C rf^i <2t) sin* i cos 6 sîn
Cette expression se simplifie en observant que l'inte'grale relative à 9 devant être prisé depuis fl =o jusqu'à 9=i= i8o^, si l'on représente par P une fonctiori rationnelle quelconque de sin 1 et cos* 9 y on aura généralement entre ces limites y Pcos9 rf9=o, parce que les valeurs de 9 devant être pnses à égale distance au-dessus et au-dessous de l'angle droit, la valeur de cette intégrale sera composée d'une suite d'élémens égaux deux à deul et de signes contraires. Les deux derniers termes de Inéquation précédente se réduisent donc à zéro en vertu de cette remarque, et l'expression de A i ien substituant pour K sa valeur, peut prendre cette forme ,
On trouverait de même
Ji=z2b.
sin"fl sin*«+ -^ . cos 5*+ -r7j.sin*â cos'«
On peut , ayant même d'int^grer^ ces expressions y en déduire plusieurs propriétés importantes relativement aux attractions des ellipsoïdes.
Les intégrations indiquées étant indépendantes des coordonnées a^ b, c du point attiré^ on voit que lattraction <pi'exerce le sphéroïde parallèlement à Taxe des'o: est la même poiir tous les points situés dans un même plan perpendiculaire à cet axe. Il en est de même relativement aux axesi des jr et des z ; d'où l'on peut conclure généralement que les attractions de l'ellipsoïde sur les points placés sur une même ligne droite 9 passant par l'origine deB coordonnées, sont proportionnelles à leur éloignefnent de son: centre.
Si l'on divise respectivement par « , * , c les trois quantités A, B, C, et qu'ensuite on les ajoute, on trouve . ^
-+ , H — == 3 .fd&dcosin Ô,
les intégrales devant être prises depuis 6 ==o jusqu'à ''= 'sr , et depuis jw == o jusqu a c^ = 'TT. Un trouve entre ces lîn^tçs fd% d^ sin 6 = ^tT ; on aura donc
34Ô THÉORIE AHALYTIQUE
On a d'ailleurs, n* i ,
et d'après la forme des yalenrs de A, B, C, il es! évident qu'on aura
flftV A ^^ B <^V C
rëquatîon (^) devient donc ainsi
équation qui vérifie pour les ellipsoïdes Téqua-' lion (2; du n® 3, qui s'applique généralement 2 des sphéroïdes quelconques.
On peut observer encore que les valeurs de A, B^ C
ne contenant que les quantités pp -pf ces valeurs ne
varieront pas, quels que soient les trois axes du sphéroïde, pourvu qu'ils aient entre eux les mêmes rapports. Or , les rapports des trois axes déterminent simplement les excentricités de l'ellipsoïde : on peut donc en conclure que tous les ellipsoïdes décrits des mêmes foyers exercent sur les points intérieurs des attractions égaies. Il suit de là que si l'on. suppose le sphéroïde composé d'une suite de couches concentriques et $eipblables ^ l'action des couches supérieures au point attiré sera nulle ; d'où résulte le théorème suivant, qui n'est qu'une extension dé celui que nous avions trouvé n® 19» livre T', relativement à la sphère: Un point placé au dedans dune couùhe elliptique, dont la surface intérieure et la surface extérieure
DU SYSTÈME DU MONDE. l^t
sont semblables et semblablemeru placées j èst.égai^ lement attiré de toutes parts.
9. Occupons*-nous maintenant de l'intégratimi de la valeur de A, Si l'on intègre d'abord par rapport à m depuis a>sE=o jusqu^'à a>=^, et qu'on suppose
cos*8-+-T7ï. sin^flssiB, cos^fl+Tîî . aîn* 8 =71,
on an^ra .
dBdm sin I cos*9 ./*£^sin^cos*d
A=!&a. // -7—- — r-r- = 2iaw./
mn
Ea remettant donc pour me\,n leurs valeurSi on aur^
./t7t' /]^ <asin6cog*9
Cette deirnière intégrale doit s'étendre depuis 6:^0 jusqu'à ô=^, ce qui revient à la prendre depuis 8=0 jusqu'à dscs^^TTy et à doubler le résultat. Si Fon sup^ pose donc cos8=3a?, et qu'on ^lomroe M lâ[ ibassedè
Vellipsoïde , ce qui donne M=v-^^'^^> et par con- «' „^ . êiTfMh" 3M
, 3ûM /^
1 intégrale relatiye à a: devant être prise depuis *=o jusquaa:=r.
On pourrait, en intégrant les" viileûrs dé B et C,
i^% THÉORIE ANALYTIQUE
nV^» 1^ réduire de. xnêziie..à de, simples quadra* turcs, mais il est plus simple de déduire immédiatement leurs valeurs de rexprë^sîaa précédeute de A. Pourcela, il suffît de raiiarcjuer que l'oa peut regarder A comme une fonctioade a et des trois demi-^axes h, h', K' de l'ellipsoïde; B sera par conséquent une fonction semblable de & et des trots demi-axes h' y b, h'; et il en sera de même de C, qui sera une pareille fonction de c et des trois demi-axes A", h', h. On aura donc les expressions de B et C par une simple permutation des lettres a, h, h', V dans l'expression de A. On trouve ainsi
J •• '< • .îl.». 'lié!
3iM
g 3iM /^ x*eùc
^ 3çM /• ^ xfdx
ces expressions i , dm^M . être prises , postmè celle deA^ .depuis^ia:;;7:çtjî.iiâqu'à^ppi. : >
On peut donner aux valeurs de A . B . C, une forme particulière qu'il est bon de connaître . Faisons, pour abréger^
U >li l't . ■' V»
et sùpposcNps ensuite dans |a valeur dé B^
«et dans la valeur de C
ou SYSTÈME DU MODD?. 343
les expressions trouvées pour A/ B'/Cy<H viendront
A ^ 3flM C . x*dir ...
pesa '■..>■ 4 "f'^ m I <if Mi ni iT ■•■ w, «^ t •
C3cM /^ z*Jz . : :,, «
■ — -- — . f I t rf * iti.iii^. '
i/t ^îv . (i^ifvr**)^ •
Lqs. intégrales rektiYfE)s à j et^ ^^^doi^mt êj^ç prises dans les mentes ;lîp:)ji^f qpe les, inti^r^îes^ relatives à X, puisqa'en effet la^uppoçkio^ de. ^==0 donne à la fois ^=0 et z=o, et que la supposition de a:=i donne /=== ** et fe=r-i j on. peut donc dans B et C cbanger, si l'on veut, jrelz enx^ d'où il suit que ^
on aura, pour dét^irminefr A, B, 6> cesjpmiùles très simples :
Ces formules s'étendent aux points situés sur la surface dusphérôidgî.iCarrilsuffiltN, -poixvyj^fir égard, de supposer rz=zr^ dans les expressiops de A, B, C, cé qui ne change~rien à lèuîi^ fi^m^. T ~^
10. La détermination des attractions qu'exerce un ellipsoïde 11 omogène sur lès poiiits intérieurs, et sur les
344 THÉORIE ANALÎTÎQUE
points de sa surface , ne dépend donc plus que de k valeur de la fonction L; ibais l'intégration qu'elle exige n^ > peut être obtenue sous forme finie par les méthodes connues, que dans deux cas particuliers, celui où les quantités A et A' sont égales entre elleS; et celui où Tunè de ces quantités est nulle : dans l'un et l'autre >cas , deux des Irois demi-axes hfhf, h", sont égaux entre eu:t , etyellîpsoïde est de révolution autour du troisième»
Supposons q\ie À: $oit le plus petit des trois demi-^ axes du sphéroïde , et faisons d abord A=A'» ce qui doiine liz^Vi Le corps attirant est alors un ellipsoïde aplati vers les pôles, dont A- est le demî-^xe de révolution ;' on aura dans ce cas |
Si Ton différencie par rapport à A la va) n* 9, et qu'on fasse A a» A' après ^la diffé on trouve
dx
T^, — f-r: c±= — T . ( arc . tanff A
Les attractions de l'ellipsoïde de révolution aplati vers les pôles seront donc déterminées par les^ for- j mulçs suivantes ;
i: '.Arz^l^W ^ ,(X— ,|^.teog:A),
^ • 3c]Vt / . . A \
Supposons maintenant A'=o , ce qui donne K'ssshi Dans ce cas, A' est le demi-axe de rëvolotion du sphé-* roide, et Ton a
On aura donc pour les attractions de rellipsoîde de révolution allongé vers les pôles
B=f|,[,og.(x+i/rTv>-p^]. j(B)
Si ies-conditipns précédentes ne sont pas remplies > il est impossible d'obtenir d'nne manière ijgoareuse les valeurs de A, B^ C; mais lorsque. Fellips.pï^^ s'é-r loigne peu de la 6gure de 1^ sphère, A et A' devîen-* Dent de trèp petites quantités; on pourra réduire alors la fonction L en série convergente , dont chaque terme soit intégrable , et l'ont déterminera de cette manière les attractions du sphéroïde , avec le degré de précision qu'on jugera convenable •
\ I . Considérons maintenant le cas où le point attiré est extérieur au sphéroïde. IN^ous avons vu que le ra^ dical qui entre dans les expressions différentielles {f) de ses attractions, opposait alors un c^staele inYÎdv cible k leur intégration./'PIusieurs grands géon^ètres ayaienl en vain épuisé toutes les ressources de l'Ana-^
246 THÉORIE AHikLTElQUE
lyse pour surmonter xsette difficulté , lorsque la découverte, due à M. Ivory, d'une propriété remarquable des ellipsoïdes décrits des mêmes foyers, Va fait enfîn entièrement disparaître.
* Voici l'énoticé de cette propriété / qu'on peut regarder comme un beau théorème de Mécanique : Si Von homme^oints corresporidans , les points pris sur la surface de ;deux ellipsoïdes décrits des mêmes foyers y de manière que leur^s coordonnées , respectivement parallèles aux trois axes principaux de ces corps y soient çntre cibles comme Cfs nxes ^ les attractions qu' exerceront j parallèlement à chaque axe, ces ellipsoïdes sur les points correspondons de leurs surfaces y seront entre elles comme les produits des deux autres axe^. i ; . - . ' — â : ^ . . • •
En effet, soit M le premier ellipsoïde, et A Vattt*àctîoh qu'il exerce jiàtflllèlettiîè>ilà'Ftt«e'd6s or sur le 'point dont les fcoordôrinées 'soiit «> ^, c\ dési- ]gnbns par M' le second sphéroïde > et par A' l'at- Iràctîoh qu'il exôïxïe danà la même direction sur le point dont les coordonnées sont ifi', A', cf ) on aura,
eh sûppo'sant pouf' abréger; ' '
"^ X et — ix'/f' désignant lès valeurs ne la vatiâble^;
DU SYSTÈME. JDU 'MOtfDE. 54f
qni se rapportent à la surface de M , et + j/^ et •— x\ les valeurs de la variable x', relatives à la surfs^e
de M'. •• •■ '
Solt/comoa^ précédenïal^nV
^a-h';^ 4-. ^«=if (A)
l'équation de la première de ces surfaces; îl îaudràit^ pour achever l'intégratioa de l'expression de A , substituer dans f^ et f le& valéur^^de ;^ q«li^ ^pésultent de cette équation ; mais cette opération ne nous conduirait à rien ; <m fileut au coptvaire, par une transfomianioa ingëniieiise des doovdoqnées , arriver trèii »m|)içcDent i a^ ibéoièmer^cfue ^noup' npus^roposonè de démontreîr. Poûnceki^ «u^ éfois' viitiable^ Vj //v& ^ qui S0iixt Iiëe8>i3nt«e ^elles^' p^r^ Fé(}iïiâtÎ4!>«i (i^) ^ on en sïbatitiieva detKK tnoXtt^ înBepiîtidatiies entremêliez;' on feajiparexeinplef^ *'.-'• '-'lî-'- ' •''.• ' •"» '•':■'''•
et Ton voit en eflFet, en mettant ces^ Valeur^ a là place de 0?,^, z diàns^réquatiota'f^}; 'iqù^îl* 'ri'etf résulte auctirte équàtioii'^dè 'condition ^éntt^e les notivélïes variables'^ 'et ^. '^^^ ''' ' ':.' '* *'^ ' '*' '- -^•' ' ' '•' D'après les formules connues pour^ ïai trânformàtion des variablqsL dans 1^ laté^aiés doubles ^ on a généralement,
Les valeurs précéi^enta$.40 j>et^idoon^t;
dy dz dv dz ,1,,* .
•y- • rr ^^ -4- • t ^s=^h'K\s\tkpcoBp. dp aq dq dp ' '
On aura donc , en vert a de la formule générale ,
df dZkZ=i KW • sin^ cos;? dpd4j ^ et par conséquent
A^spih'I^' ^/fdpdqsiapcosp Y- — ^\
On étendra les intégrales à la masse entière da «pbérQÏde M ^ en prenant celle qui se rapporte à p de|mis ps=2 0 jusqu'à pvessTr, et. celle qui se rapporte à ^depuis ^=0 jusqu'à q^^"^} car il est évident qu'en donnant aux angles pçtq toutes les valeurs coimprises rentre o et i8o^, les variables^ et z prendront toutes les valeurs comprises entre -f- A' et -^ A' d'une part, et entre rf- ^^et — K' de l'autre . c'est-à-dire tous les couplés de valeuts qui correspondent aux différeos points de l'ellipsoïde.
Soient maintenant ky h% k" les trois demi«-axes du second ellipsoïde M', qui se rapportent respectivement aux axes des a/, des y et des z', l'équation de s^ surfdçç sera
et si Ton fait
af^:=:k siàp , ^ == kf'cosp sin ^ , y"= f^^cJùsp cos y, on aura, par l'analysé précédente ,
DU SYSTÈME DU MOKDE. i%
A'= klf.ffdpdqsxnp cosp. (^ -— -,V
les intégrales devant être prises depuis /? = o jusqu'à pzzzTTy et depuis ^ = o jusqu'à ^ = 'TT , c'est-à-dire dans les mêmes limites que celles qui se rapportent à la valeur de A.
Comparons maintenant les attractions exercées pat les deux sphéroïdes M et M', ce qui se borne à comparer entre elles les valeurs de f et de /' et celles de f^ et f '^. Si Ton développe les deux premières quantités, et qu'on substitue pour ^y , /, %, et pour x' ^ , jr', z\ leurs valeurs , on aura
{* = a* + ô*+c* — 2 • {ah sinp + bh' cosp sine/ +cA*'co»/i cosç)
+ A*8in'p+A'* cos*p8in*ç +A"*cos*pcos»gr, ^•= a'» 4-î'* +</* — 2 . (a'ft sinp + b'k' coêp sinq + ck'cosp cosq)
+ fe*8in'p-f &'*cos*psin*9+ft'*cosp"cos*7-
Si l'on retranche ces deux expressions l'une de lautre , en observant que les points déterminés pat les coordonnées a, b, c et a', V^ d sont des points correspondans , et que , d'après la définition que nous avons donnée , on a
«* ^ b k' c^fc"
que Ion remarque en outre que les deux ellipsoïdes M et M' ayant mêmes foyers , si l'on nomme e et e' leurs excentricités communes, on a
â5ô THÉORIE ANALTTK^'
d'où l'on; tire . , ,
on aura simplement
Si l'on suppose , comme nous le faisons , que le point dont les coordonne'es sont a' , b' , c' est situé sur Tellipsoïde M , le second membre de cette équation sera nul, et l'on aura identiquement f = f ', indépendamment de toute valeur donnée aux angles p et y. Oa trouverait, par la même analyse, ^^ = />'^, et l'expression de A' deviendra par conséquent
A' = VU^ *JJdp dq %\Vkp co&p .f—f — -Y
En rapprochant cette expression de celle de A , on voit que, quelle que soit la valeur des intégrales indiquées , on aura
On aurait de même , relativement aux attractions qu'exercent M et M' suivant les axes des^ et des z,
et par conséquent
iL-T.*!*! B M^ C^hh' ...
A' ~*h:i^^' * - B^ — kk"*' . e — ^^* W
Ces équations renferméntle théorème que nous avons
DU SYSTÈME DU MONDE. dSi
énoncé, et dont la mécanique céleste est redevable à M. Ivory.
12. Il est important d'observer que les équations (k) subsistent quelle que soit la fonction des distances qui exprime la loi d'attraction. En effet, la valeur de A, après l'intégration relative à x, prendra toujours cette forme ,
R étant une fonction donnée de la quantité f , et R' une fonction semblable de /'. Or, l'analyse du numéro précédent ne s appuie que sur la forme des quantités f et/, et jellp (e3t indépendante de celle des fonctions R et R^ U en serait de même des quantités B et C.
Le beau théorème énoncé nMi, et qui établit les relations,qui existent entre les attractions qu'exercent les ellipsoïdes homogènes sur les points situés à l'intérieur ou à l'extjérieur de leursr surfaces , a donc lieu pour toutes les lois d'attraction possibles. Si Ton suppose que les dçux ellipsoïdes , se réduisent à des sphères concentriques , il en résulte que VattraC'^ tion de la grande sphère sur un point placé à la surface de la petite , est à V attraction de la petite sphère, sur un point placé à la surface de la grande^ comme les carrés des, rayons de ces deuçc sphères , ow comme la surface (fe la sphère extérieure est à la surface de la sphère if^térieure.., binent donc. r ctr' les rayons de ces deux sph^^es^i, A ;«t A' les attrac-^ tions qu'elles exercent respectivemept s.ur les points de leu|^ surfaces, on aura
ZSSk THÉORIE AKALTTIQUE
équation qui donnera Tattraction de la sphère sur un point extérieur lorsque l'attraction sur un point intérieur sera connue, et réciproquement , quelle que soit la loi d'attraction.
Dans le cas de Tattraction en raison inverse du carré des distances, A' exprimant l'action de la sphère dont le rayon est /, sur un point extérieur, on a, n° 5,
on aura donc A s= ^ • tt/ pour Taction d&la grande sphère sur les points intérieurs. Cette expressioû étant indépendante du rayon r de cette sphère , on «n peut conclure que les points placés dans l'inte^ rieur d'une couche sphérique sont également attirés de toutes paris. Réciproquement, pour que cette propriété subsiste, il faut que A soit une fonction indépendante de r ; on a alors
H étant une constante par rapport à r, c'est-^ànlire 4{ue, dans ce cas, l'attraction de la sphère sur les ^ints extérieurs est réciproque au carré de leurs distances à son centre, ce qui exige nécessairement t{ue la même loi s'obsenre par rapport à chacun de ses élémens. La loi de la nature est donc la seuU dans laquelle une couche sphérique n'aura aucune
DU SVStIÈIfE DU! MONDS. iiSS
action sur les points intérieurs ^ et hi smde aussi dans laquelle a^ûte càuche attire . les jxânls extérteun^] comme si toute sa masse était réunie à son centre.
1 3. Voyons maintenaat comment oa peut faire se^ yirle théorème que nous venons de démontrer n^ 1 1 ^ à la détermination des attractions des sphéroïdes ellip-»* tiques sur les points extériéui^ à leuns surfaces* Soient (i^b^ c les coordonnées du point attiré ^cpie nqus; supposons situé en dehors de l'elUpscnde M; imi^ nous un noayial eUipsoide M' décrit des mêmes fojreis' que M ^ et dont la surface passe par ce point : ces Qoaditions suffiront pour déterminer le second sphéroïde y et il n'y ea atu'à qu'un seul qui pottrm y ss^ tisfaire. En effet, soient k^ Idj Jf, les trois ^et&in axes de M' respectivement parallèles aux axes des x^ des^ et des z; cet ellipsoïde ayant les mêmes foyers que le premier, si l'on nomme ett^ les exceutricités de ses sections principales , on aura
€t l'équation de la surface de M^ sera
Puisque le point attiré est situé Sttiî'i€kte-&ttrffccô; les trois çpordonnéeç.^, (• c doivent sati$£ûpe à l'équatiôu précédante ;^ona>jpir cônsiéquent ; -
Cette équation est du sixième degré par tappotik k; Tome II. a 5
