CHAPITRE PREMIER

Formules générales pour déterminer lés attractions des sphéroïdes dejîgure quelconque.

I • Soit dm l'un quelconque des élémens du sphé-

rôïde ; nommons / sa distance au point attiré ; j;

exprimera Faction qu'il exerce sur ce points et en multipliant cette expression par les cosinus des angles que forme la droite/' avec chacun des axes coordonnés, on aura les trois composantes de cette force, respectivement parallèles à ces ax€S. Soient ^,^, 2, les coordonnées de l'élément dm , rapportées à trois axes rectangulaires passant par le centre du sphéroïde ^ et a, b, c les coordonnées du point attiré relatives aux mêmes axes , on aura

/= v/(a- xy + (b -yy +{0- z)\

On peut regarder l'élément dm comme un petit parallélépipède rectangulaire dont les dimensions sont dx, dfr, dz; en nommant donc f sa densité, f étant une fonction des coordonnées x\ y j z runable suivant une loi quelconque , oh aura ' * .

DU SYSTÈME DU MONDE. 32i

dm s=: fdxdjdz.

Cela pos^y désignons par À^ 6, C les attractions exercées par le sphéroïde parallèlement aux axes des Xj des^ et des z^ et dirigées vers l'origine des coordonnées, on aura

-fSh

jJJ C(

les triples intégrales se rapportant aux variables XfY^ z, qui fixent la position de tlm, et devant setendre à la masse entière du sphéroïde.

On voit par ces formules que si l'on désigne par V la fonction qui exprime la somme des élémens <lu sphéroïde, divisés respectivement par leur distance au point attiré , en sorte qu'on ait

les intégrales devant être étendues à la masse enfaère du sphéroïde , la fonction V aura cette propriété remarquable^ que ses trois différences partielles, prises par rapport aux coordonnées a, b, c du point attiré, donneront immédiatement les valeurs de A, B, C. En effet, les intégrations n'étant relatives qu'aux coordonnées x^jr^z, on a évidemment Tome IL ai

3%2 TBÉCÏRIE ANALYTIQUE

^ dV j. dV ^ dV

Si la valeur de V ëtait coom^e, od aurait dooci par une simple différeatiatioa , celles de A^ ^, C. Généralement , pour avoir l'attraction qu'e^^erce le sphéroïde sur le point attire parallèlement à une droite quelcopque , il suffira de regarder Y comme foDCtion de trois coordonnées rectangulaires dont l'une soit parallèle à cette droite ; le coefficient de la différentielle de y, relative à cette coordonnée et prise avec un signe contraire, exprimera l'action qu'exerce le le sphéroïde parallèlement à la droite donnée ^ et dirigée vers l'origine des coordonnées.

j>. La fonction Y jouit encore d'une plropriélein)po^ tante , c'est que » on la différencie une seconde fois, par rapport aux coordonnées a, b, o et qu'on ajoute le9 codficiens de ses trois diflerences partielles , cette somme sera constamment égaleà^éro. En effet , en reprosentanty comme précédemment , par y la foBC^

tion [(a — xy-jri^ — ^7)*'H"(^ — ^YYf ^^ ^^^a

çdxdydz

l'intégration devant s'étendre à la masse entière du sphéroïde. Les signes / n'étant relatif qu'aux variables a^fjr,z,il est évident qu^on aura

DU SYSTÈME DU MONDE. 3ft3

Or y en difierencîant deux fois la valetir de ^^ on trouve

f ^{x—ay—{y—hy—{z—ef

rf«.i

d'où l'on tire

(f.4 1^*4 rf^.4

da^ ^^ db^ ^^ de

on aura donc, par conséquent,

Al» ^^ db* ^^ cfc*

Cette équation remarquable a été découverte par Laplace , qui en a fait la base de sa belle théorie de la figure des corps célestes. Elle a lieu rigoureuse-^ ment toutes les fois que le point attiré est situé au dehors du sphéroïde ou dans l'intérieur d'un sphé« roïde creux ; mais elle cesse de subsister lorsque le point attiré lait partie de la masse du sphéroïde, parce que, dans ce Cas> la distance y devenant nulle

entre les^ limites de l'intégrale 1 -y , la sonsèoie des

trois différences partielles de -^ se réduit à la formse

3a 4 THÉORIE ANALYTIQUE

de -^ ^ et elle n'est plus nulle par conséquent pour toutes les valeurs de o:^ /, z. M. Poisson est le premier qui ait fait remarquer ce cas d'exception de l'équation (i).