de l'obliquité de l'écliptique ,

cf6'=^2.(/ — €?)Bsinfi|

mais ces formule^ différent beaucoup lorsque le uombre / est de plusieurs mille, parce qu'il n'est plus permis alors de négliger les termes dépendans du carré da temps.

Si la Terre était sphérique, les actions des autres corps du système n'auraient aucune influence sur les mouvemens de son axe de rotation, puisque leur résultante passerait exactement dans ce cas par son centre de.gravité. Les trois momens d'}ner(ie priuci^ paux du sphéroïde terrestre seraient aWrs égaux entre eux; on aurait par conséquent /=o, ce qui donne c=i, et les valeurs de 6' et 4' se réduiraient aux suivantes :

ô' i=A4-2-B[cos(*/ + €)— cos^, 4'=:— 2,BcotA[sin(^^+e);— sirig}.

Ces équations déterminent la variation de Tobliquîté de l'écliptique et La précession des é<}uinoxe$ qui au^ TÛent lieu par le seul effet du déplacement de Torbe

solaire , résultant de l'action mutuelle des différens corps du système. En les comparant aux formules (5)^ on voit que Faction du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre change considérablement les lois de ces deux phénomènes ; mais celte différence ne devient sensible qu'après un grand nombre d'années. En effets la valeur précédente de 0' donne, pour la variation de l'obliquité de l'écliptique , en négligeant les quantités de l'ordre ^%

crfl' = — ^.S.ABsing.

Cette valeur, en observant que l'on a —^bzszl — c, coïncide avec celle que nous avons tirée des formules (5) et (s). La variation séculaire de Tobliquité de l'écliptique est donc la même pour les temps voisins de l'époque , que la Terre soit supposée s'éloigner ou non de la figure sphérique; mais cette variation est fort différente dans les siècles suivans, et dans les suppositions les plus vraisemblables sur les masses des planètes , l'étendue entière de la variation de l'obliquité de l'écliptique est réduite par l'action du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre , à peu près au quart de la valeur qu'elle aurait sans cette action.

3 1 . Nous n'avons considéré jusqu'ici que l'influence du Soleil sur les déplacemens de l'équatcur terrestre ; considérons maintenant celle de la Lune. Il est clair, d'après l'analyse précédente, que l'action de la Lune ajoutera aux valeurs de 6 et de 4" des termes semblables à ceux que produit l'action du Soleil ; mais une circonstance particulière au mouvement de cet

Sistre contribuera à simplifier ces expressions. L'observation montre que l'inclinaison moyeime de Forbe lunaire à Técliptique vraie est à peu près invariable f il y a donc de l'avantage à introduire cet angle à la place de l'inclinaison sur Fécliptique fixe dans les formules (i)^ (a) et (5). Pour y parvenir^ désignons par y' l'inclinaison de l'orbite de la Lune sur Teclîptique fixe, et par a' la longitude de son nœud, comptée de la ligne fixe qui sert d'origine à l'angle 4/ , en sorte que a^ -f* 4 ^^^^ cette même longitude comptée de Féquinoxe mobile. Soit s la longitude de la Lune comptée de la même ligne fixe sur l'écllptîque invariable. Il est aisé de voir que les latitudes, par rapport à Fécliptique fixe et à l'écliptique mobile, seront respectivement, aux quanti** tés près du second ordre , tang y sin (s — a') et B'sin(5 — a'), en désignant par B' la tangente de Imclinaison moyenne de l'orbe lunaire sur Fécliptique vraie ; mais si la Lune était en mouvement sur le plan même de cette écliptique , sa latitude au-dessus de l'écliptique fixe correspondante à la même longitude s, serait tang ^ sin (5 — a). Cette dernière latitude est à très peu près égale à la différence des deux premières ; on aura donc

tang y sin (s — x) = tang^ sin [s — oT) — B'sin {s — a')^

d où 9 en supposant successivement s égal à zéro , et s égal à un angle droit, et substituant les angles y et y' à la place de leurs tangentes, on tire

3^' sin a' = 3^ sin a -j- B' sin a', y cosa'ss y cos a + B' coscl\

zSm TBÉORIE AMAtYTIQUB

Cela posé 9 les quantités y sin (^^ + 4^)» et y cos (tt' + 4 ) représentant les produits de l'inclinaison de l'orbe lunaire sur Tédiptique fixe midtiplîoe par le sinus et le cosinus de la longitude de son nœud , comptée sur le même plan a partir de Téquinoxe mobile } on aura , en les développant ,

y sin (a'+ 4) = y sîn a' . cos 4 + >' ^^^ a' • sîn 4 ^ ycos(a'+4)=ycosa'.cos4 — >' sin a' «sin 4-

Si l'on substitue^ dans ces expressions^ pour y' sin a^ et pour y cos«' leurs valeurs^ on trouvera

y' sin (a'4-4) = y sin (a + 4) + B' sin (ûfc'+ 4)^ >' cos (a' + 4) = T' ^^s (^ + 4) + B' cos (a' -|- 4).

Désignons par L' la masse de la Lunei^ et par a' sa

moyenne distance à la Terre, et faisons -t^ = A/n*,

en sorte que A désigne le rapport de 1 action de la Lune à celle du SoleiK II est clair qui! suffira, pour avoir égar^ à l'action de la Lune , de substituer Am^ a la place de m!', et les seconds membres des équations précédentes, à la place de 3^ sin (a^^)eide

5/ cos (a 4- 4) ^°s ^^^ formules («). Qu'on désigne par c't^C la valeur moyenne de la longitude du nœud de l'orbite lunaire, comptée de l'équinoxe mobile , la séiite à laquelle il soît nécessaire d'avoir égard, ce qui donne a' + 4 = c'^ + ê'; qu'on intègre ensuite les équations résultantes, en remarquant qu'on^ peut , dans la partie relative aux déplaceniens de Torbe lunaire, regarder 9 comme constant et égal à A; qu'on change de plus / en (i + A)/, ou.

DU SYSTÈMB DU M05DE. s5i

comme / est arbitraire^ qu'on suppcfse que cette constaote représente désormais cette quantité , ce qui donne

l:=:,^JIÙii±^,(^=^.cosh, (6)

on aura p en ^ertu des actions combinées de la Terre et du Soleil^

fl =A— 2.— .^cos(^î^4-ff)— cosff] 77—, — : . cos (c'*+r) ,

Ô' m ft— 2 . -^ '.[cos{ct+ f)— cosC]— ^ .cos(c'*+C) ,

C Cil "^ AI

^ =lt + s . — . cot /*/i -f — ^•tang*A j fsîii (c/ + ff) — àîn ff]

+ -77-- — -.cot2A.sîn(c'/+C0-

Dans ces formules , h représente rinclinaison moyenne de l'équateurà l'écliptique^ ou Tobliquité apparente de l'écliptique à 1 époque où l'on fait commencer le temps ^ et / le moyen mouvement des équinoxes à la même époque.

D'après le sens dans lequel est compté l'angle 4 ^ ^"^ ^ ^ on voit que le mouvement dés équinoxes sera rétrograde^ si cet angle croit avec le temps t; or, le premier terme de sa valeur surpasse tous les autres , et C étant le plus grand des trois momens d'inertie du sphéroïde terrestre , l est nécessairement une quantité positive ; le mouvement des équinoxes est donc réti^grade à la fois sur l'écliptique fixe et sur Tédiptique vraie.

^&à THÉORIE ANALrriQUB

Telles sont les valeurs de B/^^, ^,' 4' qui résultent de Taction du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre , et les formules précédentes sont celles qu'il faudra employer pour déterminer les déplacemens de son équateur. La première partie de ces formules donne la variation séculaire des angles ^, '^fO' et'^' ;leur dernier terme est périodique et dépend du mouvement des nœuds de Torbe lunaire ; sa période est d'environ dix-huit ans. Cest lui qui constitue spécialement ce balancement particulier de l'axe terrestre que Bradley a le premier découvert, et qu'il a nommé sa nutation.

3:2. Examinons rinfluence du mouvement des équi*noxes et des déplacemens de l'équateur sur la longueur de l'anuée tropique et sur la durée du jour moyen. L'espace de temps qui s'écoule entre les retours du Soleil au même équinoxe ou au même solstice, forme l'année tropique j Tintervalle compris entre deux de ces retours aux mêmes étoiles forme Tannée sidérale. Si les équinoxes étaient fixes , Tannée tropique serait égale à Tannée sidérale; mais comme ils ontsur Técliptique un mouvement rétrograde ou contraire au mouvement propre du Soleil, ils s'avancent au-devant de cet astre , et resserrent Tespace qu'il avait à parcourir pour accomplir sa révolution. On aura la durée de Tannée tropique en retranchant de Tannée sidérale l'arc parcouru pendant ce temps par Téquinoxe sur Técliptique vraie réduit en temps , à raison de la circonférence entière pour une année. Soit donc T Tannée sidérale , la longueur de Tannée tropique sera

DU SYSTÈME DU MONDE. à5&

L année sidérale est de 365^,256384; ie moyen mouyenient deséquiuoxes dans ce siècle est de 5o'y3757 ; Tannée sidérale surpasse dQnc Tannée tropique de o'yOi4i-97* Mais comme le mouvement des équinoxes est variable, la longueur de l'année tropique change dans les différens siècles ; elle est «maintenant d'envi-* ron g" pi us . courte qu'au temps d'Hipparque»-

On distingue en Astronomie troijs e^cesde jours : le jour sidéral , le jour solaire et le jour moyen. Le jour sidéral est l'intervalle de temps qui s'écoule* entre les retours d'une même étoile à un méridien donné. Le jour molaire se mesure par les passages successifs du Soleil par le même plan. Si l'on imagine dans le plan de l'écliptique un Soleil fictif qui se meuve d'un mouvement uniforme et passe au périgée et à l'apogée en même temps que le Soleil véritable;' que l'on imagine ensuite dans le plan de l'équateur un troisième Soleil qui passe par Téquinoxe du printemps en même temps que le second, et qui se meuve uni-' formément, de manière que les distances angulaires de ces deux astres fictifs, au même équinoxe soient constamment égales entre elles , l'intervalle de deux retours consécutifs de ce troisième Soleil au, méridien sera ce qu'on appelle le jour moyen. Le^ mouvement de rotation de la Terre autour de son axe étant uniforme, n^ ao^et Je moyen mouvement du Soleil dans son orbite étant invariable, n* 6i , liv. II,

la durée du Jour moyen aérait constante^ ai l'obliquité'

lS4 THÉORIE ANALTTIQUE

de l'édiptique était toujours la même et si le mouvement des équinoxes était uniforme : les variatioDs auxquelles elle peut être assujettie ne dépendront donc que des variations séculaires de l'obliquité de Vécliptique et de la précession des équinoxes.

Pour les déterminer, considérons la marche da Soleil pctif que nous avons supposé en mouvement sur le plan de l'équateur* Soit v la vites^ dont cet astre est animé , s sa longitude comptée de Tintersection de 1 equateur avec l'édiptique fixe. La position de cette ligne varie, et son mouvement rétrograde projeté sur le plan de 1 equateur sera ^^'^^^P^^" dant l'instant dt ; on aura donc ^ à la fin de cet instant,

ds z=:^y.dt'^ d'^.cosQ.

Nommons s' la distance du même Soleil à réquinoxe réel, c'est-à-dire à l'intersection de l'équa leur avec Técliptique vraie ; s — / sera l'arc compris sur l'équateur entre l'équinpTce réel et l'équinoxe relatif à l'écliptiqiie fixç. Nous avons désigné par x ce^ même arc dans le n^ tq; on aura donc, à très peu

près

4Foii, en différenciant et mettant pour 1/5 sa valeur^ on tire

-^ =CkV ^- -jf , COSB --^ - — ' r-^,— '.

al af sm é

Soêt mt le nioijn^nMntaAgaiaiie da «seGOiiid 'Soleil ; ou

d^ l'â^a fictif qui se meut uniformément sur le plan de rédiptique yraîç; la yite9$^ d^ ce SoleU^ par rap-^ port à une ligne fixe^ sera m» L equinoi/e réel a ^ re-*- Jativemeot à U même ligne , une vitç$ae rétrograda

■j-; la vitesse du second Soleil^ par rapport à cet

équiûoxe, «era ^om: m -4^ -^* Or, d'après la défini-r tion du temps moyen, il est clair que cette vitesse doit être égale ^-j; » on aura donc, pour déterminer y y l'équation

' dt dû sin é

Nous ayons, par le n"" 2g,

-^ = r^ — cos d. 2 .Bc . cos(cl -f- €) , on aura donc

Si Von substitue dans cette équation pour ^4 ^ valeur, et si l'on met A à la place de 4 , on trouve

T=:m+ (i — ces A)./ — sinh.X. — .cos(ct+C)

4-(i ---co5A).2.rr-r~n.taagA4-/eo«A |.Boof(^#+C) I — cos A ^ r . /^ '

— ^j-g .Z.Bç.CQ9(c/+Q.

a56 • THÉORIE ANALYTIQUE

' Nous avons désigné par n la vitesse de rotation de la Terre > et nous avons vu que cette vitesse était invariable ; il s'ensuit que n-^ v est la vitesse relative dont un méridien quelconque de la Terre est animé par rapport au Soleil moyen qui se meut sur Téquateur; si Ton nomme donc Ç la longitude de ce méridien comptée de ce. point , on aura ^zssf{n — v).ûfc, ou bien en substituant pour v si^ valeur et en effectuant | l'intégration indiquée,

— (i — cosA}.S. ( /j.tangA+^cotA j.— .sîn(c/-M

I — 'cos h - , ^ , M^ r— i— .S.B.sin(c/-4-C).

L'intervalle de tem(ps pendant lequel cet angle croit de 56o' forme le jour moyen solaire; on aura donc sa variation séculaire , en retranchant la valeur de^, déterminée pour une époque donnée, de sa valeur à une autre époque. On verra que cette variation ne s'élèverait pas à quelques minutes dans une période de plusieurs millions d années , et que par conséquent on peut se dispenser' d'y avoir égard.

35. Réduisons en nombres les précédentes for* mules, pour les comparer aux observations. Pour cela, considérons d'abord les quantités Z • B sin (bt + €) et 2.Bcos(ir + S) qu'elles renferment et qui représentent l'inclinaison de Fécllptique vraie sur récliptique fixe , multipliée respectivement par le sinus et le cosinus de la longitude de son nœud. Ces quantités

pu SYSTÈME DU MONDE. 267

correspondent à celles que nous avons désignées par pei q dans le n^ 6g du livre II ; on aura donc

/? = 2.B sin(*^ + €), y = 2.B cos(*^+ ^).

La détermination exacte dés valeurs de ^ et ^ dépend d^un calcul très compliqué ^ et suppose une con- Daissance parfaite des masses planétaires ; il reste encore trop d'incertitude à cet égard, pour qu'on puisse employer la méthode, que nous avons présentée n'* 69 , livre II , dans la recherche qui nous occupe. Mais comme les inégalités séculaires de ces quantités ^ croissent avec une extrême lenteur , on peut les supposer développées suivant les puissances du temps , conformément à ce que nous avons dit dans le n* cité, et les résultats que Ton obtiendra ainsi pourront s étendre à mille ou douze cents ans avant ou après l'époque que Ton aura choisie , ce qui sufEt aux besoins de FAstronomie. En prenant pour plan fixe celui de Técliptique au commencement de 1750^ et fixant à cette époque l'origine du temps t, M. Bouvard a trouvé y d'après Les données les plus exactes que nous ayons sur les masses des planètes ,

p=z t. o",o663 1 4 + iV o",oooo 1 8658 , (jf = — i.o",4569i7 -H ^*.o", 000005741,

t exprimant un nombre quelconque d'années juliennes.

Si l'on développe les valeurs de p et y , par rapport au temps , on aura