CHAPITRE VI

Mouvement de rotation de la Lune j autour de son

centre de gra^fité.

4i . Un phénomène extrêmement remarquable dans le système du monde , et qui parait avoir été connu de tout temps , c'est que la Lune , dans son mouvement de révolution autour de la Terre, nous présente toujours la même* face. L'explication que les anciens astronomes avaient donnée de ce singulier phénomène était erronnée; c'est à Hévélius et à Newton que l'on doit la connaissance de sk véritable cause. Us montrèrent que pour en rendre raison, il fallait supposer une égalité parfaite entre le mouvement de révolution et le mouvement de rotation de la Lune; d'où il résulte qu'à mesure que son centre de gravité s'avance sur l'orbite qu'il décrit autour de la Terre , l'axe du sphéroïde lunaire qui est tourné vers nous décrit par un mouvement contraire le même nombre de degrés , en sorte que ce second mouvement , ramenant sans cesse vers le centre de la Terre le même hémisphère de la Lune, toutes les autres parties de sa surface nous restent à jamais cachées. Bientôt après, Dominique Cassini, par une observation plus attentive encore des taches de la

^To THÉORIE AWALrEÏQUE

Lune , découvrit, dans son mouvement de rotation, de nouveaux phénomènes; il reconnut, i*. queVincU" naison de l'axe de rotation de la Lune à Vécliptiqm est invariable ; 2*. 7«e les nœuds de son équateur coïncident constamment at^ec les nœuds de sonorhite^ c^est-à-dire que les plans de ï équateur et de Forbite lunaire coupent toujours celui de Vécliptique suimnt ia même ligne droites Ces deux importantes décoavertes, les plus belles peutêtre dont nous soyons redevables a ce grand astronome , et que les observations de Tobie Mayer et de Lalandeont depuis confirmées, complètent la tliéorie astronomique du mouvement de rotation de laLune.^ et ont permis aux géomètres de chercher^ avec le'çecours de lanalyse, 1 explication iJiysiqoç des* sing4i}iei^ phénomènes que ce mouvecoent nous présente.

P'Alembext tenta le premier cette entreprise. Il essaya d'appliquer à la Lune ses formules de la précession des équinoxes; mais la lenteur du mouve- Pfient de rotation^ de cet astre , et surtout la circonstance particulière de 1 égalité de ce mouvement à celui de révolution, exigeait, pour traiter cette question, jo^ne analyse toute nouvelle , et celle qu'employa d'Al^mbert le conduisit à des résultats inexacts. Lagraiige i&ut plu$ de succès, et son Méiaaoii^e , qui remporta le p^ix proposé par T Acadéjcnie des Sciences pour 1 764» ^pinjt à celui qu'il publia en lySo dans les Mémoires de Berlin, renfqrmje la théorie coiriplèle du mouvfr* inent de rotation de la Lune autour de son centre dei gravité. 1

Lagrange doi^ne d'abord l'explication du phéno-

DU SZSTÈME DU MONDE. sjt

mène que Voh a nÉômiaia ia libraûhn en longitude ; il montre <}a il est du à ce que régalité du mouveineut moyen âe révolution etderotatioiide la'Lune n'ayant poioteté rigoureusement exacte à l'origine des temps^ ce qui paraitrait en e&et infiniment peu, yraisejoaLbrble^ il en e^ résulté une espèce de balancement dans faxe du sphéroïde lunaire dirigé vers la Terre qui le fait osciller de part et d'autre du rayon vecteur mené du centre de la Terre à celui de la Lune^ comme un pendule oscille sans cesse autour de la verticale dont on l'a légèrement écarté. Après avoir développé -les lois de la libration en longitude, ainsi que les petites inégalités qui TOsultent dans Je mouvement de rotation des inégalités du mouvement de révolution , passant à libration de la Lune en latitude, par un choix de variables extrêmement ingénieux , et qui a été utile dans un grand iionibre de questions de la Mécanique déleste , il par- Tient à déterminer les lois du mouvement de l'éqiiKalear lunaire. U montre que l'inclrnaiscM de l'axe de K)tation de là Lune est constante , et que le singkitier phénonfiènè de la eoïticrdence des nœuds de «on Equateur et de son orbite , en est une iconséquenoe immédiate. Pour que cette coïncidence existe> il fiW pisis nécessaire qu'elle ant en lieu rigooreusement à lorigme du mouvement ^ iL suffit que la diffénsnce ^i existait à c^te époqtfe entre les positions des nœuds de l'équateur et de l'orbite lunaire ait (été très petite; l'attraction de la Terré a établi ensuite et maintiendA "étermllemeiit la coïncidence de leors Qtieuds m&yens.

a7a THÉORIE ANALYTIQUE

Cette belle analyse , comme la plupart de ceUes que nous a laissées Lagrange^ a presque épuisé la question qu'elle avait à traiter^ et les géomètres qui s'en sont depuis occupés^ n'ont fait que la simplifier et ajouter aux inégalité#de la libration en longitude et en latitude déterminées par lui, quelques inégalités nouvelles qui sont très petites en elles-mêmes , mais auxquelles la précision des observations modernes obligera désormais d'avoir égard. C'est ainsi que M. Poisson , en discutant avec un nouveau soin les inégalités de la libration en latitude , en a reconnu une qui dépend de la différence en longitude du nœud et du périgée lunaire, et qui peut devenir sensible ; mais il s'est assuré en même temps qu'elle était la seule de cette espèce qui eût été omise dans l'analyse de Lagrange et de Laplace, en sorte que toutes les autres inégalités auxquelles ils s'étaient dispensés d'avoir égard pouvaient en effet être négligées.

On doit donc régarder comme complète la théorie physique de la libration de la Lune; la seule chose qu'elle laisse encore à désirer, c'est un assez grand nombre d'observations pour fixer avec précision les données que l'analyse emprunte à l'Astronomie , surtout celles qui déterminent les rapports des momens d'inertie des trois axes principaux du sphéroïde lunaire , et qui fournissent par conséquent des notions exactes sur. sa figure. M. NicoUet a déjà exécuté un travail de ce genre , en y employant : 1 74 observations faites par lui ou par MM. Bouvard et Arago; espérons qu'une plus longue suite encore

d'observatkms confimoeva les résultats auxquels il est parvenu et ajoutera à leur précision. . ^

On pourrait déterminer les in^alites du mouve^ ment de rotation die la Lune troublé par l'action' du Soleil et de la Terre , au moyen des formules conte* unes dans le chapitre P'; mais ilest plussimple dere^ prendre pour cek les! équations différentielles '4lu mouvement troublé y dcmnées n^ 2^ On verra aisé « ment d'ailleurs comment les rés^ultiOs que noiis allons développer se coiiduraient des fbnnul^s générales (P)^ n*" 7i qui s'appliquent au mouvement de rota*« tioa de toutes les planètes.

4a* Noos placerons Torigine cks coordonnées au centre de la Lune/ que nous supposerons immobiie^ et Bousregard'eronis le Soleil et k Terne commecirculant «itour ^d'elle. Soient donc L la masse de la Tdrre, ii Y^ ;z ses trois coordonnées relatives à un pian fixe mené par le centre de la Lune paradèleaient au plan de 1 ediptique à une* époque donnée 9 r son rG(yoA veetenr compté du ihèmiB-y^poinl; en ne poussant les approximations qite jusqu'aux : termes du troisième ordpe'|>af: rapport aux dimaTisiôi)& du sphénoïde lu^ naire, on aura " »

'- r75.( A-B) . ( [x''^(T'cos8-zsi n5)'*}. cos^i^ + 2x' . (y'oos^zs mê). sîn2^ }

-7-75.(à+B— aC). [x'»-f (y cos 0--zsîn6) ].

Dans cette expression , A, B, C représenteut les;

trois momens d'inertie principaux de la Lune. Nous

continuerons à donner le nom êHéqiiateur au plan

qui renferme les deux premiers axes principaux^