Pour déterminer dans ce cas la valeur de la fonc

tion -i-j + -jr^ + -j-^ , supposons une sphère , décrite de l'origine des coordonnées et d'un rayon quelconque, qui embrasse le point attiré et soit comprise tout entière dans le sphéroïde. La fonction Y se partagera alors en deux parties U et U', la première relative à la sphère, la seconde à l'excès du sphéroïde sur la sphère. Le point attiré se trouvant situé dans l'intérieur de ce sphéroïde , la fonction

-5— + "5^ + -3-r sera nulle, dapres ce qui précède ; on aura donc simplement

J^'V d'V d^Y d^U d^V d^V da^ "*" db^ "*" rfeV"" Ai* "•" ii» "*" de* *

^ , ^ . .^, du du dU

Or , les trois quantités -j-, ^ , -^ , prises avec un

signe contraire , représentent les attractions qu'exerce la sphère sur le point dont les coordonnées sont^, bp c, et qui est intérieur a sa surface; on trouve, dans ce cas, par l'intégration directe, n^ 19, livre I",

dîU ' ^w^a dU ^'JFçb dU 4^^ .

~^~"T"' ~rfï~"T"' ~"S~"1"'

7t désignant la demi-circonférence dont le rayon est Funité, et f la densité du sphéroïde. En différencialîl les valeurs précédentes^ on trouve qiie la fonction

DU SYSTÈME DU MONDE. 3b5

rf? ■*" rfï^ + "5? ®** ^8**^® a — 4irf j on aura.doûc

^• + 3F + lfc^==-4'^^^ (^)

Nous avons supposé dans ce qui- précède le isphéroïde homogène ; mais cette équation subsisterait encore pour les sphéroïdes hétérogènes, composés de couches très minces superposées les unes aux autres, pourvu qu'on y substitue pour f la valeur de la densité qui convient à la portion du sphéroïde où se trouve le point attiré. En effet, on peut alors regarder le sphéroïde comme composé de trois parties, la couche qui comprend le point attiré, et les couches qui l'enveloppent ou qui sont au-dessous dé lui. Ces deux dernières parties du sphéroïde n'influent pas siir le second membre de Féquation (3) ; cette équation subsiste donc, puisque la partie restante forme un sphéroïde homogène dont f représente la densité. Le même résultat peut aisément s'étendre à un sphéroïde dans lequel la densité varierait d'une manière continue. Concluons donc que les équations (i) et (2) ont lieu pour des sphéroïde^ de forme, et de densité quelconques : la première , toutes les fois que le poînt attiré ne fait pas partie de la masse du. corps ; la seconde, dans le cas contraire.

4. On peut, par une simple transformation des coordonnées a, b, c, donner à ces équations d'autres formes pips commodes. dans diverses circonstances. Suppo-^ sons, par exemple, que l'on désigne par r le i^ayon laené de l'origine des coordonnées au point attira.

32i6 raÉORIE ANALYTIQUE

par 0 l'aQgle <]ue forme ce rayon avec Tan des axes coordonnés, avec l'axe des x par exemple, et par €ê l'angle que forme la projection de r sur le plan des Xf z avec Taxe des jr; on aura

a=c:rcos9| ^=;rsin^cos«»> c osi* sîa d sîa ^. (3)

Nommons r', ô', «', ce que deviennent r^^ 6, o», par rapport à l'élément dm ; on aura de même

vrsirr'cosô', /Œr'sinô'cosi»', «ea/sinô'riïidfc*'; de là on tire

fi=x \/r»—2rr'.[cos9co99'+sinesine'cos(ûi— »')]+'''*•

On peut d'ailleurs considérer dm comme un petit parallélépipède rectangulaire, dent les trois ^mensîons sont^2r', ji^^\ r' sin ^^dcù'y et dont la densité est/; l'expression de V deviendra donc ainaî

Vrrn f/^dr sîn ifMcUi

JjJ V/r*— 2r/.[co89cos«'+MnÔ8Înô'cosC#-^7)]+/*

l'intégrale relative à y devant être prise depuis /=o jusqu'à la valeur de / à la surface du sphéroïde; IIQ" tégrale relative à 0» depuis ft=xo juscp'à 8= «tt, et l'intégrale relative à a>, depuis û)=:=o jusqu'à û»=2^; en représentant toujours par 7t la demi-circonférence -dont le rayon est l'unité.

Si Ton désigne par A,B,Cles trois composantes de 4'acti(m du sphéroïde sur le point attiré : la première limgée suivant le rayon r; l'autre, suivant une perpendiculaire à ce rayon, menée dans le plan defl; b

DU SYSTÈME DU MONDE. ^f

troisième, suivant une perpendiculaire à ce plan ; d'a« près ce que nous avons dit n"" i , on aura

dV ^ dV ^ dV

dr ' rdè ' r sin êdt»*

Ces diverses formules sont de la plus grande utilité dans la théorie des attractions des sphéroïdes, où Ton est sans cesse obligé d'etnploye^ les coordonnées polaires pour rendre les inté^ations praticables.

Cela posé, des équations (3) on tire

On transformera , au moyen de ces valeurs, les différences partielles -^ , ^ , -j^ , en différences partielles relatives aux variables r, ô, û)^ et ou les substituera ensuite dans l'équation (i). Pour ÊMÛliter cette opération , observons que si Ton regarde Y comn^ fonction des variables a^b,Cf et ensuite comme fon(>tiondâs Variables /-, 6 et »^ on aura

équation qui doit devenir identique, en y substituant pour dr^ d^p da>, leurs valeurs tirées des équations (4). Si, après avoir opéré cette substitution, on compare les coefficiens de da, db,dc, dans les deux membres, on trouvera

dT û ^ ^^^ ^V

da dr r dd

dV . A ,dV , cosdcos« ûTV sin* dV

tf^ ar r dé r sm é (Ut

dV . A . dV . cos9sin« rfV , oos« cîV

de dr ' r dé * rsm6 oiv

On différenciera de nouveau ces expressions par les mêmes procédés , et Ton aura ainsi les valeurs de

aF ^ If? ' Z^ ®^ différences partielles de V, prises

par rapport aux variables r, 6, m; ensuite en multipliant par r* réquation (i)^ on la transformera aisément dans la suivante :

d'V . cos é c/V . I d'Y , d\r\ , J

selon que le point attiré fait ou non partie du sphéroïde attirant. '

* L'équation précédente résulte d'ailleurs directement de la différentiation de la valeur de V exprimée en fonction des variables r, Q , a>; elle est souvent employée dans la théorie des attractions des sphéroïdes. 5. Pour en montrer Fusage dans un cas trèssimjde; supposons que le corps attirant soit une sphère , ou phls généralement un sphéroïde composé de couches concentriques y d'une densité variable suivant une loi quelconque du centre à la surface , en sorte que k densité / dépende uniquement de la distance de l'élément dm au centre de la couche. Plaçons l'origine des coordonnées à ce centre, et soit r sa distance au point attiré , il est clair que V sera une fonction de r indépendante des angles 6 et eo; Téquation (5) se réduira donc à la suivante :

Considérons d*abord le cas où le point attiré ne fait pas partie du corps attirant. En multipliant par r et eh intégrant Téquation précédente , on aura

rfV A

A étant une constante arbitraire.

dY Pour la déterminer^ observons que — -^ exprime ,

n"* ly l'attraction de la couche sphérique sur le point attiré parallèlement au rayon r, c'est-à-dire l'action totale de cette couche. Si l'on suppose le point attiré extérieur au sphéroïde et situé à une distance infinie de son centre, l'attraction de la couche sur ce point sera évidemment la même que si toute sa masse était réunie à son centre; en nommant donc M la masse delà couche> on aura dans ce cas Â=M , d'où l'on conclura généralement

dr ^^ f ^

c'est-à-dire que la coiiche sphérique exerce sur les points extérieurs à sa surface la même action que si toute la masse était réunie à son centre.

Si le point attiré est situé dans l'intérieur de la couche, l'attraction doit être nulle en même temps que r, c'est-à-<iire lorsque le point attiré se trouve au centre même du sphéroïde; on a donc dans ce

cas A==o,et l'on en conclura généralement — -j-=:o^ quel que soit r. D'où il suit qu'un sphéroïde composé

3âo THÉORIE ANALYTIQUE

de couches sphëriques homogènes et concentriques n'exerce aucune action sur les points intérieurs à sa surface*

Supposons maintenant le point attiré compris dans la masse de la sphère dont il subit Faction ; Téquation (5) devient alors

^+r- j7 = — 4^''- Si Ton multiplie les deux membres par r*, on aura

d'où Ton tire , en intégrant ,

B étant une constante arbitraire.

Pour la déterminer, observons que s'il s'agit de connaître l'attraction d'une couche sphérique sur un point de sa masse, les intégrales doivent être prises depuis la valeur de r qui répond à la surface intérieure de la couche , j usqu'à sa valeur relative au point at-^ tiré. Or, à la première limite, l'action de la couche est nulle; on a donc généralement B=o, et par conséquent

— r* ^ = 45r •/pr*rfr. (6)

Le second membre de cette équation, les intégrales étant prises dans les limites précédentes , exprime la masse de la couche sphérique qui agit sur le point attiré. En désignant donc par M' la portion de h couche sphérique comprise entre la stirface intérieure

et la surface sphëriqae passant par le point attiré , on

aura

jrfV M'

valeur qui s'accorde avec celle qui se rapporte aux points extérieurs, lorsqu'on suppose le point attiré situé à la surface de la couche.

Si le sphéroïde était homogène, l'équation (6) donnerait, en l'intégrant,

C étant une constante arbitraire.

Supposons le point attiré placé dans Fintérieur de la sphère dont le rayon est a; il faudra, pour étendre Imtégration à toute la masse du corps attirant, prendre les intégrales précédentes depuis r= o jusqu'à r=ia. Or, k cette dernière limite, la valeur de y est égale à la .masse de la sphère divisée par la distance du pomt attiré à son centre, c'est-*à-dire k

y.a^; on aura par conséquent alors

En déterminant donc, au moyen de cette équa*> tion , la valeur de C , on aura , relativement à la sphère entière et à un point placé dans son intérieur,

Ces résultats sont conformes à ceux que nous avons trouvés par ime autre voie , dans le n* j 9 du livre !•'.

33a THÉORIE ANALYTIQUE