CHAPITRE IL

Attractions des sphéroïdes terminés par des surfaces

du second ordre.

6. Les formules que nous ayons développées dans le chapitre précédent sont générales ^ et s'appliquent à toute espèce de sphéroïdes^ quelles que soient leur Dâ* ture et leur figure. Nous allons , dans celui-ci y nous occuper en particulier de la détermination des attractions des sphéroïdes terminés par des surfaces elliptiques*

Supposons^ pour simplifier^ que le corps attirant soit homogène^ et que sa densité soit égale à lunité; on aura /= i , et les formules (A), n** i, deviendront

A = fff fc

— x) . dxdydz

+ib-yrMc-^yi^'

p PPC [c—z).dxdydz

JJJ [(«-*

y+(b-yy\+{c-^''Y]^'

le^ iii^égrales / se rapportant aux trois variables

a:, j, z,' et devant s^éteadre à la masse entière du sphéroïde.

Mais l'intégration des expressions précédentes est absolument impossible sous cette forme; tout ce qu'on peut faire, c'est d'en éliminer l'une des variables, et de les ramener ainsi à des intégrales doubles. En effet, si l'on intègre la première par rapport à a: , qu'on désigne pardbor, la double valeur de or, tirée de l'équation de la surface qui termine le sphéroïde, et que, pour abréger, on fasse

f=:^^a—x,y + (b—yy + {c—zy,

ç' = v/ca + x,y +{h—jry ^ (c - zy ,

Ëa intégrant la seconde des formules (a) par rapport SLjr, et la troisième par rapport à z , on trouverait, pour B et C, des expressions semblables. Mais on tenterait en vain de pousser plus loin les intégrations , on serait arrêté par des obstacles insurmontables, même dans le cas le plus simple, celui d'un sphéroïde terminé par une surface sphérique;

7. Pour éviter cette difficulté, il faut transformer les coordonnées x, j, z en d'autres variables qui facilitent l'intégration des formules (a), ou permettent du moins de. la ramener à de simples quadratures. Ce qu'on a imaginé de plus commode à cet égard ^ c'est de. transporter au point attiré l'origine des coordonnées , et de prendre pour les variables qui déterminent la position de ^/n ,' le rayoïs mené du

334 THÉORIB ANALYTIQUE ,

point attiré à cet élément , l'angle que fait ce rayon avec l'un des axes coordonnés , et l'angle que forme sa projection sur le plan perpendiculaire à cet axe avec Fun des deux autres axes compris dans ce plan. Soit donc r ce rayon ^ 6 l'angle qu'il forme ayec l'axe des x , et mr l'angle compris entre sa projection sur le plan des^^ z et l'axe des x^ on aura

as=u^^rcos 9, jï=A— rsin fl cos ftsr, z=^c — rsinÔ sin<z0*.

L'élément dm peut être considéré comme un petit parallélépipède rectangulaire ^^ dont les trois dimensions sont dr^ rdQ, et rsmAdc»; on aura donc dm = r* sin 6 • drd^dm , et les '|rois quantités A^ B^ C deviendront, par cette transformation,

h, z=ijjfdr.d^.d()ù. sin O.cosO, hrssfffdr.d^.deê.svûL^^.co^fSïp CssjJT'^-^'^û^-sin* 6.sin<29^.

L'intégration de ces formules relativement à la variable r s'exécute sans peine ; mais , pour étendre l'intégrale à la masse entière du corps attirant, il faut distinguer deux cas , selon que le point attiré est situé dans l'intérieur ou au dehors de ce corps. Dans le premier cas, la droite qui passe par le point l^ttiré, et qui se termine à la surÊtce du spiiéroïde^ fi^t divisée en deux parties par ce point : en nom' %Ba^t donc r et / ces parties, elles devront être prisses pour limites de l'intégrale définie , qui sera égide à la aomiiae des deux int^prales particulières qui \wx correspondent. On aura; donc ainsi

B =)5r(/.+r').£fô.rf^.sîn*ô.cos^, \(c) C =y7'(r+r').rf9.^^ .sm^9.sîn^ar. J

On remplacera dans ces expressions r et / par leurs valeurs tirées de Féquation du sphéroïde , et Ton intégrera ensuite successivement par rapport à 9 et à o^ depuis 9 et 6) égaux à zéro, jusqu'à 9 et «z?* égaux à deux angles droits.

Dans le second cas , le rayon qui part du point attiré et qui traverse le sphéroïde rencontre sa surface en deux points. Soit r ce rayon à son entrée dans le sphéroïde, et / ce même rajon lorsqu'il en sort, rintégrale définie sera égale à la difierence des deux intégrales particulières correspondantes à ces limites ; on aura par conséquent dans ce cas

A=3j[jr(/— r).iJô.tftz5r»sin6.co8 6, B=j^(r'— r).«».flfar.sin*6.cos«r, ^(d) C =/f(/ — r).^9.^isr.sin*9.sinc8'.

On substituera pour r et r' leurs valeurs en fonction de 9 et â) , et Ton prendra pour limites des intégrales relatives à ces angles Leurs valeurs correspondantes aux points où Fon a r'— r=o, c'est-à-dire où le rayon r est tangent à la surface du sphéroïde.

Supposons maintenant que h , h% K' soient les trois demi-^xes respectivement parallèles aux axes des a: , des jr et des z de l'dlipsoïde dont nous considérons les attractions. L'équation de sa surface , rapportée à son centre , sera

^a + ^ + j;ni= I y {m)

et sa masse sera égale à ^ . Wh'^ en nommant ^ le

rapport de la circonférence au diamètre.

Transportons l'origine des coordonnées au point attiré^ et introduisons dansréquation(/ra) les variables r, 9, <sr; en substituant pour Xjjy z leurs valeurs données dans le n** précédent y on aura

. /cos*^ , sin'écosV , sin'ésiiiV^

Si l'on résout cette équation par rapport à r^ les deux valeurs qui en résulteront seront celles qu'il faudra substituer pour r et r^ dans les formules . (c) et (cf) : or, si l'on fait, pour abréger, ■.[ ^

y cos*9 sin'flcos^'ïï ^^ sin*flsin*^ ■p ^^ a cos^ 5 sin ô cos<tr ^^ c sinfl siiKts-

on trouvera , pour les deux racines de l'équation en r,

r— — g , r^ ^ ; d'où l'on tire par conséquent ,

EitJ STSÏÊME DÛ MONl^. Sa?

les formules relatives aux points intérieure au ephé^ roïde seront donc

*dô dw sin* é cos^v F

et Ton aura , relativement aux points extérieurs^

^ r/*didws\n*6cosw{/G [ . ^. B:s=2. JJ g -, ^ (/)

^=^-yj — — K —

Les premières formules sont les plus simples ^ et smtègrent sans peine par rapport à la variable <ar j les secondes , au contraire , présentent de grandes difficultés à cause du radical qu'elles renferment^ et <iui rend , sous cette forme , Tintégration impossible P^r toutes les méthodes connues. Heureusement , si I imperfection de l'Analyse n'a pas permis jusqu'ici de vaincre cette difficulté , on est parvenu à l'éluder, ^t a faire dépendre les attractions dqs ellipsoïdes re-^ 'atives aux points extérieurs, de celles qu'ils exercent 8^r les points intérieurs ou sur les points de leur sur* wce- Occupons-nous donc exclusivement des formulés Tome IL 22

qui se rapportent au cas où le point attiré est placé dans Finténeur duv -^héroïde : numë- Supposerons ensuite qu'il est situe en dehors de sa surface, et nous verrons qu'il est toujours possible de= ramener ce second cas au premier.