tWHÊOROEi ANAtn^lJB
Enfin, da^.le-^de l'ellipsoïde ée révolution allongé vers les p^es , on aura tf=io ; par conséquent
et les formtileà (B) du même numéro donneront
^ = aÏ^3-CA. V'i+X» — log.CX+v/i-l-X*)],
i4* U résulte des formules {p) , que si l'on nomme M' la m&âse d'un nouvei ettîpsoide ayant les mêmes excentricités et la même position des axes qp^ l'ellipsoïde dont la masse est M , il suffira . pour détenniDer les attractions 1^, B'^ C'^ gu'exercecej ^orps sur le point (dont les coordonnées' sont à^ h, c^ dé changer M en M' dans les équations (p); ^oh Von peut conclure qu'on aura
c'est-àfâke" j^'^ea général ! 4èB ^rite^ctions^ de deux ellipsoïdes seipblables sur un piênie ppint extérieur
sont entre elles comme * leurs ' 'massés.
Les trois. éq^atipiis (A)j a;* 1 1 > lioiment
A / h'h' A.' B hhH B'. C hh' C
â ^ If^ • ï""». l'ï'^ Wy "ô-» * "^ ÎF • 7*
Si da|xs^ Içç seoèâà» Vneinf^res dccés équations on
serve ^6 le^t^^t^afiëS;'e0d^€OiMéè»94^^^
rehtîôtt 'anataguèà la pt^èéaëhté '^ Ijiïï^abft^xîstér entre 4ës^ àteà(^s-^u%éltè^tt^^ hirftio-
geoesnr lés pômte^xlérfe ' ' >-
Srlé feor^^attîfenftfé^^ ; -tnafe
seulement trbrbpcJsë^ de c6ttfc!iiésP^Hi|rtitjtteB 8ét ^osi^ tioû/d'eHiptièfteéïîïé derisît^^^ sàîvâtft ûtte
loi quelconcjué du èentre li'fâ stiî^cev 'ferfaSermineraft, par fes^fahiâesr p^^ qu'exercent ^i un ^twîfcttfttiiié fcJjteiéî^ termmés par les surfaces intérieures et extérieures de chacune de ces couches ; la différence de ces deux attractions sera égale à l'attraction de la couche sur le même points et Ton aura celle qu'exerce le corps entier en prenant la somme de ces attractions partielles. "'-^'^
i5. On peut donc regarder, comme complète, la théorie des attractions des sphéroïdes elliptiques. La seulechose qu'elle laisse encore adésirer, c'est la valeur finie de la fonction que nous avons désignée par L ; mais l'intégration dont cette valeur dépend est nonseulement impossible^ comme nous l'avons dît, dans le cas général, par toutes les méthodes connues;
3S6 THÉORIE ÀNALTTIQUE
QUe:l'ei$t.43DCCH^..W«;elIe-inâmey c'est-à-dire que la y^alegafK4eh ii0;Miii!^it étoe, exprimée, en termes finis par aucune fcnicticm cotDpo^ de qnatttibà algé- J>riques , logarithmiques ^ ou circulaires.
Dans le chapitrei suivant^ nous nous occuperons de la théorie des attractions des sphéroïdes peu différens de la sphère. Ce problème a d'abord été traité par d'Âlembert^ et ^^ .après lui , par plusieurs illustres géomètres; mais c'est à Laplace qu'on en doit la solution complète; et les résultats auxquels il^est par- .jreçu^: p&r leur fécondité çt par leur utilité^ nonseulement dans la théorie d;^• système du monde^ mais ^ençore (dans une foule de .questions .phj^ço-rmathéjnatiqiies^ telles.que la théorie. des fluid^s^. celles de la chaleur^ de l'électricité et du magnétisme^ doivent faire regarder les .travaux de ce grand hofnme sur ce point important de la mécanique, céleste comme , l'une 4^, t^}^^. ;|>çU£s pro^uctioi^s de son génie^ .
DU SYSTÈME DO l^NBE. SSg
■ I i ''^ >ii' r . ' ■ ^ ■:. ij 1. "■ I ■".' '
1 'J THJ
GHAλITRE IH.
'Attpocti&mdù sphéroïdes quéhùonque^.
i6. Nous con8idé]:iprDtis> dans (îô^tiapitreV lê^ àttra<>iions dès fij^b^roïdes^ ^^efcôÀqtlëS'; et un particûli^ celles des sphéroïdes qttli^'éûâtteiir ]^'de' h figure de la sphère. ^Mais, au lieu ^e d^tériift'mëF'ikKtfnédia-' tement les attractions que o^s corps exercent suivant une direction donnée^ nous' comniencerons par cher-* cher la yalenr de la fonction -qui eàtprime la sonfime desélémetisdo> sphéroïde; divises respectivement par leur distattce au |>CHnt attiré y et cpie nous avons désignée par Y, parce que cette fonction a" fâ pi*opriété de donner , par sa différentiâtion , les attractions qu'exerce le sphéroïde parallèlement à une droite donnée , et que d'ailleurs c'est sôus cette forme que se présentent, dans les ^équà^ions de son équilibre, les attractions niutuelles des molécules d'une masse fluide homogène douée d'un mouvement de rotation, comme nous le verrons dans le chapitre! suivant.
Reprenons donc la, valeur de V, n° 4, ^^9 ipQfVX abréger, fqifcon$ ^os.6 ï= /*, cos ^=^', on aura
JJ J V'r'-Tarr'. [«»'+ V »— /»* • S/ i—ê*"- C08(-— •>')l+r'» *
mo iVHtORIE' AITALimQUE
r étant le rayon mené de l'origine au point attiré, % f^figle compris entre ce rayon et IHm quelconque des axes coordonnés, eo l'angle que sa projection sur le plan des deux^âutréi âii^â f^4î^ Pivcc l'une de ces droites, et r^, ô', cô' désignant ce que deviennent ces trois variables relativement à l'élément dm du sphéroïde.
, Pour «(^i»dj!0( i^nlégmlîikM^. dé Ja .\irdk»r. 4e Y à la masse entière du corps attirant, il faudra intégrer rela- MlîW^irti ^,*^ir4fl^î« ir/iïifapijo^'î^^r^ffiKR;^.^ étant
f^fle fqqj^Qn Aonom é^ it .^ â». eh'/iqm ex^time le tmyO^ v^cj^iir 4'^^ point; qûdkonqtie lie la $Qh&ce du -^b^fîOïdeM Quant iiOx. intégtaks jc^tW^.à o/ çt (a', ^^ devront être pmes , d'ftprès. « qi}e..iH)P$. ayons .4it) n^ 4^ depuis #'s==.o jusqu'à <»' égal k fe.cipconféjraKe^ et depuis /4'c=i }usqu'à/t';^-— ï. ,
En subslituant de méine fJ^kht place de csm 8, dans réqufttion (5) méxoe munéro^ leUe pn^id eâfl^ forme ■fdbiis simple.: - ;. .; /
équation de condition à laquelle dievra toujitors satisfaire la valeur de V, lorsque le point attiré ne fera f^as partie de la masse db sphéroïde. \
Comme il est impossible dlntégrer Téxpressioa de y d'une manière- générale , t>n 4èfet obligé, pour y parvenir, de recourir atix- méthode^ ordinaires d*approximation. On réduit l'expression de V en série dont chaque terme est intégtaUe ^ et l'on olrtieilt ensuite sa valeur avec le degré d'^ètaclîtude qu'on juge
ou STS^T]^ DU MONDE. 3Qi
conrenal)!^. Pour d^v^pper r^^xprc^eicm 4e V. eu série convergente , il faut distinguer deux cas , celui où le point attire est extérieur an sphéroïde^ et celui où il . ef^t sitiié dans Fintérieur de ce corps. Drq^ le premier cas, on a r>» /, çt si l'oa fait -
On réduira £j3n. série convergente» eu ordonnant fôn davdtQppienient pigr^rapport w^ pipssanc^s.d^cendantes der; on aui^ ainsi
etil est ckir^ d'après la v^ew de F, qnePo, P^.# .P* soût d^s fonctions raticHinelles et eatièr^ de )x et de N/i— ^jti^'. %^os^{p^u^(s[). F satis&ity par sa nature^ à leqnalion -
.Ml I
+ r=r«+.'--ir-o. ,(B)
Si Ton ](*0mplace F par sa valeur en séiçie;» etqu'on égalç a zçxp l^s çoefficiens des nsiêmes.puissfmçes de r, on aura, quel que soit i,
— ^r-^+~i* + Ki+^)^i^o. (c)
Si l'on substitue à la place du radical que noug avons représenté par F, sa valeur dans l'expression de V, elle prendra cette forme :
363 THÉORIE ANALtTlQUE
et l'on aura généralement, quel que soit t,
les intégrales devant être prises depuis r^ égal à zéro jusqu'à sa valeur à la surÊtce du sphéroïde; l'intégrale rela,tive à f^ff depuis //z=z i jusqu'à |t^-^ .j :e , et l'intégrale relative à eo^f depuis 6p'=:o jusqu'à û»'=27.
Si le sphéroïde est homogène , l'intégration relative à r^ pourra toujours s'ôffedtuer ^ ' et en^mmimant R la valeur de r à la surface^ on aura
Supposons maintenant le point attiré dans Finlérieur du sphéroïde , on aura r<ii^ pour toutes les couches du sphéroïde qui enveloppent le point attiré; et pour avoir une série convergente , on réduira F en une suite ascendante par rapport à r; on aura ainsi
F — P i--4-P — U-P — JUV jL^JL.fitic
Les quantités P., P„ etc., étant les, lîiêtiiés. que cidessus , l'expression de V, en y substituant cette valeur^ deviendra '^'
V= Po 4- ^ir + p^r» + etc. , :
et Ton aura , pour déterminer généralement Vi , l'équation
Les intégrales relatives à r' devant être prises depuis r'ssr jusqu'à la valeur de r', à la surface du sphé-
roide^ et les intégrales relatives à fe- et à ûi'dans les mêmes limites que jurecédemment.
Si Ton suppose, par exemple , le sphéroïde homogène, et qu'on désigne par R et R' les valeurs de / correspondantes à la surface du sphéroïde et à la couche qui passe par le point attiré, on aura, en intégrant par rapport à r',
Connaissant ainsi la partie de V relative aux couches du sphéroïde qui enveloppent le point attiré , on déterminera comme précédemment la partie relative aux autres couches, par rapport auxquelles le point attiré est extérieur, et en les réunissant, on aura l'attraction qu'exerce sur lui le sphéroïdei> ^ '■
17. Toute la difficulté du développement de Y en série se rédi^it donc à former là valeur générale de P|! Cette quantité est, comme nous l'avons vu, une fonc^'
tion finie du degré i de jtt et de \/ 1 — *j6t* . cos(&i-^ d^). On peut supposer par conséquent P| développé en série de cosinus de l'angle a— a»' et de ses multiplesf. Soit K, cos n (ûh— »') le terme de cette suite qui dépend de cos n(û)-r-û)'), K. étant une fonction de. f& indépendante de o), qu'il s'agit de déterminer» Observons d'abord que le terme qui dépend de cos n(co — &>[) dans P| ne peut résulter que des puissances h, n+2 , ^+4> etc. , de cos(««— û)'); or cos(û)— û^) ayant poiir facteur v/i— ^«^ il est clair que,C0j5"(û>r-<»').auraJ!K>ur
fecteiir(i — ft)v D'ailleurs F étant sjrmétrique parrap-
364 TSCËORIB AMALYTIQUB
port à fe et'kfi', ces d^m quaiitîtés doivent entrer
de la même manièsre duos ^biKnm des termes de son
dévelopjiemeat ^ d'où pl'oa pemt condure que E,
fi «
est de cette forme (i — /jl*)*, (i— ^ic'*)» H,j on aun
donc ainsi
Pi==Ho+(i-^*)».(iV*)^-H..cc)s(*-O+(iT^')'.(iV0^.Hâ.<5«^
En sorte que le terme général da développement de '
Pi sera (i— ;a')*(i — ^ft'*)*H, cos n(cù — û>'). H, désigisiant iine fonction de >. dont il i but coimaitre la forme. Fi devant satisBeiire: à l'é({Qâtîdn aux difie- ' renées partielles (C ) , si on lui substitue sk valeur | précédente^. la comparaison des cosinus qui dépendent des mèpies multiples de ot^^o»' donniara Téqnation a«2^ difierences ordinaires
ou biai f ax multiplianl tous les ten^oes par (1^^^%
D^àîlleurs il est facile de voir, d'après la considération du radical que nous avons représenté' par F; que H, est de cette forme V .
J^ ^fet» ^ l'on suppose ' • ~
te.
et qu'on développe F après y avoir substitué cette
valeur, on trouvera que le coefficient de p:^, dans ce
déreloppement ^ est de cette forme :
a^^ + ^i/^'"* + ^i/?'""^ + etc.
Qu'on remplace maintenant p par sa valeur^ et qu'eu substitue aux puissances de cos(û^— û»^) leurs valeurs en cosinus multiples de cù^^û/, on s'assurera
sans peine que le coefficient de (i — ft*)» cos7i(a— û>') a la forme que nous lui avons supposée.
Si l'on substitue la valeur de H„ dans l'équation (f), et qu'on égale à zéro les coefficiens des mêmes puissances defJL, on trouvera généralement
En faisant successivement ^ = i , s=i2, etc. , on aura par cette fommle les Taleurs de A, , A^, etc. , au moyen de la valeur de Ae. On ^ trouve ainsi
Ao est une fonction àefjt/ indépendante de /a; or^ fe et f^' doivent «ntfer de là même manière dans l'expression de P|, comme nous lavons vu plus haut; on aura donc
A.=fl fix"— (*-")(*-»-0 „/i-.-« , (*-n)(*-»-')(»-B-a).(*-J»-3) „ ^^"U 2.(aJ-i) .•'^; ^ a.4.(a»-i).(2J-3) "•'^
(t-B).(t-n-0.(t-B-a).(w>-3).(t-n-4).(fr-B-5) ,j i», , . "1 ~ 2.4,6.(a»-i).(a»-3).(a»-«) '* +««c.j.
et par conséquent "
/S,» étant une quantité indépendante de fA et de fi', et qui par conséquent ne peut être qu'un coefficient numérique. Il ne rest^ plus qu'à déternodner ce coefficient.
Pour y parvenir, observons que si £— -/i est un nombre pair, la valeur de H. contiendra un terme indépendant de fjL et de fi^ et en ne considérant que ce terme, on aura
gC').[i.3.5;..(t— n~i).i.3.5...(i4-7i4>i)]
Si i — n est un nombre impair, la valeur de H. contiendra un terme dépendant des premières puissances de /M et fjt/, et en n'ayant égard qu'à ce terme; on aura
„ gn .fift,\ [ï . 2 . 3 . . . ii^n)y ^
Comparons ces valeurs à celles qui résultent directement du développement du radical F. En négligeant les carrés et les puissances supérieures de /t et de iâ!, on a
Le premier terme de cette valeur renferme toute la partie de F indépendante de fe et de ijJj et le second toute la partie qui ne dépend que de la première puissance de ces variables. Développons les deux radicaux par la méthode que nous avons déjà employée n'So, livre IL Si Ton nomme c le nombre dont le logarithme hyperbolique est Tunité , et qu'on substitue pour cos(â» — cô) sa valeur en exponentielles
imaginaires , le radical [r* — 2r/cos(a) — o)') + /•]" • pourra être mis sous cette forme
SI Ton développe les deux facteurs de cette expression^ qu'on multiplie ensuite Tune par l'autre les^.sé' ries résultantes y on trouvera aisément que le coeffi-
cient dep:;n*(^- 1 )7 ou de
p+;C0sn(» — û)'), est égal à
C'est la valeur de H» dans le cas où i — n est pair.
et où l'on sappose fts=o et/dfzso; en la comparant à la valeur trouvée plus haut^ on a
^ ni.3.5>..(a£ — i)"l* i(i— i). ...{i — n + i)
"■"^ *Lï»2.3 i J * (*+i).(*+a)... .(*-f-7i)'
Il ne faut prendre que la moitié de ce coefficient ; dans le cas où ns=so} on a alors
On trouvera de la même manière que le coefficient de
ji -^^.fifjJ .co&n{eû — ûù') dans F, est
C'est la valeur de H., quand i^^n est impair, et qu'on néglige les carrés et les puissances supérieures de /i. et fe^ Si on la compare à celle que nous avons trouvée plus haut., dans le même cas^ on a
P*~^'Li.2.3 \i J •(*+!). (^+2).., (i+lï)'
Ainsi l'expression de jS. est la même dans le cas de i — ?i< pair et dans le cas de i— n impair. Si nâso^ on aura, comme précédemment ,
^, ^ n-3.5..:(.i--in
En substituant pour j8« sa valeur Hans Féquarion (A:), on aura la. valeur générale de B[».
DU SYSTÈBfE DU MONDE. 3%
i8. Ayant d'aller plus loin , nous allons démontrer une propriété remarquable des fonctions de l'espèce de celles que nous ayons désignées par P^ , qt qui nous sera utile dans les Recherches suiyantes. Spient Yj et Z. deux fonctions rationnelles et entières de
/if V I — |t*.sin û> et \/i — ft* . cos eo , qui satisfont à l'équation (C)^ on aura généralement^ i étaiit supposé différent de n,
les intégrales étant prises depuis /jl= — i jusquli li=zi, et depuis a>=o jusqu'à ais=27.
£a effet, par la définition même des fonctions Yj et Z.y on aura
d^ + ri:;:. +*■('■+ 0Y,=o,
La première de ces équation^, 6n la multipliant par '^ud/idoû, donnera
i(i+i)./rsiz,.d^^^ 1 I z. — • ,; '^.idf.dm .
La seconde des équations (o) fournirait une éqiia< ^^n semhlaUe. Si Ton retfanohe Fnnë de l'aùtna Tome II. 24
ces deux équations, qaV>ii obsçrre qa'en înt^rant relativement ii f4 , on a
quantité qui se réduit à zéro lorsque les intégrales sont prises depuis ^ =s:--* 1 jusqu^à f^ = i .
Qu'on observe de même qu'en intégrant rclativenlent à a>, on a
quantité qui se réduit encore à zéro lorsque les intégrales sont prises depuis e»=o jusqu'à ^s=2ST,
poj^e que les valeurs de Y, , ~ , Z„ , -^ , sont les
mémeia à ces deux limites : on trouvera
Oa a donc igwQralammtj» $i^.est4iffefeiitde ^;
JX^jifxdùù = o.
1 9. li^ formules des nt* i6, 1 7 et 18 s'appliquent à des sphéroïdes quelconqties; nous allons conside'rer 1 présent;pment en partiçuMer. les sphéroïdes très peu différens de li(>fl|>hère^ «t ^él^enaiiner les fonctions Vof V, , etc., f^oy ^i> etc., relativement à ces sphéroïdes. Sappbsons qro le<â^héroïdb .idÂfF(p^ très |mi de la ubfare dont le rayon est a% soit 1^ le rajon mené de
DÛ SYSTÈME DU MOQHIË. S^i
rarigine des i*. à la auifacQ du .^spfa^fttâe | oa auta /=:a(i -j- 07*'} i: 0^ étant ua très petit coefBcjent coostant dont on peut négliger le carré et les puissances supéiîettiies ^ et 7' une fonction de sinus et cosinus de ô' et (ô'f qui déterminé la pôsfhîon du rayon r' et qui dépend de la nature du sphérbîde. On- a généralement pour pn poiat extérieur
En substituant dans cette formule pour /■' sa valeur
^vécéiénié'' ei W^geaJiïIïés ijtiàiitiïës de Frird¥è*«', on aura ■...!>.! .,.-.q
\ ; Yj*
inçwitBéifl^jjSi. fjét^i difféjwftt îdî^ta^ro^ / rrj ;»
on aura donc simpleihent - *
jusqu a ^' =;^^v^. X)B, trOT^ve
en observàiirqtiè iW a ^ par Éte qui précède.
37a THÉORIE ANALYTIQUE
doù Ton ycil que dans Texpressioiji de Y la quantité
Vo sera égale à 5- ^ plus à une très petite quantité
de l'ordre a, et toutes les autres quantités y,, v« seront très petites du mêtiae ordre.
. : .SuppospnSrgénéralement
on aura
- Qn< aura donc^:pour l'expression de Y relati)ire^à un point extérieur, . . i
V=;4gl^.e^,,.(U.+U.^2JhU^2!^etc.)(«) 1
- ^ ^Considék^s^«fià4ntaiàM réffirâctibtt du sphéh>ide | sur les points ititéiîétii^. On a' gébéiralemêfit datis ce cas ,
Supposons que Y représente lattraction de la couche dont le rayon de ^la sYirface extérieure' est R% et dont
Si Ton substitue dans cette expression a (1+09^) à la place de R'^ et qu'on rejette les termes qui s'ë- Ywouissent par Fintégration^ ainsi que ceux qui sont da second ordre ^ par rapport à et , ' la valeur de v\ deviendra
«>. = 4=,,ff?^d(*!dc»'z=:o^»A.\i,i
<m ama donc
V=:««*.(Uo + U..^-f.U..^ + etc.)
Telle est l'expression de l'attraction de la couche dont 1 épaisseur est acLy sur le point attiré; en y joignant la valeur de Y relative à l'action de la sphère dont le rayon est a sur le même points on aura l'attraction entière qu'exerce sur «lui le sphéroïde. Or, le point attiré est ^ par hypothèse ^ situé^dans l'intérieur de la sphère et à une distance rde son centre ; on aura donc, n* 5,
€l en réunissant les deux parties de V, on aura géiieralement, relativement aux points intérieurs au sphéroïde,
V=2^a» — H^ -f- a»« .(U,+ U..^-hU,X.rt.etc.). (h) Les formules (a) et {b) renferment toute la théo-
rie des attractions des sphéroïdes homogènes très peu différens de la sphère. En diâerendant la preinière par rapport k r, on amra >
-f =^ 4-^.(Û.+ .U.|+5U.| + etc)
Cest l'attraction qu excerce suivant le rayon r le ' sphéroïde sur un point extëri^ùr» Le pi^mîer terme de cette valeur exprime , comme on voit^ l'attractioii de la sphère dont le rayon est a ; les tei^ûnés MÎfatts sont de l'ordre et. Les deux autres composantes de Tattraction du sphéroïde seraient du mêrùe ordre ^ I en sorte qu'aux quantités près de Tordre du carré de ] « , l'action totale du côips sur le point attiré est
représentée par — ^,
■ Si le point attiré était à la surface même du spbe- ]
roïde, on aurait rzt=:a(i *4~^)^ ^^ désignant par
jr ce que devibnt y quand on y change jbt' et a' en
fé et cû. On aura donc alors ^ ea négligeant les quin- i
tités de l'ordre a* ,
V= 4Çl.(,«^)^.a.a.(U„+U.+U.+etc.)j
20. Ce cas mérite une attention particulière , parce qu'il existe^ pour les points placés à k surface dl^SfAéroïdes peu différens de la sphère ^ une relation importante enttiB la fonction V et sa diffiérèntielle , qwi
peut souvent Catciliter la reebercfae ^ leurs attractions. Pour démontrer cette propriété^ reprenons l'expression générale de V : •
,r ^ r*drdudm'
Supposons que le sphéroïde soit très peu différent de la sphère dont le rayon est ii, et qui est décrite du même centre; soit r^^a (i -f-oy*') le rayon mené à la surface du sphéroïde, a étant une très petite quan* tité dont on néglige le carré et les puissances supérieures» Il est clair que l^on pourra regarder la fonction V comme composée de deux parties : Tune
relative a la sphère du rayon a, et qui est égale à 3^ ;
Vautre relative à l'excès du sphéroïde sur la sphère, et que nous désignerons par u. On aura donc ainsi
et Tactioft qu'exerce le sphéroïde sur le point attiré sera
/^\ 4^ du
\dr)'^ 3/-» 5r'
Si l'on multiplié par 2/* cette seconde équation , et qu'on la retranche de la première , on aura
Maintenant soit dm^ une des molécules de l'excès
du sphéroïde sur la sphère, et /* sa distance au poiat attiré ; on aura
on aura donc
Si le point attiré est à la surface du sphéroïde , on a r=û(i+£y^), en désignant par^ ce que devient/ lorsque yi et osf deyiennent /tt et o» ; mais comme vl
et j- sont de l'ordre tf , et que nous négligeons les
quantités de l'ordre et* , il suffira de faire r^=ia dans l'équation précédente ; on aura donc à la surface du sphéroïde
^-h:ir.-3f ].dm\
Or, on a généralement y*= %/<»•— aûrj^H-r*, en désignant par y le cosinus de Tangle que forme le rayon / avec la droite menée du centre du sphéroïde au point attiré, ou, ce qui revient au même, en faisant
De là on peut conclure aitément, par la difieren* tintion.
En observant donc que dni désignant lun des élémens de l'excès du sphéroïde sur la sphère ^ on a
dni'^si ^f^^dfjddcê'zziia^tLydiildcùf on aura
La quantité renfermée sous le $igne intégral devient nulle lorsque Ton suppose r=:a^ c'est*à-*dire quand le point attiré est à la surface du sphéroïde^ à moins cependant quey* ne se réduise en même temps à zéro. Or f est nul lorsqu'on y suppose à la fois > = i et rzzza^ l'intégrale précédente devant être prise entre les limites yzsci et ^ = — i ; il est donc nécessaire de savoir ce qu'elle devient dans le premier cas. Si les intégrations étaient effectuées, le facteur commun au numérateur et au dénominateur de la fonction 1 ' ^ ^ '^ disparaîtrait, et il serait facile
ensuite d'avoir sa vraie valeur correspondante à l'hypothèse de r=:a; mais comme la forme delà fonction 7*' est généralement inconnue, il faut y parvenir indépendamment de cette intégration. Voici pour cela un procédé très simple. Supposons en général y=y(jtt', ù>'); il est clair que le second membre de léquation (e) devient nul, lorsque r^^a^ pour toutes les valeurs de ^' et de ûù! qui diffèrent sensi-*
hlement de ft et de ca. Si Ton fait donc f/=fi^h, et û>' = « + ^ > et qu'on substitue ces valeurs dans 1 équation (e) , on pourra y regarder A et A: comme des quantités infiniment petites. Cela posé, on aura gàiéralement
eh représentant par Ç une très petite quantité du même ordre que h et k. Si Ton substitue cette valeur dans l'équation (e) , et qu'on néglige la partie dépendante de^^ qui sera toujours infiniment petite relativement à la première y en observant qaejr:=sj{fijà)), puisque j- est ce que devient y lorsqu'on y change -fjt/ et cà^ en fi et i», on aura
Pour faciliter Tintégration, prenons pour origine de l'angle que nous avons désigné par fl, le rayon r,
ce qui donne // =r i, \/i — )Lt' = o. On aura simplement alors f= a^ — ^arfi! -+- r* , et en intégrant par rapport à ai', depuis cûz=zo jusqu'à û>'=27r;
ff^-^-fP-
On a d'ailleurs
on aara donc en intégi'ant
Cette intégrale detant étfe prise depuis f4f=:^^ i jusqu a/t'ss-f^ t , ce qui donne ys£=H-« et/==r — a, on auil3i> pour sa valeur complété^
•^i*— ka*****
ar(r + à) ar{r — a) r(t* — a*) *
par conséquent
du Afra^y
dr r
Si l'on suppose maintenant r =: a dans cette équation^ on trouve
"+^^' •^=— 4^^^**^- Ce')
L équation (^, en y substituant a (i +«/) à la place de r, et en observant qu'aux quantités près de
l'ordre a, on a ^ = ^ , donne
V+3«.-^ = — -îg — ^4^^^ ^/+'^+2a. — .
On aura donc , en vertu de l 'équation (g) ^ >ux quantités jwès de l'ordre a* ,
Cette équation extrêmement remarquable s'étend à tous les sphéroïdes peu diâerens de la sphère. Elle
38o THÉORIE ANALYTIQUE
fait voir que, dans la fonction V+^fl.^ toutes les
quantité de Tordre a disparaissent, en sorte que cette fonction -est la même par rapport à la sphère et au sphéroïde qui en difiere trè^ peu, quelle que soit d ailleurs la position du point attiré à la surface de ces deux corps. Cette équation a d'abord été trouvée pr Laplace ; mais la démonstration qu'il en donne dans le second volume de la Mécanique céleste j et qu'il a i*eproduite ensuite dans le cinquième , a été l'objet d'une controverse fort vive, qui a fait même révoquer en doute par plusieurs géomètres la généralité du théorème qui en résulte. Il me semble que la démonstration qui précède est à l'abri de toute objection sérieuse (*).
ni . Si l'on substitue dans l'équation (Aj, pour V et
rfV
•j-, «leurs valeurs (c), n® 19, on trouvera
47r./=Uo+5U,-H5U. +(2i4.i)U|+etc.
La fonction jr peut donc toujours se développer dans une série de cette forme
r=Y, + Y. + Y.. . . . + Y,+ etc.
Les quantités Yq, Y, , etc. , étant des fonctions rationnelles de \iy >/i— )t^*.cosâ), Vï — f^*« sin<3», qui
(*) Voir, sur ce sujet, Lagrange, Journ, de VÈcole Polythecknkjui, tomeVÎII; M. Ivory, Transactions philosophiques, tome Cil; A9.. Poisson-, ConnaissanGB des Tems poHr i83o.
DU SYSTÈME DU MOIÏDE. 38i
satisfont à réquatîoQ aux dlfféremres partielles (C). Cette réductioxi est indépeadante de la forme de la fonction^, et doit, être considérée comme une propriété .résultante des attractions des sphéroïdes peu difôretis de la sphère.
Si Ton compare les deux valeurs précédentes àejr, eu observant qu'on a, n* 19, Vi^ss^ fV i ydfji!dûù' ^ on trouvera généralement
On a d'ailleurs.^ en représentant par \\j Y\ , etc. ^ ce que deviennent lés quantités Yo, Y^^ efc.^ lorsqu'on j change fz et cû en yJ et â>%
/==¥; + y; + y:. . . . + Y', .-H etc. ; en observant donc qu'onagénéralement^ par le n** \9^^
n étan^ un inombre différent de iy l'équation (/) donnera : simplemept
-C: //.P,YWA*y«'=-M''» ("»)
les lf¥nites des intégrales étant lès mêmes que précéuemment.
Cette équation renfermé l'énoncé d'une nouvelle propriété remarquable dont jouissent les fonctions . dé'hr^ature de cdles qtie n^s avoris désignées par \ et Ta^ ; mais elle est plus restreinte que la pre<mîçrè/dén^ontrée dans le n® 18^1 parce qu'alors non? supposions aux fonctions Y,, et Z, toute la généralité dont eWe& sont susceptibles-, tandis qu'ici nous sup-
38a THÉORIE ANALTTIQUE
posons à Tune d'elles la forme partîe^Kère des fonctions que noua ayons désignées par P|«
La première conséquence qui résulte de Tëquation (tu), c'est que la fonction j^ ne peut admettre qu^un seul développement de la fbi^me Yo-HY^+Yï -\- etc. En effet y supposons cfue x puisse s'exprimer par les d^ux séries suivantes ; • -
j' = Yo + Y, + Y. + etc., r = Zo+Z,H-X.4^etc.;
si Ton y , substitue fjîf etût^ k la. place de /b6 et «, et qu'on nraltiplie par P^ ces: deusp séries, on aura g^ néralement . ^
d'où il suit que les -deux dév^loppemens préçédens sont identiques.
On peut conclure généraïettiênt 3é Téquartîon (m) que lorsque le développement dé/ eii sérié de cette forme Yo+.Y, + Y^+ etc.^, sçra connu, on aura, immédiatement et sans intégration , les quantités Uo^
U„U„ etc., n^ 19, ef les valeurs de Vet de -^ ^ de-
viendront, pour l^s points ^Xtprieur^,
Qm awft.d|ê,^êTO^> fpour \ù^ poîa^jntérjeur^^
V=:W-îf^+4.a--.(T.4-^.T.+^,Y....+-^-^,T,+.etc.)
ar 3 \3a 5a* (2*+i)c /
ip)
Quand le point est situé à la surface du sphéroïde, ces deux dernières formules doivent être identiques avec les premières ; et en efFet , ci l'on y suppose r=fl(i -l-a;^), et qu'on observe que Ton a^ par hypothèse,
jr=TY.+Y.+Y....+Y, + etc.,
on trouvera
équation qui doit exister, comme noqs Favous domontre , pour tous les poipts de la surface.
Les formules {n)', (p) sont dues à Laplace j elles offrent , sous une forme très simple , les expressions les plus générales des attractions des sphéroïdes peu dîfférens- de la sphère. On peut les simplifier encore par les considérations suivantes.
Soit M la masse du sphéroïde que nous suppose^ rons homogène ; on aura
OU bien, en mettant pour r' sa valeur flf(i+a^'),
M =" Ç' -f- a*ct .fr'dfJL'dc^'.
Si, à laplace âe^'% on substitue son développement
Y'o+ Y\+ etc. dans cette expression, en remarquant qu'on a généralement par le u* it f\\dfA!dcù*=ù^ i étant différent de zéro, et que {l'on a , par ce 'qui précède , fX\dfji!dcù' = 4'^Yo , on trouvera
En prenant donc, pour la valeur de a, le rayon de la sphère égale en solidité au sphéroïde , on aura \. =0 , et le terme \q, disparaîtra de la valeur dej, ainsi que cent, qui en dépendent . dans les formules {n) et (/?).
On a généralement
Y, = ^-i. ffVi/dfi'dm'.
Si Ton suppose iz=ii dans cette équation, et quon substitue à la place ào y son développement, oq aura
Y. = ^ ,/fF,V,dfii.'dc»\
D'après la valeur générale de P| , il est aisé de Toir qu'on aura, dans le cas de <=: i ,
h, h', h" étant des constantes. On aura donc
Y. = g ./fyt*'dt.'df.' -^^rry /J^v^. «n .w^.'
Si l'on désigne par i^l'im c^.éi^çiÇDS^.de l'excès du sphéroïde sur la sphère ^ on aura
on peut donc écrire ainsi la' valeur d'é Y,,' , ' ■' '
H, H', I|'' étant trpi^ qùa^Utjés coni^^tes. ^ .- ::.
Si l'on désigne par ^!, 7^, s' les trois coordonnées rectangulaires d6| la molécule d^^^^ on aura , aux quan** tités près de Tordre a ,
Si, dèpltiiyôn istfppose l'brigîiie ddsïbordctoné^^ttki centre dé gravité dii sjphë^bïde , ôi$ a '' t . : / 20 b
Oa atoa^ donc , dans bè ♦ cas , Y[ 'àhtiy.^ht tekiie^ i dépendant de Y| disparaîtra par conséquent AâM^Je développement dejr^et dansJUis^formules (n) et (p), en prenant pour origine des coordonnées le centre de gi:àyit^ (Iu,,$pl}fir9ï4e. Ce , .rés.^^t^t 4>jnqi;r8^.Be:^t aisén?fBnt,setpn4rep,io^îe espèce de.spWmdes,,.:. ^j. :22. Concevons maintenant le point aitiré situç.c^ftiis rintériepiî 4'pie.çpjiîç^e:à ?^^'S PÇftprès.sphçpf^^^ plaçons l'origine des coordonnées au centre , et supposons que le ra}^^n^^e U surface iiUérieure soit
et quele rayon delà sm-face 'extérieure soit delà forme Tome !!• aS
386 THÉORIE ANALTIlQUfi
' a* 4- à'* . (V'. + Y', -f- Y', H- etc.).
Si l'on désigne par A V Tattraction de la couche , il est clair qu'on aura la Takùr de AV, en retranchant la vakuF de y relative au premier sphéroïde; de la râleur de Y relative au second ; on trouvera ainsi
Si Ton veut que le point placé dans l'intérieur de la couche soît également attiré de toutes parts, il ifiiut que AV ^ réduise à une fonction indq^eadante des variables r,, 6 et ofy puisque les différeaces partielles de AV, prises par rapport à ces quantités, expriment les attractions de là couche sur le point attiré. Cett^. condition doaw y\^,o, et, géaéra-
éc^uatidn qtfi détermine le rayon de la tarfâée extérieure lorsque celui de là surface intérieure est
'^dôniié.
' • âî la surface intérieure est ellî^Ôque, on à
Y, =;'0, Y4 =ç o , etc«.
et par cousé^eitt ,"'' ~ , ^ - ' . i
les rayons des sur&oes intérieure et extérieure de la couche sont donc
d'où l'on Toit que ces surfaces appartiennent à deux ellipsoïdes semblables et semblsdblement placés y ce qni s'accorde avec le résultat trouvé n*" 8.
Supposons le rayon de la surface intérieure de la forme a{\ +ay), et le rayon de la surface extérieure de la forme a(i-^etjr'+<Lz), z étant une fonction défi et de câ qu'on pourta développer en une série de cette forme,
z 5= Z« H- Z, 4- Z. + etc.
On aura, par les formules (n) et (p), relativement aux points intérieurs et extérieurs ,
^V=^-.(Z.H-3-^^.Z. + ^.Z.-ï-etc.), AT = 49ra«« . (Z. -f- ^. 2, + ^. Z, + etc. ).
En différenciant, on aura pour les attractions qu'exerce la coucbe sûr lès points extâieurs et intérieurs, suivant le rayon r,
d? r^-V3fl '^So-'^-^^^^V- Si Fou suppose donc le point à la surface , qu'on fasse tzziza dans ces formule^ et qu'on les compare
ensuite y on aura
d.ù:y d.ùY
dr dr
I^TtacL . (Zo-f-Z.H-Z -|-etc.) =4^aiz.
D*où Ton voit que si deux points sont situés sur le même rayon, Tunà la surface extérieure , laulre à la surface intérieure du sphéroïde, la différence de Faction de la couche, sur les deux points sera proportionnelle à son épaisseur , et la même que si la couche était &phérique.
25. Considérons présentement un sphéroïde hétérogène peu différent de la sphère, et composé de couches homogènes dont la figure et la densité varient suivant une loi quelconque. Soit a{\ +3tj') le rayon d'une de ces couches ; si l'on développe^ en série Vo + Y, + Y. 4- etc. , les quantités Yp , Y, , Y^, etc., seront des fonctions de a variables d'une couche à une autre ;. et en différenciant par rapport à a la première des équations (/n) , on aura pour la valeur de V relative à là couche dont l'épaisseur ^^Vda^ot.iaj^ et dont nous représenterons par / la densité ,
Si l'on regarde ^ dans cette différentielle , f comme une fonction de û, et qu'on intègre relativement à cette variable, on aura pour la valeur de V qui se rapporte au sphéroïde entier.
Les intégrales devront être étendues depuis az=zo jusqu'à a^=ia\ en nommant d \^ valeur de a correspondante à la surface.
Pour avoir l'attraction du sphéroïde* hétérogène sur un point intérieur faisant partie de la couche dont le rayon est a (i +ûy') > on emploiera la première des formules (/t) depuis a=:o jusqu'à la valeur de a répondant à cette couche » et la première des formules {p)^ depuis cette valeur de a jusqu'à a = a\ cette dernière valeur se rapportant à la surface. Si , après avoir différencié ces équations par rapport à « , on les multiplie ensuite par /, et qu'on intègre leur sommé, on aura /
+2«-./{.<Ai'-f 4»».y(.ti/aT.4- j-Y,+ ^.Y, + etcA
Cette valeur représente l'attraction du sphéroïde hétérogène sur les points intérieurs» Les deux premières intégrales devront être prises depuis û=o jusqu'à a:=:a, et les deux dernières depuis ix=: a jusqu'à A= a\ Il faudra en outre , après les intégrations , substituer a au lieu de r, daus Ibs^ termes multipliés
para, et *** ^^ au lieu de -, dans les termes qui satit
indépendans de a. . ^
24. Il nous reste à montrer, cûmmp;iît on peut parvenir à développer |a fonction. 7-.:;:;;:;:^.(jW,.û>).,, dans «ae série de la forme,,Y^ +Y,4-,-X^.+ €tCv> les q);iaa<» tités Yo, Y,, Y,, €tc., étant déterminées. paiT)^:cAipi^i 7
fion 4e satisfaire k Tëquation
Si Toa désigne par K^ le coefficient de cosn^ dans la valeur de Yj^ on aura
et la valeur la plus générale de K. qui satinera à cette équatiop, sera l'expression de P| du a* 171 en la multipliant par une constante arbitraire; ç'estâ-dire qu'on aura
On aura donc^ pour la partie de Yj dépendante de l'angle na>,
iA« et B„ étant deux constantes arbitraires.
Si l'on fait successivement mseOf usai, /i3=a»..it=^ <dans cette expression^ et qu^on ajoute entre elles iQutes le$ fonctions qui en résulteront^ leur somme sera l'expression de Yi, qui renfermera^ comme ou voit, ai+i arbitraires, Bo, A,, B,, etc. Si l'on suppose ensuite ï=p, /===i, etc. , on aura les valeurs des fonctions Y^», Y,, etc., et leur somme Yo -4- Y, + Y, • ^ • . + Y, renfermera (^ + 1)' constante^ indéterminées.
DU SYSTÈME DU M^NDÈ. Sgi
Soft maintenant S iine fonction îftômiée^' ration^ nelle et entière, dés trois cowdonnëes rectangulaires ^fff ^f ^^'J' s^agîir de t!*éve?ldpper en série de la forme Y^^-^iH-Y.M-otcu Voici le moyen qu'db emploiera |K>âi* y parvenir. Si roii 'transforme les varialileâ jc^^ y, jq e^itrois autrd^ p, /a, o» > détail minées eoqf|me*4Aidb k^ u^ 4 ^ *^^ ^^<^
^7r^T1A% jK'»=^mVir^A^,icoa*>,..«»Rr, V^.ir-i'/kbf.^siii.^ii^
en substifuànt ces taleîirs dans S \ , cette quantité deviendra fonction rationnelle é't entière de /u ,
VI — At*.cos^ et Vi — uL^svneiù, et Ion pourrai^ développer en fonction des sinus et de4 CQsinus de 1 angle €ù et de ses multiples. Si Ton supp!bse donc que S soit la fonction la plus générale de Tordre s^ sin nm etcosno), dans ce développement, seront multipliés par des fonctions de la forme
(i— /A»/ . {^|J^• H- Byx*-""* + CiaT^ + etc.) ;
d'où l'on voit que la^ partie de S dépendante de Targument tk» renfermera 2(5— ;i-f- 1) arbitraires. La partie de S qui dépend de l'angle e» et de ses multiples, renfermera donc j(5-}-i) indéterminées; la partie indépendante de Tangle co en renfermera 5+1 ; la fonction S contiendra donc (^+1)* constantes indéterminées.
La fonction ¥,+ Y, + Y, . . .+Y, renferme pareillement (5 + 1)* arbitraires; il sera donc toujours possible de transformer S dans une fonction de cette forme.
Four cela^ op p^a4r?^ L'expression la plus géoeraie de Y^, on la ^tr9nc]^^T^.4ç S^.et Yqa déterminera les arbitraires, de n^anîère que les puissances
et les produits àéfietàe V^i.—^ft* * de Tordre s disparaissent de la. différence. Sr-rY,^ qui deviendra ainsi une foqctiqn de IVnrdre ^— ni^ que Ton, désignera par S^ On prendra Texpressioâ cU* plm générale de Y(,,) et on la retranchera de S'; on déterminera les arbitraires de manière que les 'pnîssânMs 0t lé^ produits de ft et de . Virr-ft' de Tordre s — i disparaissent de la différence S'--r Y(,^,)f et ainsi de suite. On déterminera successivement de cette manière es fonctions Y,, Y(,,%, Y^, .%, etc., dont la somme représente S. t. . . . .
DU STSTÊMB DU MONDE. SgS
, t'i . , j l' f II! I ■ " ■ .ft" 'I r 'I I ■ tu , I 'Hxju
