Tome II
ÎI74 THÉORIE ANALYTIQUE
d'e5t>à-^re ceux auxquels se rapportent les ntomens d'inertie A et B. Ce plan n'est plus ici, comme dans le monvement de rotation de la Terre, perpendiculaire à Faxe iastâniané de rotation ; cet axe varie dans rjntërienr du sphéroïde lunaire , en sorte que les p61es de rotation se déplacent k la surface de la Lune , circonstance qui établit une différence essentielle entre le mouvement <k rotation de ce satellite et celui du sphéroïde terrestre.
Cela posé, d représente l'inclinai^ïmi de l'équateur lunaire sur le plan fixe pai^Uèle à l'écliptique/^est l'angle compris entre le premier axe principal de la Lune et le' nœud^ descendant de son équateur ; nous supposeroisâ langle ^ compté à. partir de ce nœud 1 danftJesens du mouvement de rotation delà Lune; enfin, Aous nommerons 4 Taiiigle^coitipris entre le neeud .descendant de réquàteur^ lunaire et une droi|te fixe méaSd dans le plan de l'écl^tiquey et nous Auppoaevons, cet angle ^compté, ii partir de cette droite, .en^sens inversç dé l'erdreides signes*
.Si l!os^ différencie la fonction *Vv par rapport lâux trdis ivariaUes ^, .s{/, 9, en observant qiie Toâ a^ n? 25, > '
on aura
éY==^..(A-B).([xMY'co8«-zsînO*].8inaf-2x\(Y'cos«-zsîn0.cos2f}^ 4.iJ^ (X4.B— iQ,rx'.(T'ViriV+2oos#).8!nl1, .' ,*
:-73.(Â-B).[x^(T'sin0-(-zcosé).sin2f-(T'cos#-zsiDâ).(Y^sin4-fzoo89).co82f]
' j-p5'(A+B-2C).[(Y cosfi-zsîn9).(Y'5me+»cosS)] ,
/ et par suite ,
4-x'. (t' sîn fl+ï cos 0).co8a^] +|^.(A+B-aC).[x.(Y'8m9+«co59)3.
Les trois équations (G) du n^ 2 deviendront ainsi
>+(C-B).jrnft===--^.(C^B).[Y'cosfi--Z8În6).(Y'8Înfl+aoosé).cos^
[+(A-C),j5nifc=--73-*(A-Q.[x'-(T'8la^+j5C080.cos^
-4-(y'co8 â-zsînl).(Y' stn é'^z cos ^) .sinf] , r+{B-A)f j<îfc= — -75-.(B-^A) . [ ax'.CY^cos fî — z sin ô) .cos 2^
— [x'* — (y' cos 9 — z sin 9)*] .sin a^ }•
U est bon de remarquer qu'oi^ peut arriver très simplement aux mêmes équatioiis de la manière sui-vante ; en ne poussant Fapproximatîo» que jysqu'aux termes du troisième ordre, nous avons trouvé, n"" ^5,
'^'f/f 2' représentant les coordonnées de Tastre L, apportées aux trois axes prinfcipaux du sphéroïde
attiré. •
Cette expression donne , en la différenciant p
I dV f dV ^^^ 3L ^ . p^ / /
Si l'on substitue ces valeurs dans les équations (B), n"* 2, et qu'on remplace ensuite les coordonnées af, y, z' par leurs valeurs en fonction des angles ^t 4> ®> ^^"' nées n^ u5, on retrouvera identiquement les équations (i).
L'observation ayant montré que l'indinaison de réquateur lunaire sur l'écliptique est toujours peu considérable , 8 est un fort petit angle dont nous négligerons le carré et le produit par le carré de Tinclinaison de l'orbite lunaire, qui est 'aussi une très petite quantité. En observant que z est du même ordre que cette inclinaison , les trois équations (i) deviendront i
SïAé Ad/>+(C.B).gnite:^,(C-B).[(Y'é+£).(Y^co8f-x'5Îii^)],
^Ldi
BJy +(A-C)./irJfc= -^ .(A-C).[(y'«+z).(x'co8^ +V«Df )],
On peut encore aux coordonnées tl^ y^, z de L ; substituer d'autres variables qui rendent l'intégration plus facile. Soit (^ la longitude de |a Terre vue de la Lune , cette longitude étant comptée du nœud
ascendant de l'ëquateur lunaire ; soit a la longitude du nœud descendant de Torbe lunaire comptée du même point , et y Finclinaison de cette orbite sur TécUptique Rxe; en désignant par / la latitude de la Teire au-dessus de ce dernier plan^ on aura
tang s' = tang ^.sîn(i^ — a).
La longitude de la Terre , comptée d'une droite fixe sur le plan parallèle à l'écliptique , sera (^ — >|/ ; en suivant donc l'analyse du n® ^5, et en observant que y est un très petit angle dont on peut négliger les carrés dans ta recherche ({ui nous occupe, on trouvera
valeurs exactes, aux quantités près de l'ordre y*. Les équations précédentes deviennent ajnsi
A^(e-B).5rrrffc==:.(C-B).[(9 %mp+y Mn(i^-«)].8În(«A-f) Bdï4-(A-C).;»nifc=-^.(A-C).[(»nn v +y sin (»^)]xo8(«»-f ) , Va)
or J^
43. Occupons-nous d'intégrer ces équations j considérons d'abord la troisième , d'où dépend le mouvement du sphéroïde lunaire autour de son axe de rotation.
Si la Lune était un solide de révolution , on auniit B= Â, et par conséquent r= constante. Ce cas n a pas lieu dans la nature ^ mais on peut toujours regarder la quantité B -- A comnîe peu considérable^
a^S THÉORIE ANALYTIQUE
et comme p et q sont aussi très petits, puisque l'observation a prouyë que Taxe de rotation 4e la Lune s'éoarte toujours très peu de ison troisième axe principal, on pourra négliger le produit (B — A).;?^ à cause de la petitesse de ses trois facteurs. La der« nière des équations (a) deviendra donc
^=^',(«^^).sia.(.-^); (3)
L'observation ayant fait voir que la Lune nous présente toujours à peu près le même hémisphère, on en a conclu que son moyen mouvement de dotation est exactement égal à son moyen mouvement de . révolution ; en sorte que si ce mouvement est sujet à quelques inégalités, elles doivent être peu considérables.
Or, si l'on néglige, comme nous le supposons, les quantités de l'ordre fl% l'arc ^ — \ représentera le mouvement de rotation de la Lune autour de son troisième axe principal, mouvement qui serait uniforme sans l'actÎQn des forces perturbatrices. Si l'on désigne donc par u les inégalités qu'elles peuvent y produire , par m^ + c la longitude moyenne de la Terre vue de la Lune et correspondante au temps /, longitude qui est égale à celle de la Lune vue de la Terre plus une demi-circonférence , on aura
et Fangle u jneprésentera la libration de la Lune, ou Texcès de son moyen mouvement de rotation sur son moyen mouvement de révolution. U ne s'agit donc, pour déterminer la libre tion ^ que de connaître
la valeur de Tangle u. Or, il est faeilie d'j parvieBip en introduisant cette nouvelle variable à k place de r dans Fëquation (3) , et en intégrant ensuite Tëqua-tion résultante.
En effets on a, aux quantités près de Tordre 6*^
et par conséquent
Nous fiiisons ici abstraction des inégalités séculaires qui affectent le moyen mouvement de la Lune , parce qu'il n'en résulte aucun terme appréciable dans la valeur de u^ et nous regardons par conséquent m et c comme des quantités coostantes.
L'angle (^ représentant la longitude de la Terre vue de la Lune et comptée à partir du nœud descendant de l'équateur limaire^ i;>.~*>|^ sera la même longitude comptée à partir d'un équinoxe fixe, l'angle '^ devant être compté, comme nous l'avons dit , en sens inyerse de l'angle p. Cette longitude est égale k mt'^c, plu&à une suite de sinus et de cosinus d'angles multiples du maym, mouvement mt ; on aura par conséquent
1; = /Tii + c -f- 4 ■+" ^ 'H sin (A/ + h')f
en représentant par S. Hsin (ht'^h'), les inégalités de V ordonnées par rapport amt.
Celte valeur , comparée à celle de f| -^ 4 , donne
t; — (p -=:-i^^ 2 . H sin (A/ -+• À%
28o THÉORIE ANALYTIQUE
et par conséquent
sin 2(1^— ^)=— sîn su-j-a cos aM.2.Hsîn(A/-f-A') —etc. L'équation (3) devient ainsi ^ en y^ substituant ^r
dr pour gj,
2^===-.^^-^-|8iii aii+;?T.\^-c~).2L.Hco8aii^in(fe+i
L'angle li étant toujours une très petite quantité^ si l'on néglige son carré et ses puissances supérieures ^ on pourra supposer dans cette équation sm2u:=z2U et cos 2uss;i}, de plus^ comme on a, à très peu
prèS; j^ = J9»% l'équation précédente deviendra
^ + im\(j-^\u = 9m\(^^^ (5)
Si l'on fait d'abord abstraction des termes sans u » on satisfera à cette équation en supposant
ii = Ksîn (*« + *'),
^t Ton aura, pour déteirainer k ^
K et k^ étant deux constantes qui demeurent arbi" traires.
Si ensuite on désigne par L sia (ht -f- h'), le terme de la valeur de u qui doit correspondre au terme
5mv(5=^),Hsîn(A^+Â0 de l'équation (5), en y
substituant cette valeur et en comparant les termes
qui ont même sious ou même cosinus, on aurl
d'où l'on tirer
Ainsi , d'après; la théorie des équations linéaires^ la valeur comfJète de u sera
Ket ^' étant les deux constantes arbitraires qui doivent entrer dans l'intégrale finie de l'équation du second ordre (5)> et le signe Z désignant une suite de termes semblables au terme L sin (ht -j^ k^) , et déternlinés de la même manière.
44* Examinons les conséquences qui résultent de cette expression. Le premier terme de la valeur de u restera toujours peu considérable si l'arbitraire K est supposée très petite^ et par conséquent la partie de la Hbration de la Lune qui dépend de l'état initial du niQuvement sera toujours insensible. Jusqu'ici, les observations les plus précises ne paraissant indiquer aucune trace de cette inégalité, il en faut conclure, ou que la constante K était nulle à Torigine du mouvement, ou que du moins son influence a été annulée depuis par l'efiet de quelque cause étrangère. Cette remarque est analogue à celle que nous avons faite dans le n^ 1 3 , relativement à la Terre.
aSi THÉORIE ANALYTIQUE
On a , par ce qui précède , k=m. i/sY ~ ^ ,
m représentant le moyen mouvement de la Lune dans l'unité de temps; la durée de la période de largument dont il s'agit sera donc d'un mois sidéral
divisé par l/S.T ~ \ Nous verrons bientôt que
ce diviseur est une très petite quantité^ et que des observations récentes sur lesquelles on peut compter donnent^ à très peu près^ o.ooiS pour sa valeur. G?tte durée^ dans ce cas^ n'excéderait pas deux années; il sera donc facile , par des obsei^ations faites à des intervalles de temps assez grands pour que la variation de l'angle kt soit sensible , de reconnaître si le coefficient K a ou non une valeur appréciable.
Au reste , il faut observer que ce premier terme de la valeur de u sert à expliquer, par la théorie, comment il se fait que la Lune nous présente toujours le même hémisphère , sans qu'il soit besoin de suppo*ser que la vitesse primitive de rotation , imprimée à cet astre, a été exactement égale à sa vitesse de révolution autour de la Terre, ce qui parait en effet infiniment peu vraisemblable. Pour le faire voir, remarquons qu'en faisant abstraction de l'inclinaison de 1 equateur lunaire à l'écliptique, on a, par le n*^ 4^^
d(p — d^ z=z rdt , '* = 77 — f- w ;
r représente la vitesse de rotation de la Lune autour de son troisième axe principal]; on aura, par suite,
frdt :r= mt H- c -f* ti»
DU SYSTÈME DU MONDE. a83
Celte intégrale exprime le mouvement de rotation «de là Lune ; et comme u n'est composé que de termes périodiques, on voit que le moyen mouvement de rotation etcelui de translation sont parfaitement égaux entre eux, sans qu'il soit pour cela nécessaire que les mouvemens de rotation et de révolution de la lune aient été égaux à l'origine du mouvement. En
effet, en différenciant et substituant pour -j sa valeur, on a
r=«^-/7,K. \/5.(^^\cos{kt+k:)+^.LLcos{lt^ l')
En sorte que comme K est arbitraire, la vitesse primitive de rotation de la Lune peut être supposée quelconque; et il suffit, pour que les moyens mouvemens de rotation et de révolution aient dans la suite toujours coïncidé, que cette vitesse ait été comprise entre
^m}^.yJ^.Q^^ et m— wK. \/5.(^^),
Ces limites sont très resserrées, il est vrai, et elles
éloignent peu de la valeur moyenne /» , à cause
de la petitesse de la constante K et du coefficient
V S*(- A -J; mais elles suffisent pour foire dispar.
raître l'invraisemblance qu'il y a à supposer , à l'origine du mouvement, une parfaite égalité entre le niojen mouvement de rotation de la Lune et son "^oyen mouvement de révolution.
Pour que la libratîon en longitude demeure tou-
a84 THÉORIE ANALYTIQUE
jours peu considérable^ comme 1 observation Tia-* dique , il faut que les coefficiens h, etc., des différens. termes de la valeur de u^ soient supposes très petits^ ainsi que le coefficient K; mais cette condition ne suffit pas , il £siut de plus que les valeurs des constantes k,h, etc., soient toutes réelles ; car autrement quelques-uns des sinus ou cosinus qui entrent dans reiq>ression de u se changeraient en arcs de cercle ou en exponentielles^ et |a valeur de u pourrait croître indéfiniment, ce qui est contre Fhjrpothèse. Les valeurs de k et des autres coefficiens semblables sont réelles de leur nature ; mais pour que celle de k
le soit aussi ^ il faut que "T soit une quantité positive , c'est-à-dire que Ton ait B > A • Or, A est k moment d^înertîe qui se rapporte à Faxe principal de Féquateur lunaire ^^ qui est constamment dirfgé vers ia Terre ; en e£fet , cet axe est cehiî qui forme l'angle ç avec l'intersection ée féquateur lunaire et de Yécliptique^ iandis que la projection du rayon vec- Jmrt mené de la Lune à ta Terre , fbrme l'angle v avec la même ligne. V — ç est toujours ^ par ce qui précède ji un très petit angle; le premier axe princfpal de la Lune est donc toujours, |i très peu près , dirigé vers la Terre ; et il est naturel par coniéquent de supposer que l'équateur lunjaire s'est allongé dans ce sens par l'effet de Vattraction de la Terre, en sorte que le moment d'inertÎQ A, qui se rapporte à Taxe de l'équateur dirigé vers la Terre, doit être plus petit que le moment d'inertie B, relatif aa second axe principal situé dans le même plan.
DU SYSTÈME DU MOKHS. a85
Quant aux coefficiens K^ L, etc.^ comme le premier K est arbitraire, sa valeur peut être supposée aussi petite qu'on voudra ; mais pour rendre en même temps très petite celle de L ^ il faudra supposer une
valeur très petite à la quantité ~^' On voit, en
effets d'après l'expression de h, que ce coefficient pourrait devenir sensible si H avait une valeur assez grande, ou si la valeur de h était peu différente de
w. V ^*( T jf ^ <ï^i rendrait très petit le dénominateur de cette expression.
45. Nous avons désigné par 2.Hsîn(A^-+-A') la somme des termes périodiques de la longitude vraie de la Luné : le premier de ces termes , ou Téquation du centre, est celui quia le plus grand coefficient; en le supposant représenté par Hsin(A^-l-A') , on a, par la théorie de la Lune, H=r32682", h^=m* .0.98517; on aura donc, en vertu de ce terme,
d'où l'on tire
La valeur de L doit être peu considérable, puisque le terme de la valeur de u qui en dépend n'a pu être reconnu par l'observation. Il est probable, vu Id précision des observations modernes, qu'elle n'excède guère un demi -degré ; si Ton suppose donc L;;?::p3a' ou 1920", on aura
s86 THÉORIE ANALYTIQUE
La valeur de B «~ A devant d'aUieurs être néces* saireoient positive^ il en résulte qu'elle est audessous de 0.025575^ et que L est négatif.
Parmi les termes de Fexpression de u qui peuvent devenir sensibles en acquérant de très petits divi* seurs , le plus considérable est celui qui dépend de Féquation annuelle ; il suffira donc d examiner l'effet de ce terme. Si Ton suppose que H sin(fe+ A') représente cette équation, hi-^^K étant ici Fanomalie moyenne du Soleil , on aura ^ par la théorie de cet astre ^ H =669" et A = /ii. 0.0748, et par conséquent A* = m*. o.oo5595; on aura donc, en vert» dp ce terme ,
o.ooSSgS — 3.r — -^ — j
d'où Ton tire
B— A o%ooi865.L C ~ L — 669* •
Puisque les observations n'ont point fait reconnaître le terme de la valeur de u proportionnel à L^ ce coefficient doit être peu considérable; si l'on suppose en conséquence L ss ={= 1920% 'on a«ra
"T =5= o.ooï583i , ~?<~ = 0.0028624* Ainsi, dans le cas de L négatif, les deux limites
de -~- sont zéroeto.ooi383i, et, dans le cas de L
positif^ 0.00286:2 i et 00 ou 0.0028624 et 0.025575 y
pais<}ae nous Tenons de voir que *--^^ ne pouvait
pas dépasser cette dernière limite. Nous verrons
tout à l'heure que la valeur de — ^ — est moindre que
0.0006 ; elle est donc comprise entre zéro et 0. 001 585 1^ et par conséquent L est négatif. Si l'on substitue dans la valeur précédente de L,
pour — = — la dernière limite que nous venons d*as-
signer à cette quantité^ on trouvera ^^ relativement à 1 équation du centre, L= — ^i'^, et relativement à lëqualion annuelle^ L= — 517*. Ce sont les limites de ce coef&cienty et par conséquent celles des argumet)9 qui en dépendent dans la valeur de u. Or, le der-nier arc^ vu de la Terre sur la surface dq 1^ Lwse 9 ne s'élèverait pas à l'^^S; c'est la seule partie dfi la libration qu'on puisse espérer de rendre sensible par les observations ; et si l'on parvenait à la dét^rmi-*
nar , cm en déduirait la valeur de —yr- qui n*ést
pas encore connue d'une manière positive } mais sa petitesse rend cette appréciation très difficile.
MM. Bouvard et NicoUet , par la discussion de 1 74 observations de la libration de la Lune en longitude, ont trouvé le coefficient de l'inégalité dépendante de 1 équation annuelle, de 4'4^"j d'oii l'on conclut
a88 THÉORIE ANALYTIQUE
Si Ton détermine , d après cette valeur , le coeflfi^ cient du terme de u qui dépend de l'équation du centre de la Lune et qu'on joigne ce terme à celui de Véquation annuelle déterminé par. Tobservationy. on aura
M =— 285" sin / — 59* sîn /' ,
/ étant l'argument de l'équation annuelle de la Lune et r celui de son équation du centre.
La valeur précédente de ~ s'accorde avec la
limite que nous ayons fixée à cette quantité^ et qui a été conclue de la libration de la Lune en latitude, plus facile à observer que la libration en longitude. Cependant , il reste encore de l'incertitude sur ce résultat, et il est à désirer que de nouvelles obsei^ations ajoutent à son exactitude.
46. Occupons-nous maintenant du mouvement des nœuds et des variations de l'inclinaison de l'éqùatenr lunaire. Pour déterminer les mouvemens de ce plan, îl faut connaître les angles 4 ^^ 6 d'où dépend à chaque instant sa position par rapport à l'édiptique fixe : of; l'angle ^ est donné en fonction de ip et du temps tf au moyen de l'équation (4) ; il ne nous reste donc à déterminer que les angles 9 et ^. Pour y parvenir f il convient de leur substituer de nouvelles variables qui facilitent l'intégration des équations d'où leurs valeurs dépendent. On conçoit en effet que si Ton choisit * ces . variables de manière à ce qu'elles soient astreintes^ par là nature même de la questioDi Il demeurer constamment très petites, on pourra; dans la première approximation , négliger les termes
DU SYSTÈME DU MONDE. aSg
Quelles se •trouveraient multipliées entre elles ou par leurs différenèeSy et Ton n'aura plus à considérer que des équations linéaires^ les seules qui puissent^ comme on sait, s'intégrer dans tous les cas^ quel que soit le noiiibre des variables qu'elles renferment et le degré de leur différence. Ces conditions sont faciles à remplir dans la question qui nous occupe; car, comme nous avons supposé l'inclinaison 8 de leqnateur lunaire à l'écliptique fixe toujours peu considérable ^ il suffira ^ pour y satisfaire , de substituer aux variables <p et 6^ des variables analogues à celles que nous avons. déjà employées dans un cas semblable, n* 54 , livre P'.
Soient donc
s = tang O.sin ^, s' = tang S.cos ^. En différenciant et négligeant le carré de 0 , on aura
Les équations (a) du n? i donnent
^ = — pcos(p + 7 sm (p , fl.-^ = psinp + ^cos^ +rtang fl.
Substituons ces valeurs dans les équations précédentes j on trouve
de , ds
5 = ^^' + 7; 'j^=^rs—p, (6)
ToMB II, ig
ago THÉ(HIIE AVALTriQUE
d'où , en différenciant , on tire
d's d» fir dq
3? ^m ^ dt ^^ d't*
Si Yon remplace dans ces équations -f- et ^ par leurs
valeurs tirée& des équations {2)^ et qu'on observe qti^on peut supposer r constant et égal à m dans les termes multipliés par les quantités très pelites s et s% et par leurs différences, et qu'on peut négliger par la même raison les différentielles s.j, I dr
rf? ""'^* j^+( "B~ )-'^/^= -^-l -5- l-[flsmi^+ysin(#'-<t)j.cos(f^),
OU bien, en mettant pour/? et y Iwrs valeurs tirées j des équations (6)
d^s /A+B-C\ d//k'C\ ^ 5L /A-C\ rû . ' r . ', \i f .] — — ^— L^ — j.m-2^-^-^-j.7n-s==— .^^— j.psiw+ysin(i/-*)].cos(H])
dV . /A+B-CV ds /B-b\ ,', 3L /B^C\ r. . . -^ ^^ • / .ni
u est la longitude de la Terre vue de la Lune, et rapportée^ àtt tkmiâ descertdanpit de Péqualteur lutiaiire; i, — ût est la même longitude compfée 'du* hteud ascendant de l'orbite lunaire ,1 en sorte que y sin (^— ^) est la latitude de la Terré vue de la Lune, Si loti
'; - '* 'in .
remplace 3 par m* dans ces équations et qu'on oh^
serve que
tang tf sin i^ = tang ê cos Ç sln (v -— ^) -f~ tang êsitkÇ ço8(p •— ^)
elles detieiidirOQt .
X [«'sm(»> — ç) + «oo«(v— f) + j'sin(*'— *)].cos(«' — f),
L angle v — fi etia^t tQUJOur^,^, pa^r e«^ qmr.finéQètlQ^i peu considérable , sm{y — ^) est une très petite quan-> tité dont on peut , sans erreuf seû^lble dans les se-^ conds membres dd ces équatiofi»> n^i^èr le carré multiplié par les quattli^és , trèé jpetites s et s^ ; on
aura ainsi
j? - { — B — y^'-di -^\--^-}'^^^''\r&-)\
47. Occupons-nous d'intégver'Cèkié^uMioûSi S&l'dh^ fait d!abidy|l| 'absl«flpti«ia )dttciàw| sèc^ téBn&kû^^ elles deviennent simplement - '^' f«^'
9yx THÉORIE ANAtTTlQCE
^/ /A-l-R — Ta /& /K r\ H"/
Pour satisfaire à ces équations i supposons
5 = M sin (Z^ +^) , s' =:W cos (fo -ï- h).
Ces valeurs^ substituées dans les équations précédentes^ donnent
De la seconde de ces éqfuations , on tire ~
Y — JE-r \.ml
Cette valeur , substituée dans ]a première , donne
" ■ jA+B-G)^'^.^-' \ •;■ „ ■■ ;
Les équations (9)^ (10) serviront à déterminer les constantes M' et /; les deux autres constantes M et k déPiSuveroDt:acbitcaires>:j(' i) > :cu .n . ^ . • . Si Fon ond0xiJQie Véquatioa^ >( < ^) • f^^ kraf^port i>à ) 1$ on aura :, . .
DU SYSTÈME DU MÔVDE. : aqS
éqoatioa qti'oa- pêuf r^soûd^e ^coxame uiie f ; équation du second' d(;gré^ et qui donnera pour/ deui^ yaletiiis. Désignotis U.premièi^ par. l et la, seconde par /'; on aura , par la théorie des é({uations ^ linéaires , , ...j
s~m sin(A^+f) + Nsin(Z'f + *0^ /= M'cos (It + ;t) +N'cos (Pt + k'),
en supposant , pour abréger ,
ft
Ces valeurs de s et 5' renferment quatre arbitraires, M^ N, k, k^; elles sont donc les intégrales complètes des équations (8).
48. Reprenons maintenant les équations (7). La quantité 5'sin((^— a) représente, comme, nous l'avons dit, la latitude de la Terre vue de la Luné, latitude qui est égale et de signe contraire à celle de la Lune vue de la Terre. Sa valeur peut se développer, d'après les formules du n° aS, liv. II, en une suite de sinus et de cosinus des multiples du moyen mouvement mt ; il en est de même des trois quantités sin i^, sin {y-^) et cos(p — ^)j en substituant donc ces valeurs dans les équations (7) , leurs seconds membres se trouveront composés d'une suite de tiermes semblables , et chacun d'eux produira, dans les valeurs de s et
394 THÉORIE AHAUTIQUB
t\ ui^ Xerjne correq>on4ant qu'oa déteno^oera de k npianière stii^ante :
Soit Hsin(A^ -f- A') un terme quelconque du développqinent de [/8m(<'-^)4'>'SÎii(f» — ce)].cos(i'— p), ht désignant ioi tni multiple quelcooiqQe de mt^ et H et K éi^nt des fonctions données des élémens de l'orbite lunaire j et soit H' cos {ht -f- V) le terme du déyeloppement de [«cos(f^-4))-^^sin(^'-a}].sÎIl(l'-^) qui lui correspond ^ c'est-à-dire qui a même argu^ ment ht^ on aura, en ne considérant que ces termes.
On satisfait à ces équations, en supposant
s^V sm{ht+ V), s' = F cosQu + V).
Si l'on substitue ces valeurs daw l^ équaW précédentç^ , Qn trouye , pour déterminer P et ?';
d'^où l'on tire
DU SfSTtME DUMORDB. ^^
eu faisant pour abréger >
Chacun des termes des produits
[/sin (^ -^^)+> W!i (»^ --*•*)]. cos ((^ — ^) et
[s cos (p. — <p) +7 siu (i^ — a)2# sin (i' — jp)
introduira dans les valeurs de s et s' des termes seniH' blables, et Ton aura les valeurs complètes de ces quantités en prenant la somme de tous ces termes ^ et en jr joignant les valeurs de s et s' qui ont lieu lorsqu'on Suppose nuls les seconds membres des éiqua* tiens (7). On trouve, de cette manière , ^
s =M sin(//+A)+N sin(l't-\-k')-i-Psia(ht-\-h')-i-etc. , i'=M'cos(Zf-f.;fc)H-Ncos(/'<4-;t')-HPcos(AH-^')+etc.,
M; N, A:, k' étant des constantes arbitraires.
49. Ces valeurs satisf^ùff auix équations (7)datiâ^ touW leur étendue ; elles doivent donc renfermer fe lois de la précession des équinoxes lunaires et de la nutation de son axe de rotation. Mais ayant é'etk «sliniiner les conséquences, il est bon de faire quelques ûWnmtions ^lû «a r^tr^iiulront la généralité.
Nous avons dît, uf^^S, qiie ■ était toujourà
une quantité très petite ; on verra bientôt qu'il en est
<ie même de —^^ en sorte que sî Ton fait
;— 'ÏSQ 4 p ■ *— JC — ^5' i^.f . / . ..
ag6 THÉORIE ANALYTIQUE
ce qui donne A = C.(i — t) et B:=sC.(i — i*) , i et i' seront de très petites quantités dont on pourra négliger les carrés et le produit. Si Ton substitue ces valeurs dans Téquation (ii)^ elle devient
équation qui donne , en la résolvant par approximation,
On tire de là ces deux valeurs , /• = m* + 5ww* et Z* = ^iHm^i on aura donc^ en prenant pour Z et Z' les deux racines positives de ces équations ,
Z = m-|-|i/ii; V 's=i:im\/iï ^
ou bien , en remettant pour i et î' les valeurs que ces lettres représentent ,
Ces valeurs substituées dans les équations (12) donneront y en observant que i et i sont de très petites quantités ,
Les valeurs de s et s* deviendront ainsi
*=Msm(//+ft) + Nsin(n + ft')+P8in(Af-hA')+etc.
Si^ dans une première approximation , on néglige dans les équations différentielles (7), les produits de l'angle p — - ^ par les quantités s ^ s' et y y le second membre de la première de ces équations se réduira à 5/w*.^— ~— \5.sin((^— a)etceluideladeuxîème
à zéro ; Hsin(A/ + A') + etc. représentera donc dans ce cas la latitude de la Lune développée en fonction des sinus et des cosinus du moyen mouvement mL Le terme le plus considérable de cette valeur est celui qui dépend de l'argument de la latitude : en ne considérant que ce seul terme et en le supposant représenté par H sin(A/-f- A'), on aura les valeurs qui en résultent dans s et s% en faisant H'=o dans les équations du n° ^8, d'où l'on conclura P et P' ; les valeurs de s et s^ se réduiront ainsi aux suivantes :
s = M sîn {lt+ ft) + N sin {tt + k') 4-P sia {ht + h') ,
»' =M cos (/« + it ) + a . \/^^.lXcos{rt+k')+Vcos(ht+k').
5o, Examinons maintenant ce qui résulte de ces intégrales par rapport aux déplacemens de l'équateur lunaire.
On a, parle n^ 4^,
s = tarig ô sin ^ , ^' = tang ô cos (p , d'où Ton tire
tang ^ = -. , tang fl = s/s^ + s^*.
3g8 THÉORIE ANALYTIQUE
Si y à la place de ^ et ^-^ oa substitue leurs valeurs; on aura ainsi
Msin(/H-ft)+Nsîn(r/4-it')+Psîn(Ae+A0
Mco8(/t4.ft)4.2. Y/|-~.Iîcos(rt+*')+P'cos(A«+À') '
et en supposant pour abréger
il est aisé de voir], n® 66, livre II, que la valeur précédente pourra prendre cette forme
tangC^ — Ait-y) =
P+Mcos[(/. ft)^+/j-ft']-|.Lcos[(/-A)t+ifr'-A^+Kcos[(/HF^)«+^'+^'
Si rou suppose d'abord nulles les deux constautes M et N , cette équation donnera
(pz=ht + h! on ^ = i8o** + ^f-f- A',
selon que P sera une quantité positive ou négative. Voyons quelle est celle de ces deux valeurs qui s'accorde avec les observations.
L'angle /wi+ c+4 ^^^ '^ longitude du rayon vecteur mené de la Lune à la Terre , comptée à partir du nœud descendant de l'équateur lunaire; I So*" + A/ + ^' est l'argument de la latitude de la Lune , et par conséquent A^+ A' la distance de la Terre au nœud ascendant de l'orbe lunair^^ mt-jr^-^ ^^ht — A' exprime donc l'angle compris entre lencenci ascendant de l'orbite et le nœud descendant de Tequateur de la Lune. Or, on a, par ce qui précède ^
DU STSTÉKE JXt MOVBE. ag^
pz=:kt^h' et ^'^'^z=mi'\'Ç+u,
u étant une très petite qnantil» qai exprime la libra-^ tion de la Lnne eu longitude , et qiii n'est conaposee que de termes périodiques. Si l'on^ néglige ces termes^ on aura
d'oii il suit que le lieu moyen du nœud descendant de réquateup de la Lune coïncidera exactement avec le lieu moyen de Forbite , résultat qui s'accorde avec la théorie fondée sur les observations faites par Cassini et répétées ensuite par Mayer et Lalande. Dans le second cas , on a
on aura donc
m/ + c+>j/ — ht — A'= i8o*,
et le nçeud ascendant de l'équateur lunaire coînci*dera par conséquent alors avec le nœud descendant deTorbite. Ce cas pourrait, comme on voit^ avoir également lieu; il suffirait pour cela que P fût une quantité négative; mais comme le premier résultat s'accorde exactement avec les observations^ il faut en conclure que lai v^tleur de P est positive.
Considérons actuellement l'expression générale de taiig(^ — hi-^k). l\ est aisé de voir que l'angle ? -^ At*^ À' ne pourra jamais aU;eindre l'angle droit en plus ou en moins, si le dénominateur de cette: expression est constamment de même signe et plus
3oô THÉORIE ANALYTIQUE
grand que zéro*. En sorte qae <p sera dans ce cas égal à ht'\^h' plus ou moins un angle toujours moindre que go^y et par conséquent la valeur moyenne de ^ sera encore alors ht^h'. Si^ au contraire , ce dénominateur pouvait devenir nul^ la valeur de tang((p — ht — N) deviendrait infinie; l'angle (p — ht — K dépasserait alors go"", il pourrait même , par la suitCi devenir égal à une ou plusieurs circonférences, et il ne serait plus possible par conséquent d'assigner daqs ce cas aucune limite à ses accroissemens.
Or , les observations ayant fait voir que le nœud descendant de l'équateur de la Lune ne s'éloigne jamais que très peu du nœud moyen ascendant de son orbite, et qu'ainsi cp — ht — K est toujours un angle peu considérable, il en résulte que l'expression
ne doit jamais devenir nulle, quels que soient les dJOrgles (/— A)^+A: — A', etc., ce qui exige que cette quantité ne change pas de signes, et que par conséquent la valeur de P soit plus grande que la somme des coefEciens M, L^, K, abstraction faite des signes de ces quantités. Nous avons vu que lorsque M, L, K sont nuls, P doit être une quantité positive; il faut donc, dans le cas général, que P ait une valeur positive plus grande que la somme des valeurs de M, L, K, pour que (p — ht — h' soit un angle toujours moindre que l'angle droit; et il faut en outre que les quantités M, L, K, et par conséquent M et N; soient très petites par rapport à P , pour que l'angle
DU SYSTÈME DU MONDE. 3oï
(f — ht'-^K soit toujours fort petit, comme robservation l'indique. Or.^ comme M et N sont arbitraires, cette dernière condition est toujours facile à remplir, et doit étpe considérée conune une donnëe fournie par les observations.
Si l'on fait ^-rr^ht-r-h^ss^, en sorte que ^r=A^+A'+Ç, on aura '
*^z=s(P'. — mt-^c — u=:M'^h' — mt — c — w+Ç
pour la longitude du nœud descendant de l'équateur lunaire. Or, mi+c — ht^^^hl est le lieu moyen du nœud ascendant de l'orbite ; on aura donc le lieu yrai du nœud descendant de l'équateur lunaire , en retranchant le lieu moyen du nœud ascendant de Torbite de l'angle Ç — u^ u étant la libration réelle de la Lune en longitude, et Ç' un très petit angle déterminé par l'équation
Conàidérons maintenant l'expressioïi de l'inclinaison de récjuateur lunaire sur l'écliptique fixe. Si l'on ajoute les icarres des valeurs de s et s% en observant
que
N = K + L et .2.y/|^.Nt=sK— L, on aura
=P*4.M*4.L*+K»+2.MP.cos[(/-A)^4.A-y]±:2.ML.cos[(/'-/)t+i-A]
3ol THÉORIE ANALTTIQCB
Nous venooft de y dit que pour que ^-^^^kt^-^h! soît constamment un trè$ petit angle^ lef) collantes M^ L et K doivent être très petitei^, par rapport à P; rinclîtiaison 6 est donc, à très peu près/cons-* tante et égale à P. Ainsi donc ^ la eolactdenee des nœttds de l'équateur et de l'orbîte lunaire et Pmyafiabilité de l'inclinaison du premier de ces plans à récliptique ne sont pas deux phénomènes isolés dans le système du monde ; ils résultent l'un de l'autre par la théorie de la pesanteur > comûie ils sont donnés simultanément par robservatioui
On voit^ par ce qui précède et par ce que nous ayops dit u"" 44> 9^^ ^^^^ ^^ théorie de la libfatioo de la Lune^ on peut regarder ^^omme uulUs^ lou du moins comnoe iûsebsibles^ les constantes arbitraires qoi dépendent de Fctat initial du mouvement. Nous savons remarqué semblablen^ent , dans le n"" i3^ que les observations les plus précises n'indiquaient, dans le mouvement dé l'équateur terrestre, aucune inégalité dépendante de la mêniie cause; Ce résultat doit sans doute être étendu à toutes les planètes; et Toa conçoit en effet que l'influence de l'impulsion primitive qu'ont reçue les corps célestes, içur Iç^ pçirturba* tions de leur mouvement uniforme de rotatiod autour de leur centre de gravité, a du être depuis long-teknps anéccntie par les frottemebs^ei ler résistances qu'ils éprouvent; en sorte qu'il ne subsiste plus aujourd'hui que celles qui ont une cause permanente.
5 1 . Nous^ âllous maîntenaut repretulre epi ' défoiliës différens termes des expreHsioHjs g)énéra}ési dej^et /
DU SYSTÈME DU MONDÉ. 3o3
et en déduire^ comme nous l'avons fait relativement à Texpresskm de la libration en longitude^ les données qu'elles fournissent sm*' la constitution du sphéroïde lunaire. Il est évident d'abord que pour que les valeurs de s et s^ demeurent constamment très petites^ ^omme les observations l'indiquent, il faut que léS coefficietts M , N , M', N'> P et F soient très petits; et que de plus, les coefficiens /, /', hf etc., soient réels. Or, les quantités h, etc., sont réelles de leur nature; mais pour que les valeurs de / et P le soient aiissi , il faut qUe les racines de ré** quation (lo) soient non-seulement réelles, mais encore positives , ce qui donne les trois équations . de condition suivantes :
(AH-B— C)*— 4.(A— C).A— (B— C).B>o,
(A+B-CJ^-4.(A.C).A+(A-B).B>i6.(A-C).(B-CJ.AB^
Si Fune de cea conditioms n était pas satiisfaite , les valeurs de s et.s- renfermeraient le temps t hors des signes sinus et cosinus, et pourraient augmenter in-> défmiment ,. ce qui est contraire aux phénomènes observés* La* dernière montre que le produit (A— C)*(B-*t4G) doit toujours être positif, ce qui exigea que (Isôit'Ie< plus grand ou le plus petit des trois dioasiens d'inertie .A, Bf C^ Or^ €• e^le tàth*. ment d'inerâd qui se rapporte ^ 'au troisième axe principal de la Lune , celui autour duquel elle tourne; il est donc naturel de supposer qu'il est plus grand que les momens d'inertie A, B, qui se rapportent aux axes principaux situés dans réqùateur,
3o4 THÉORIE ANALYTIQUE
puisque la Luue a dû nécessairement s*aplatir dans le sens des pôLes par l'effet du incavement de rotation. Nous ayons déjà Vu^ ni* 44^ 9[^^ ^ — A doit être une quantité positive pour que la libration de la Lune en longitude soit toujours peu considérable; C est donc le plus grand , et A le plus petit des trois momens d'inertie du sphéroïde lunaire.
Sa. Reprenons les équations (S), n"" 46 ; en remarquant que CL est un fort petit angle, on peut les écrire ainsi :
d^J (A+B-C), ds /B-C\ 3L/B.C\,-, ^ . , ^ . , ^ -g- j — ^•'^■"\"Â"y*'^ * —'^ ^-^j.(9+>')-8in(i^*).sin(i^).
Les seuls termes de ces expressions qui puissent devenir sensibles sont ceux qui dépendent de l'argument moyen de la latitude, à raison de leur grandeur^ et ceux qui acquièrent par l'intégration de très petits diviseurs, circonstance qui peut les rendre considérables, quoique très petits par eux-mêmes. Voyons ce que deviennent dans ces deux cas les quantités que nous avons désignées généralement par F et F^ Si, dans une première approximation, on né' glige les. termes des seconds membres des équations précédentes qui dépendent des . angles 0 et (^— -4> qui sont de très petites quantités , le second membre de la première des équations (iS) se réduit à .
et celui de la seconde à zéro.
DU SYSTEMS DU MONDE. 3o5
On a vu, n* 48 > que ysin{i^ — a) représente la tangente de la latitude de la Terre vue de la Lune , et a la longitude du nceud ascendant de l'orbe lunaire comptée d'une ligne fixe. Ce point a un mouvement rétrograde sur le plan de l'écliplique fixe, et en désignant par — amt'^g la partie moyenne de ce mouvement qu'il nous suffira de considérer ici, et substituant pour i^ la longitude moyenne ml + c de la Terre vue de la Lune , on aura
5'SÎin(p — ol) = 3^sin[(i +a)mi+ C].
Nous avons représenté, n° 48 > par X. Usin (ht -^ h') la somme des termes périodiques du second membre de la première des équations (7); en supposant donc que Hsin(A^-l-A') est le terme de cette suite que nous considérons , on aura
«étant une très petite quantité dont on peut négliger le carré. Si l'on substitue cette valeur de h dans D, et <lu'on néglige les termes de l'ordre a*, on pourra lui donner cette forme
AB
[2Ca+3 . ( A— C)] . m*— 6A . (-^ . am^.
On peut négliger le dernier terme de cette expression^ ^ cause de la petitesse de ses deux facteurs , et en disant H' = o dans les valeurs de P et F^ on aura, ^ très peu près, ,
• ^aCcr-3.(C— A)'
